Lý thuyết Cấp số nhân - SGK Toán 11 Cánh Diều
Lý thuyết Cấp số nhân - SGK Toán 11 Cánh Diều
Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Cấp số nhân trong chương trình SGK Toán 11 Cánh Diều tại montoan.com.vn. Bài viết này sẽ cung cấp kiến thức nền tảng, công thức quan trọng và các ví dụ minh họa để bạn hiểu rõ về cấp số nhân.
Chúng tôi cam kết mang đến cho bạn trải nghiệm học toán online hiệu quả và thú vị. Hãy cùng bắt đầu khám phá thế giới của cấp số nhân!
1. Định nghĩa
1. Định nghĩa
Cấp số nhân là một dãy số, trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng ngay trước nó với một số không đổi q. Tức là:
\({u_n} = {u_{n - 1}}.q,n \in {\mathbb{N}^*}\)
Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.
* Chú ý: Dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân thì \({u_k}^2 = {u_{k - 1}}.{u_{k + 1}}\left( {k \ge 2} \right)\).
2. Số hạng tổng quát
Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1}\) và công bội q thì số hạng tổng quát \({u_n}\)của nó được xác định bởi công thức
\({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}},n \ge 2\)
3. Tổng của n số hạng đầu của một cấp số nhân
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) với công bội \(q \ne 1\). Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_n}\). Khi đó
\({S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}\)
Lý thuyết Cấp số nhân - SGK Toán 11 Cánh Diều
Cấp số nhân là một dãy số đặc biệt, trong đó mỗi số hạng sau được tạo thành bằng cách nhân số hạng trước đó với một số không đổi, gọi là công bội. Hiểu rõ về cấp số nhân là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến dãy số và chuỗi số trong chương trình Toán 11.
1. Định nghĩa Cấp số nhân
Một dãy số (un) được gọi là cấp số nhân nếu có một số q ≠ 0 sao cho:
- un+1 = q.un với mọi n ≥ 1
Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.
2. Các tính chất của Cấp số nhân
Cấp số nhân có những tính chất quan trọng sau:
- Nếu u1 = a và q là công bội thì số hạng tổng quát của cấp số nhân là: un = a.qn-1
- Nếu un = 0 thì un+1 = 0 với mọi n ≥ 1
3. Các dạng cấp số nhân đặc biệt
Có một số dạng cấp số nhân đặc biệt cần lưu ý:
- Cấp số nhân với q = 1: Dãy số trở thành dãy số không đổi: un = a với mọi n
- Cấp số nhân với q = -1: Dãy số thay đổi dấu giữa các số hạng: un = (-1)n-1.a
4. Tổng của n số hạng đầu tiên của Cấp số nhân
Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân (Sn) được tính theo công thức:
Sn = u1.(1 - qn) / (1 - q) (với q ≠ 1)
Nếu q = 1 thì Sn = n.u1
5. Tổng của cấp số nhân vô hạn
Nếu |q| < 1, cấp số nhân có tổng vô hạn, được tính theo công thức:
S = u1 / (1 - q)
6. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho cấp số nhân có u1 = 2 và q = 3. Tìm u5 và S5.
Giải:
- u5 = u1.q4 = 2.34 = 162
- S5 = u1.(1 - q5) / (1 - q) = 2.(1 - 35) / (1 - 3) = 2.(-242) / (-2) = 242
Ví dụ 2: Cho cấp số nhân có u1 = 1 và q = -2. Tìm S6.
Giải:
S6 = u1.(1 - q6) / (1 - q) = 1.(1 - (-2)6) / (1 - (-2)) = (1 - 64) / 3 = -63 / 3 = -21
7. Bài tập luyện tập
- Cho cấp số nhân có u1 = 5 và q = 2. Tìm u7 và S7.
- Cho cấp số nhân có u2 = 6 và q = -3. Tìm u1 và S5.
- Tìm tổng của cấp số nhân vô hạn 1 + 1/2 + 1/4 + ...
Hy vọng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về Lý thuyết Cấp số nhân - SGK Toán 11 Cánh Diều. Chúc bạn học tập tốt!
