Bài 2. Giới hạn của hàm số

Bài 2. Giới hạn của hàm số - SGK Toán 11 - Cánh diều: Tổng quan

Bài 2 trong chương 3 sách Toán 11 tập 1 Cánh diều tập trung vào việc giới thiệu khái niệm giới hạn của hàm số tại một điểm và trên một khoảng. Đây là một khái niệm then chốt để hiểu về tính liên tục của hàm số và là nền tảng cho các kiến thức nâng cao hơn trong giải tích.

1. Khái niệm giới hạn của hàm số tại một điểm

Giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến tới a, ký hiệu là lim_x→a f(x), là giá trị mà f(x) tiến gần tới khi x tiến gần a nhưng không bằng a. Để hiểu rõ hơn, ta xét các trường hợp x tiến tới a từ bên trái và bên phải.

• Giới hạn bên trái: lim_x→a^- f(x) là giới hạn của f(x) khi x tiến tới a từ bên trái (x < a).
• Giới hạn bên phải: lim_x→a⁺ f(x) là giới hạn của f(x) khi x tiến tới a từ bên phải (x > a).

Hàm số f(x) có giới hạn tại x = a khi và chỉ khi giới hạn bên trái và giới hạn bên phải tại x = a tồn tại và bằng nhau. Tức là: lim_x→a^- f(x) = lim_x→a⁺ f(x) = L.

2. Tính chất của giới hạn

Việc tính toán giới hạn hàm số thường dựa trên các tính chất sau:

• Giới hạn của tổng: lim (f(x) + g(x)) = lim f(x) + lim g(x)
• Giới hạn của tích: lim (f(x) * g(x)) = lim f(x) * lim g(x)
• Giới hạn của thương: lim (f(x) / g(x)) = (lim f(x)) / (lim g(x)) (với lim g(x) ≠ 0)
• Giới hạn của hằng số: lim c = c (c là hằng số)

3. Các dạng giới hạn thường gặp

Trong quá trình giải bài tập, các em sẽ thường gặp các dạng giới hạn sau:

• Giới hạn của đa thức: Thay trực tiếp giá trị của x vào đa thức.
• Giới hạn của phân thức hữu tỉ: Có thể rút gọn phân thức trước khi thay giá trị của x.
• Giới hạn vô cùng: Xét các trường hợp x tiến tới vô cùng dương hoặc vô cùng âm.

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính lim_x→2 (x² + 3x - 1)

Giải: Thay x = 2 vào biểu thức, ta được: 2² + 3*2 - 1 = 4 + 6 - 1 = 9. Vậy lim_x→2 (x² + 3x - 1) = 9.

Ví dụ 2: Tính lim_x→1 (x² - 1) / (x - 1)

Giải: Rút gọn biểu thức: (x² - 1) / (x - 1) = (x - 1)(x + 1) / (x - 1) = x + 1. Thay x = 1 vào biểu thức rút gọn, ta được: 1 + 1 = 2. Vậy lim_x→1 (x² - 1) / (x - 1) = 2.

5. Bài tập áp dụng

Để củng cố kiến thức, các em hãy tự giải các bài tập sau:

1. Tính lim_x→3 (2x² - 5x + 1)
2. Tính lim_x→-1 (x³ + 1) / (x + 1)
3. Tính lim_x→∞ (3x² + 2x - 5)

Kết luận

Bài 2. Giới hạn của hàm số là một bài học quan trọng trong chương trình Toán 11. Việc nắm vững khái niệm, tính chất và các dạng giới hạn thường gặp sẽ giúp các em giải quyết các bài toán liên quan một cách hiệu quả. Hãy luyện tập thường xuyên để đạt kết quả tốt nhất!