Giải mục 1 trang 27, 28, 29 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều

a) Cho n là một số nguyên dương. Với a là số thực tùy ý, nêu định nghĩa lũy thừa bậc n của a

b) Với a là số thực tùy ý khác 0, nêu quy ước xác định lũy thừa bậc 0 của a.

Phương pháp giải:

Dựa vào kiến thức đã học để trả lời câu hỏi

Lời giải chi tiết:

a) Định nghĩa lũy thừa bậc n của a: Cho \(a \in \mathbb{R},n \in \mathbb{N}*\). Khi đó: \({a^n} = \underbrace {a.a.a....a}_n\)

b) Với a là số thực tùy ý khác 0, quy ước xác định lũy thừa bậc 0 của a là: \({a^0} = 1\)

Tính giá trị của biểu thức: \(M = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{12}}.{\left( {\frac{1}{{27}}} \right)^{ - 5}} + {\left( {0,4} \right)^{ - 4}}{.25^{ - 2}}.{\left( {\frac{1}{{32}}} \right)^{ - 1}}\)

Phương pháp giải:

Dựa vào công thức vừa học để tính

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}M = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{12}}.{\left( {\frac{1}{{27}}} \right)^{ - 5}} + {\left( {0,4} \right)^{ - 4}}{.25^{ - 2}}.{\left( {\frac{1}{{32}}} \right)^{ - 1}}\\M = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{12}}.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^{3.\left( { - 5} \right)}} + {\left( {\frac{2}{5}} \right)^{ - 4}}.\frac{1}{{5{}^4}}.32\\M = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{12 - 15}} + {\left( {\frac{5}{2}} \right)^4}.{\left( {\frac{1}{5}} \right)^4}{.2^4}.2\\M = {3^3} + 2 = 27 + 2 = 29\end{array}\)

a) Với a là số thực không âm, nêu định nghĩa căn bậc hai của a

b) Với a là số thực tùy ý, nêu định nghĩa căn bậc ba của a

Phương pháp giải:

Dựa vào kiến thức đã học về căn bậc 2 ở lớp 9 để trả lời câu hỏi

Lời giải chi tiết:

a) Căn bậc hai của một số thực a không âm, kí hiệu là \(\sqrt a \) là số x sao cho \({x^2} = a\)

b) Căn bậc ba của một số a tùy ý, kí hiệu là \(\sqrt[3]{a}\) là số x sao cho \({x^3} = a\)

Các số 2 và – 2 có là căn bậc 6 của 64 hay không?

Phương pháp giải:

Dựa vào cách làm của ví dụ 2 để làm

Lời giải chi tiết:

Ta thấy: \(\begin{array}{l}{2^6} = 64\\{\left( { - 2} \right)^6} = 64\end{array}\)

Do đó, 2 và – 2 là căn bậc 6 của 64

a) Với mỗi số thực a, so sánh \(\sqrt {{a^2}} \) và \(\left| a \right|\); \(\sqrt[3]{{{a^3}}}\) và a

b) Cho a, b là hai số thực dương. So sánh: \(\sqrt {a.b} \) và \(\sqrt a .\sqrt b \)

Phương pháp giải:

Dựa vào các tính chất của căn bậc hai và căn bậc 3 đã học để làm bài

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: \({\left( {\sqrt {{a^2}} } \right)^2} = {a^2};\,\,\,{\left( {\left| a \right|} \right)^2} = {a^2}\)

Do \({a^2} = {a^2} \Rightarrow \sqrt {a{}^2} = \left| a \right|\)

Ta có: \({\left( {\sqrt[3]{{{a^3}}}} \right)^3} = {a^3};\,\,\,{a^3} = {a^3}\)

Do \({a^3} = {a^3} \Rightarrow \sqrt[3]{{{a^3}}} = a\)

b) Ta có: \({\left( {\sqrt {a.b} } \right)^2} = a.b;\,\,{\left( {\sqrt a .\sqrt b } \right)^2} = {\left( {\sqrt a } \right)^2}.{\left( {\sqrt b } \right)^2} = a.b\)

Do \(a.b = a.b \Rightarrow {\left( {\sqrt {ab} } \right)^2} = \sqrt a .\sqrt b \)

Rút gọn mỗi biểu thức sau:

a) \(\sqrt[3]{{\frac{{125}}{{64}}}}.\sqrt[4]{{81}}\)

b) \(\frac{{\sqrt[5]{{98}}.\sqrt[5]{{343}}}}{{\sqrt[5]{{64}}}}\)

Phương pháp giải:

Dựa vào các công thức vừa học để xác định

Lời giải chi tiết:

a) \(\sqrt[3]{{\frac{{125}}{{64}}}}.\sqrt[4]{{81}} = \frac{{\sqrt[3]{{125}}}}{{\sqrt[3]{{64}}}}.3 = \frac{5}{4}.3 = \frac{{15}}{4}\)

b) \(\frac{{\sqrt[5]{{98}}.\sqrt[5]{{343}}}}{{\sqrt[5]{{64}}}} = \sqrt[5]{{\frac{{98.343}}{{64}}}} = \sqrt[5]{{\frac{{{{2.7}^2}{{.7}^3}}}{{{2^6}}}}} = \sqrt[5]{{\frac{{{7^5}}}{{{2^5}}}}} = \frac{7}{2}\)

Thực hiện các hoạt động sau:

a) So sánh: \({2^{\frac{6}{3}}}\) và \({2^2}\)

b) So sánh: \({2^{\frac{6}{3}}}\) và \(\sqrt[3]{{{2^6}}}\)

Phương pháp giải:

Dựa vào công thức lũy thừa với số mũ hữu tỷ và tính chất của phép tính lũy thừa để so sánh

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: \({2^{\frac{6}{3}}} = \sqrt[3]{{{2^6}}} = \sqrt[3]{{{{\left( {{2^2}} \right)}^3}}} = {2^2}\)

b) Ta có: \({2^{\frac{6}{3}}} = \sqrt[3]{{{2^6}}}\)

Rút gọn biểu thức:

\(N = \frac{{{x^{\frac{4}{3}}}y + x{y^{\frac{4}{3}}}}}{{\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}}}\,\,\,\left( {x > 0;y > 0} \right)\)

Phương pháp giải:

Dựa vào công thức vừa học để làm

Lời giải chi tiết:

\(N = \frac{{{x^{\frac{4}{3}}}y + x{y^{\frac{4}{3}}}}}{{\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}}} = \frac{{xy.\left( {{x^{\frac{1}{3}}} + {y^{\frac{1}{3}}}} \right)}}{{\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}}} = \frac{{xy\left( {\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}} \right)}}{{\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}}} = xy\)