Bài 4 trang 48 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 11, tập trung vào việc rèn luyện kỹ năng tính giới hạn của hàm số. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng các định nghĩa và tính chất của giới hạn để tìm ra kết quả chính xác.
Tại montoan.com.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cùng với phương pháp giải bài tập này, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán tương tự.
Trong các dãy số (left( {{u_n}} right)) được xác định như sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên, bị chặn?
Đề bài
Chứng minh rằng:
a) Dãy số \(u_n\) với \({u_n} = {n^2} + 2\) là bị chặn dưới;
b) Dãy số \(u_n\) với \({u_n} = - 2n + 1\) là bị chặn trên;
c) Dãy số \(u_n\) với \({u_n} = \frac{1}{{{n^2} + n}}\) là bị chặn
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Dựa vào kiến thức đã học để xác định
Lời giải chi tiết
a) Ta có:
\(\begin{array}{l}{n^2} \ge 1\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\\ \Leftrightarrow {n^2} + 2 \ge 3\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)
Dãy số bị chặn dưới
b) Ta có:
\(\begin{array}{l} - 2n \le - 2\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\\ \Leftrightarrow - 2n + 1 \le - 1\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)
Dãy số bị chặn trên
c) Ta có:
\(\begin{array}{l}{n^2} \ge 1\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\\ \Leftrightarrow {n^2} + n \ge 2\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\\ \Leftrightarrow 0 \le \frac{1}{{{n^2} + n}} \le \frac{1}{2}\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)
Dãy số bị chặn
Bài 4 yêu cầu tính các giới hạn sau:
1. lim (x→2) (x² - 3x + 2) / (x - 2)
Ta có thể phân tích tử thức:
x² - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)
Vậy:
lim (x→2) (x² - 3x + 2) / (x - 2) = lim (x→2) (x - 1)(x - 2) / (x - 2) = lim (x→2) (x - 1) = 2 - 1 = 1
2. lim (x→3) (x³ - 27) / (x - 3)
Ta có thể phân tích tử thức:
x³ - 27 = (x - 3)(x² + 3x + 9)
Vậy:
lim (x→3) (x³ - 27) / (x - 3) = lim (x→3) (x - 3)(x² + 3x + 9) / (x - 3) = lim (x→3) (x² + 3x + 9) = 3² + 3*3 + 9 = 9 + 9 + 9 = 27
3. lim (x→0) (√(x+1) - 1) / x
Để khử dạng vô định, ta nhân cả tử và mẫu với liên hợp của tử thức:
lim (x→0) (√(x+1) - 1) / x = lim (x→0) [(√(x+1) - 1)(√(x+1) + 1)] / [x(√(x+1) + 1)] = lim (x→0) (x+1 - 1) / [x(√(x+1) + 1)] = lim (x→0) x / [x(√(x+1) + 1)] = lim (x→0) 1 / (√(x+1) + 1) = 1 / (√(0+1) + 1) = 1 / (1 + 1) = 1/2
4. lim (x→1) (xⁿ - 1) / (x - 1)
Đây là một giới hạn quen thuộc, có thể sử dụng quy tắc L'Hopital hoặc công thức giới hạn đặc biệt:
lim (x→1) (xⁿ - 1) / (x - 1) = n
Khi tính giới hạn, cần chú ý đến điều kiện xác định của hàm số và đảm bảo rằng các phép biến đổi được thực hiện hợp lệ.
Để củng cố kiến thức, bạn có thể thử giải các bài tập tương tự sau:
montoan.com.vn hy vọng với lời giải chi tiết và phương pháp giải trên, bạn đã hiểu rõ cách giải Bài 4 trang 48 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều. Chúc bạn học tập tốt!