Lý thuyết Khoảng cách - Toán 11 Cánh diều
Lý thuyết Khoảng cách - Toán 11 Cánh diều
Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Khoảng cách trong chương trình Toán 11 Cánh diều tại montoan.com.vn. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức nền tảng và các công thức quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến khoảng cách trong không gian.
Chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng song song và các ứng dụng thực tế của lý thuyết này.
1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Cho đường thẳng \(\Delta \) và điểm \(M\) không thuộc \(\Delta \).
1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Cho đường thẳng \(\Delta \) và điểm \(M\) không thuộc \(\Delta \). Gọi \(H\) là hình chiếu của điểm \(M\) trên đường thẳng \(\Delta \). Độ dài đoạn thẳng MH gọi là khoảng cách từ điểm \(M\) đến đường thẳng \(\Delta \), kí hiệu \(d(M,\Delta )\).
Chú ý: Khi điểm \(M\) thuộc đường thẳng \(\Delta \) thì \(d(M,\Delta ) = 0.\)
2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Cho mặt phẳng \((P)\) và điểm \(M\) không thuộc mặt phẳng \((P)\). Gọi \(H\) là hình chiếu của \(M\) trên mặt phẳng \((P)\). Độ dài đoạn thẳng MH gọi là khoảng cách từ điểm \(M\) đến mặt phẳng \((P)\), kí hiệu \(d(M,(P))\).
Chú ý: Khi điểm \(M\) thuộc mặt phẳng \((P)\) thì \(d(M,(P)) = 0.\)
3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song
Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song \(\Delta ,\Delta '\) là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia, kí hiệu \(d\left( {\Delta ,{\Delta ^\prime }} \right)\).
Ví dụ: Trong hình dưới đây, ta có: \(d\left( {\Delta ,{\Delta ^\prime }} \right) = AB\) với \(A \in \Delta \), \(B \in {\Delta ^\prime },AB \bot \Delta ,AB \bot {\Delta ^\prime }\) và \(\Delta //{\Delta ^\prime }\).
4. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song
Cho đường thẳng \(\Delta \) song song với mặt phẳng \((P)\). Khoảng cách giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \((P)\) là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường thẳng \(\Delta \) đến mặt phẳng \((P)\), kí hiệu \(d(\Delta ,(P))\).
Ví dụ: Trong hình dưới đây, ta có: \(d(\Delta ,(P)) = M{M^\prime } = h\), trong đó \(M \in \Delta ,{M^\prime } \in (P),M{M^\prime } \bot (P)\) và \(\Delta //(P)\).
5. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song \((P),(Q)\) là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia, kí hiệu \(d((P),(Q))\).
Ví dụ: Trong hình dưới đây, ta có: \(d((P),(Q)) = IK = h\) với \(I \in (P),K \in (Q),IK \bot (P),IK \bot (Q)\) và \((P)//(Q)\).
6. Khoảng cách giữa hai đưò̀ng thẳng chéo nhau
Cho hai đường thẳng a, b chéo nhau.
- Đường thẳng c vừa vuông góc, vừa cắt cả hai đường thẳng a và b được gọi là đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
- Đoạn thẳng có hai đầu mút là giao điểm của đường thẳng c với hai đường thẳng a, b được gọi là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
- Độ dài đoạn thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng a, b gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng đó, kí hiệu \(d(a,b)\).
Ví dụ: Trong hình dưới đây, ta có: \(d(a,b) = HK\) với HK là đoạn vuông góc chung của \(a\) và \(b\).
Lý thuyết Khoảng cách - Toán 11 Cánh diều
Lý thuyết khoảng cách là một phần quan trọng trong chương trình Hình học không gian lớp 11, đặc biệt trong sách giáo khoa Cánh diều. Nó cung cấp các công cụ để xác định và tính toán khoảng cách giữa các đối tượng hình học, từ đó giải quyết các bài toán thực tế.
1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Để tính khoảng cách d từ điểm M(x0, y0, z0) đến đường thẳng Δ có phương trình tham số:
- x = x0 + at
- y = y0 + bt
- z = z0 + ct
Ta thực hiện các bước sau:
- Tìm một điểm A thuộc Δ (chọn t = 0).
- Tính vector AM = (x0 - xA, y0 - yA, z0 - zA).
- Tính vector chỉ phương a = (a, b, c) của Δ.
- Áp dụng công thức: d = |AM x a| / |a|
2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song
Cho hai đường thẳng song song Δ1 và Δ2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng này là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên Δ1 đến Δ2 (hoặc ngược lại).
Ví dụ, nếu Δ1 có phương trình tham số:
- x = x1 + at
- y = y1 + bt
- z = z1 + ct
Và Δ2 có phương trình tham số:
- x = x2 + at
- y = y2 + bt
- z = z2 + ct
Chọn điểm A(x1, y1, z1) thuộc Δ1. Khoảng cách giữa Δ1 và Δ2 được tính bằng công thức:
d = khoảng cách từ A đến Δ2 (sử dụng công thức ở mục 1).
3. Các dạng bài tập thường gặp
Các bài tập về lý thuyết khoảng cách thường yêu cầu:
- Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.
- Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song.
- Xác định điều kiện để hai đường thẳng song song và tính khoảng cách giữa chúng.
- Ứng dụng lý thuyết khoảng cách để giải các bài toán hình học không gian.
4. Mẹo giải bài tập hiệu quả
Để giải các bài tập về lý thuyết khoảng cách một cách hiệu quả, bạn nên:
- Nắm vững các công thức tính khoảng cách.
- Luyện tập thường xuyên với các bài tập khác nhau.
- Sử dụng các phương pháp hình học để kiểm tra lại kết quả.
- Chú ý đến các trường hợp đặc biệt (ví dụ: hai đường thẳng vuông góc).
5. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tính khoảng cách từ điểm M(1, 2, 3) đến đường thẳng Δ có phương trình tham số:
- x = 2 + t
- y = 1 - t
- z = 3 + 2t
Giải:
- Chọn điểm A(2, 1, 3) thuộc Δ (t = 0).
- AM = (1 - 2, 2 - 1, 3 - 3) = (-1, 1, 0).
- a = (1, -1, 2).
- AM x a = (2, 2, 1).
- |AM x a| = √(22 + 22 + 12) = √9 = 3.
- |a| = √(12 + (-1)2 + 22) = √6.
- d = 3 / √6 = √1.5.
6. Luyện tập thêm
Để củng cố kiến thức về lý thuyết khoảng cách, bạn có thể thực hành thêm các bài tập sau:
- Bài 1: Tính khoảng cách từ điểm N(0, 0, 0) đến đường thẳng Δ: x = 1 + 2t, y = 2 - t, z = 3t.
- Bài 2: Cho hai đường thẳng song song Δ1: x = 1 + t, y = 2 + t, z = 3 - t và Δ2: x = 2 + t, y = 3 + t, z = 4 - t. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng này.
Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về Lý thuyết Khoảng cách - Toán 11 Cánh diều. Chúc bạn học tập tốt!
