Bài 8 trang 58 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều
Bài 8 trang 58 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều: Giải tích
Bài 8 trang 58 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều thuộc chương trình Giải tích, tập trung vào việc ôn tập về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức đã học để giải quyết các bài toán thực tế.
Montoan.com.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán hiệu quả.
Xét tính tăng, giảm và bị chặn của mỗi dãy số (left( {{u_n}} right)) sau, biết số hạng tổng quát:
Đề bài
Xét tính tăng, giảm và bị chặn của mỗi dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) sau, biết số hạng tổng quát:
a) \(u_n = \frac{n}{n+1}\)
b) \(u_n = \frac{2}{5^n}\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng khái niệm, định nghĩa tính tăng, giảm và bị chặn của mỗi dãy số.
Lời giải chi tiết
a) \(u_n = \frac{n}{n+1}\)
Xét hiệu
\(u_{n+1} - u_n = \frac{n+1}{n+2} - \frac{n}{n+1}\)
\(= \frac{n^2 + 2n + 1 - n^2}{n^2 + 3n + 2} = \frac{n^2 + n + 1}{n^2 + 3n + 2} > 0\)
Do đó \(u_n + 1 > u_n \quad (1)\)
Ta có: \(u_n = \frac{n}{n+1} = 1 - \frac{1}{n+1}\)
Vì \(0 < \frac{1}{n+1} \leq \frac{1}{2} \) với mọi \( n \in \mathbb{N}^* \) nên \( -\frac{1}{2} \leq -\frac{1}{n+1} < 0 \) với mọi \( n \in \mathbb{N}^*\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{2} \leq 1 - \frac{1}{n+1} < 1 \) với mọi \( n \in \mathbb{N}^*\)
hay \(\frac{1}{2} \leq u_n < 1\) với mọi \( n \in \mathbb{N}^* \quad (2)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(u_n\) là dãy số tăng và bị chặn.
b) \(u_n = \frac{2}{5^n}\)
Xét hiệu
\(u_{n+1} - u_n = \frac{2}{5^{n+1}} - \frac{2}{5^n}\)
\(= \frac{2 - 2 \cdot 5}{5^{n+1}} = \frac{2 - 10}{5^{n+1}} = -\frac{8}{5^{n+1}} < 0\)
Do đó \(u_n + 1 < u_n \quad (3)\)
Vì \(0 < \frac{2}{5^n} \leq \frac{2}{5}\) với mọi \(n \in \mathbb{N}^* \quad (4)\)
Từ (3) và (4) suy ra \(u_n\) là dãy số giảm và bị chặn.
Bài 8 trang 58 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều: Giải chi tiết
Bài 8 trang 58 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều yêu cầu học sinh giải các bài toán liên quan đến đạo hàm của hàm số. Để giải quyết bài toán này, học sinh cần nắm vững các công thức đạo hàm cơ bản và các quy tắc tính đạo hàm.
Phần 1: Ôn tập lý thuyết về đạo hàm
Trước khi đi vào giải bài tập, chúng ta cùng ôn tập lại một số kiến thức lý thuyết quan trọng về đạo hàm:
- Định nghĩa đạo hàm: Đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x0 là giới hạn của tỷ số giữa độ biến thiên của hàm số và độ biến thiên của đối số khi đối số tiến tới x0.
- Công thức đạo hàm cơ bản: (xn)' = nxn-1, (sin x)' = cos x, (cos x)' = -sin x, (ex)' = ex, (ln x)' = 1/x
- Quy tắc tính đạo hàm: Quy tắc cộng, trừ, nhân, chia, quy tắc hàm hợp.
Phần 2: Giải bài tập Bài 8 trang 58 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều
Dưới đây là lời giải chi tiết cho từng câu hỏi trong Bài 8 trang 58 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều:
Câu a: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = x3 - 2x2 + 5x - 1
Áp dụng quy tắc đạo hàm của tổng và hiệu, ta có:
f'(x) = (x3)' - 2(x2)' + 5(x)' - (1)' = 3x2 - 4x + 5
Câu b: Tính đạo hàm của hàm số g(x) = sin(2x) + cos(x)
Áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp và các công thức đạo hàm cơ bản, ta có:
g'(x) = (sin(2x))' + (cos(x))' = cos(2x) * 2 - sin(x) = 2cos(2x) - sin(x)
Câu c: Tính đạo hàm của hàm số h(x) = ex * ln(x)
Áp dụng quy tắc đạo hàm của tích, ta có:
h'(x) = (ex)' * ln(x) + ex * (ln(x))' = ex * ln(x) + ex * (1/x) = ex(ln(x) + 1/x)
Phần 3: Luyện tập thêm
Để củng cố kiến thức về đạo hàm, bạn có thể luyện tập thêm các bài tập sau:
- Tính đạo hàm của hàm số y = x4 + 3x2 - 7
- Tính đạo hàm của hàm số y = tan(x) + cot(x)
- Tính đạo hàm của hàm số y = x * ex
Phần 4: Ứng dụng của đạo hàm
Đạo hàm có rất nhiều ứng dụng trong toán học và các lĩnh vực khác, bao gồm:
- Khảo sát hàm số: Tìm cực trị, điểm uốn, khoảng đồng biến, nghịch biến.
- Tính tốc độ biến thiên: Xác định tốc độ thay đổi của một đại lượng so với đại lượng khác.
- Giải các bài toán tối ưu: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số.
Hy vọng với lời giải chi tiết và những kiến thức bổ ích trên, bạn đã hiểu rõ hơn về Bài 8 trang 58 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều. Chúc bạn học tập tốt!
