Bài 4 trang 76 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều
Bài 4 trang 76 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều: Giải tích chi tiết
Chào mừng bạn đến với bài giải Bài 4 trang 76 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều trên website montoan.com.vn. Bài viết này cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán liên quan đến chủ đề được đề cập trong bài.
Chúng tôi luôn cố gắng mang đến những tài liệu học tập chất lượng cao, hỗ trợ bạn học tập hiệu quả và đạt kết quả tốt nhất trong môn Toán.
Tính đạo hàm cấp hai của mỗi hàm số sau:
Đề bài
Tính đạo hàm cấp hai của mỗi hàm số sau:
a) \(y = 2{x^4} - 3{x^3} + 5{x^2}\)
b) \(y = \frac{2}{{3 - x}}\)
c) \(y = \sin 2x\cos x\)
d) \(y = {e^{ - 2x + 3}}\)
e) \(y = \ln (x + 1)\)
f) \(y = \ln ({e^x} + 1)\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Dựa vào định nghĩa đạo hàm cấp hai để tính
Lời giải chi tiết
a)
\(\begin{array}{l}y = 2{x^4} - 3{x^3} + 5{x^2} \Rightarrow y' = 8{x^3} - 9{x^2} + 10x\\ \Rightarrow y'' = 24{x^2} - 18x + 10\end{array}\)
b)
\(\begin{array}{l}y = \frac{2}{{3 - x}} \Rightarrow y' = \frac{{ - 6}}{{{{\left( {3 - x} \right)}^2}}}\\ \Rightarrow y'' = \frac{{ - 6\left( {{{\left( {3 - x} \right)}^2}} \right)'}}{{{{\left( {3 - x} \right)}^4}}} = \frac{{ - 6.\left( { - 1} \right).\left( {3 - x} \right)}}{{{{\left( {3 - x} \right)}^4}}} = \frac{6}{{{{\left( {3 - x} \right)}^3}}}\end{array}\)
c)
\(\begin{array}{l}y = \sin 2x\cos x\\ \Rightarrow y' = 2\cos 2x.\cos x - \sin 2x.\sin x\\ = 2.\frac{1}{2}\left( {\cos 3x + \cos x} \right) + \frac{1}{2}\left( {\cos 3x - \cos x} \right)\\ = \frac{3}{2}\cos 3x + \frac{1}{2}\cos x\\ \Rightarrow y'' = - \frac{3}{2}.3.\sin 3x - \frac{1}{2}\sin x = - \frac{9}{2}\sin 3x - \frac{1}{2}\sin x\end{array}\)
d)
\(y = {e^{ - 2x + 3}} \Rightarrow y' = - 2{e^{ - 2x + 3}} \Rightarrow y'' = 4.{e^{ - 2x + 3}}\)
e)
\(y = \ln (x + 1) \Rightarrow y' = \frac{1}{{x + 1}} \Rightarrow y'' = - \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)
f)
\(\begin{array}{l}y = \ln ({e^x} + 1) \Rightarrow y' = \frac{{{e^x}}}{{{e^x} + 1}}\\ \Rightarrow y'' = \frac{{\left( {{e^x}} \right)'.\left( {{e^x} + 1} \right) - {e^x}.\left( {{e^x} + 1} \right)'}}{{{{\left( {{e^x} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{e^x}\left( {{e^x} + 1} \right) - {e^x}.{e^x}}}{{{{\left( {{e^x} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{e^x}}}{{{{\left( {{e^x} + 1} \right)}^2}}}\end{array}\)
Bài 4 trang 76 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều: Phân tích chi tiết và phương pháp giải
Bài 4 trang 76 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều thuộc chương trình học Toán 11, tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế. Bài toán này thường yêu cầu học sinh phải hiểu rõ các khái niệm như đạo hàm của hàm số, quy tắc tính đạo hàm, và ứng dụng của đạo hàm trong việc tìm cực trị, khoảng đơn điệu của hàm số.
Nội dung bài toán
Thông thường, Bài 4 trang 76 sẽ đưa ra một hàm số cụ thể và yêu cầu học sinh thực hiện các thao tác sau:
- Tính đạo hàm của hàm số.
- Tìm tập xác định của hàm số.
- Xác định các điểm cực trị của hàm số.
- Xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số.
- Vẽ đồ thị hàm số (nếu cần).
Phương pháp giải
Để giải quyết Bài 4 trang 76 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều một cách hiệu quả, bạn cần nắm vững các bước sau:
- Bước 1: Tính đạo hàm f'(x): Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm đã học để tìm đạo hàm của hàm số. Lưu ý kiểm tra kỹ các phép toán để tránh sai sót.
- Bước 2: Tìm tập xác định của hàm số: Xác định các giá trị của x mà hàm số có nghĩa.
- Bước 3: Giải phương trình f'(x) = 0: Tìm các nghiệm của phương trình đạo hàm bằng 0. Các nghiệm này chính là các điểm cực trị của hàm số.
- Bước 4: Lập bảng biến thiên: Dựa vào đạo hàm f'(x) và các điểm cực trị, lập bảng biến thiên để xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số.
- Bước 5: Kết luận: Dựa vào bảng biến thiên, kết luận về tính đơn điệu, cực trị và các đặc điểm khác của hàm số.
Ví dụ minh họa
Giả sử hàm số được cho là f(x) = x3 - 3x2 + 2. Chúng ta sẽ áp dụng các bước trên để giải bài toán:
- Tính đạo hàm: f'(x) = 3x2 - 6x
- Tập xác định: Hàm số xác định trên R.
- Giải phương trình f'(x) = 0: 3x2 - 6x = 0 => x = 0 hoặc x = 2
- Lập bảng biến thiên:
- Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞, 0) và (2, +∞), nghịch biến trên khoảng (0, 2). Hàm số đạt cực đại tại x = 0 với giá trị f(0) = 2 và đạt cực tiểu tại x = 2 với giá trị f(2) = -2.
| x | -∞ | 0 | 2 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| f'(x) | + | - | + | |
| f(x) | Đồng biến | Nghịch biến | Đồng biến |
Lưu ý quan trọng
Khi giải Bài 4 trang 76 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều, bạn cần chú ý các điểm sau:
- Kiểm tra kỹ các quy tắc tính đạo hàm.
- Xác định đúng tập xác định của hàm số.
- Lập bảng biến thiên một cách chính xác.
- Phân tích kết quả để đưa ra kết luận đúng đắn.
Ứng dụng của bài toán
Việc giải Bài 4 trang 76 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều không chỉ giúp bạn nắm vững kiến thức về đạo hàm mà còn có ứng dụng thực tế trong nhiều lĩnh vực khác nhau, như:
- Kinh tế: Tìm điểm tối ưu trong sản xuất, kinh doanh.
- Vật lý: Tính vận tốc, gia tốc của vật chuyển động.
- Kỹ thuật: Thiết kế các hệ thống tối ưu.
Hy vọng bài giải chi tiết này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về Bài 4 trang 76 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều và tự tin giải quyết các bài toán tương tự. Chúc bạn học tập tốt!
