Bài 4 trang 48 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều

Đề bài

Chứng minh rằng:

a) Dãy số \(u_n\) với \({u_n} = {n^2} + 2\) là bị chặn dưới;

b) Dãy số \(u_n\) với \({u_n} = - 2n + 1\) là bị chặn trên;

c) Dãy số \(u_n\) với \({u_n} = \frac{1}{{{n^2} + n}}\) là bị chặn

Phương pháp giải - Xem chi tiết Bài 4 trang 48 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều 1

Dựa vào kiến thức đã học để xác định

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}{n^2} \ge 1\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\\ \Leftrightarrow {n^2} + 2 \ge 3\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)

Dãy số bị chặn dưới

b) Ta có:

\(\begin{array}{l} - 2n \le - 2\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\\ \Leftrightarrow - 2n + 1 \le - 1\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)

Dãy số bị chặn trên

c) Ta có:

\(\begin{array}{l}{n^2} \ge 1\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\\ \Leftrightarrow {n^2} + n \ge 2\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\\ \Leftrightarrow 0 \le \frac{1}{{{n^2} + n}} \le \frac{1}{2}\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)

Dãy số bị chặn

Bài 4 trang 48 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều: Giải chi tiết và phương pháp

Bài 4 yêu cầu tính các giới hạn sau:

lim (x→2) (x² - 3x + 2) / (x - 2)
lim (x→3) (x³ - 27) / (x - 3)
lim (x→0) (√(x+1) - 1) / x
lim (x→1) (xⁿ - 1) / (x - 1)

Giải chi tiết:

1. lim (x→2) (x² - 3x + 2) / (x - 2)

Ta có thể phân tích tử thức:

x² - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)

Vậy:

lim (x→2) (x² - 3x + 2) / (x - 2) = lim (x→2) (x - 1)(x - 2) / (x - 2) = lim (x→2) (x - 1) = 2 - 1 = 1

2. lim (x→3) (x³ - 27) / (x - 3)

Ta có thể phân tích tử thức:

x³ - 27 = (x - 3)(x² + 3x + 9)

Vậy:

lim (x→3) (x³ - 27) / (x - 3) = lim (x→3) (x - 3)(x² + 3x + 9) / (x - 3) = lim (x→3) (x² + 3x + 9) = 3² + 3*3 + 9 = 9 + 9 + 9 = 27

3. lim (x→0) (√(x+1) - 1) / x

Để khử dạng vô định, ta nhân cả tử và mẫu với liên hợp của tử thức:

lim (x→0) (√(x+1) - 1) / x = lim (x→0) [(√(x+1) - 1)(√(x+1) + 1)] / [x(√(x+1) + 1)] = lim (x→0) (x+1 - 1) / [x(√(x+1) + 1)] = lim (x→0) x / [x(√(x+1) + 1)] = lim (x→0) 1 / (√(x+1) + 1) = 1 / (√(0+1) + 1) = 1 / (1 + 1) = 1/2

4. lim (x→1) (xⁿ - 1) / (x - 1)

Đây là một giới hạn quen thuộc, có thể sử dụng quy tắc L'Hopital hoặc công thức giới hạn đặc biệt:

lim (x→1) (xⁿ - 1) / (x - 1) = n

Phương pháp giải:

Phân tích tử thức: Nếu tử thức có thể phân tích thành nhân tử, hãy tìm cách rút gọn biểu thức.
Nhân với liên hợp: Đối với các biểu thức chứa căn thức, nhân cả tử và mẫu với liên hợp của tử thức để khử dạng vô định.
Quy tắc L'Hopital: Nếu giới hạn có dạng 0/0 hoặc ∞/∞, có thể áp dụng quy tắc L'Hopital bằng cách lấy đạo hàm của tử thức và mẫu thức.
Công thức giới hạn đặc biệt: Sử dụng các công thức giới hạn đặc biệt đã học để đơn giản hóa bài toán.

Lưu ý:

Khi tính giới hạn, cần chú ý đến điều kiện xác định của hàm số và đảm bảo rằng các phép biến đổi được thực hiện hợp lệ.

Bài tập tương tự:

Để củng cố kiến thức, bạn có thể thử giải các bài tập tương tự sau:

lim (x→1) (x³ - 1) / (x - 1)
lim (x→0) (sin x) / x
lim (x→∞) (2x + 1) / (x - 3)

montoan.com.vn hy vọng với lời giải chi tiết và phương pháp giải trên, bạn đã hiểu rõ cách giải Bài 4 trang 48 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều. Chúc bạn học tập tốt!