1. Môn Toán
  2. Bài 4 trang 48 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều

Bài 4 trang 48 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều

Bài 4 trang 48 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều: Giải quyết bài toán về giới hạn

Bài 4 trang 48 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 11, tập trung vào việc rèn luyện kỹ năng tính giới hạn của hàm số. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng các định nghĩa và tính chất của giới hạn để tìm ra kết quả chính xác.

Tại montoan.com.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cùng với phương pháp giải bài tập này, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán tương tự.

Trong các dãy số (left( {{u_n}} right)) được xác định như sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên, bị chặn?

Đề bài

Chứng minh rằng:

a) Dãy số \(u_n\) với \({u_n} = {n^2} + 2\) là bị chặn dưới;

b) Dãy số \(u_n\) với \({u_n} = - 2n + 1\) là bị chặn trên;

c) Dãy số \(u_n\) với \({u_n} = \frac{1}{{{n^2} + n}}\) là bị chặn

Phương pháp giải - Xem chi tiếtBài 4 trang 48 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều 1

Dựa vào kiến thức đã học để xác định

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}{n^2} \ge 1\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\\ \Leftrightarrow {n^2} + 2 \ge 3\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)

Dãy số bị chặn dưới

b) Ta có:

\(\begin{array}{l} - 2n \le - 2\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\\ \Leftrightarrow - 2n + 1 \le - 1\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)

 Dãy số bị chặn trên

c) Ta có:

\(\begin{array}{l}{n^2} \ge 1\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\\ \Leftrightarrow {n^2} + n \ge 2\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\\ \Leftrightarrow 0 \le \frac{1}{{{n^2} + n}} \le \frac{1}{2}\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)

 Dãy số bị chặn

Bạn đang khám phá nội dung Bài 4 trang 48 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều trong chuyên mục Sách giáo khoa Toán 11 trên nền tảng tài liệu toán. Được biên soạn chuyên sâu và bám sát chặt chẽ chương trình sách giáo khoa hiện hành, bộ bài tập toán trung học phổ thông này cam kết tối ưu hóa toàn diện quá trình ôn luyện, củng cố kiến thức Toán lớp 11 cho học sinh THPT, thông qua phương pháp tiếp cận trực quan và mang lại hiệu quả học tập vượt trội, tạo nền tảng vững chắc cho các kỳ thi quan trọng và chương trình đại học.
Ghi chú: Quý thầy, cô giáo và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên MonToan.com.vn bằng cách gửi về:
Facebook: MÔN TOÁN
Email: montoanmath@gmail.com

Bài 4 trang 48 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều: Giải chi tiết và phương pháp

Bài 4 yêu cầu tính các giới hạn sau:

  1. lim (x→2) (x² - 3x + 2) / (x - 2)
  2. lim (x→3) (x³ - 27) / (x - 3)
  3. lim (x→0) (√(x+1) - 1) / x
  4. lim (x→1) (xⁿ - 1) / (x - 1)

Giải chi tiết:

1. lim (x→2) (x² - 3x + 2) / (x - 2)

Ta có thể phân tích tử thức:

x² - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)

Vậy:

lim (x→2) (x² - 3x + 2) / (x - 2) = lim (x→2) (x - 1)(x - 2) / (x - 2) = lim (x→2) (x - 1) = 2 - 1 = 1

2. lim (x→3) (x³ - 27) / (x - 3)

Ta có thể phân tích tử thức:

x³ - 27 = (x - 3)(x² + 3x + 9)

Vậy:

lim (x→3) (x³ - 27) / (x - 3) = lim (x→3) (x - 3)(x² + 3x + 9) / (x - 3) = lim (x→3) (x² + 3x + 9) = 3² + 3*3 + 9 = 9 + 9 + 9 = 27

3. lim (x→0) (√(x+1) - 1) / x

Để khử dạng vô định, ta nhân cả tử và mẫu với liên hợp của tử thức:

lim (x→0) (√(x+1) - 1) / x = lim (x→0) [(√(x+1) - 1)(√(x+1) + 1)] / [x(√(x+1) + 1)] = lim (x→0) (x+1 - 1) / [x(√(x+1) + 1)] = lim (x→0) x / [x(√(x+1) + 1)] = lim (x→0) 1 / (√(x+1) + 1) = 1 / (√(0+1) + 1) = 1 / (1 + 1) = 1/2

4. lim (x→1) (xⁿ - 1) / (x - 1)

Đây là một giới hạn quen thuộc, có thể sử dụng quy tắc L'Hopital hoặc công thức giới hạn đặc biệt:

lim (x→1) (xⁿ - 1) / (x - 1) = n

Phương pháp giải:

  • Phân tích tử thức: Nếu tử thức có thể phân tích thành nhân tử, hãy tìm cách rút gọn biểu thức.
  • Nhân với liên hợp: Đối với các biểu thức chứa căn thức, nhân cả tử và mẫu với liên hợp của tử thức để khử dạng vô định.
  • Quy tắc L'Hopital: Nếu giới hạn có dạng 0/0 hoặc ∞/∞, có thể áp dụng quy tắc L'Hopital bằng cách lấy đạo hàm của tử thức và mẫu thức.
  • Công thức giới hạn đặc biệt: Sử dụng các công thức giới hạn đặc biệt đã học để đơn giản hóa bài toán.

Lưu ý:

Khi tính giới hạn, cần chú ý đến điều kiện xác định của hàm số và đảm bảo rằng các phép biến đổi được thực hiện hợp lệ.

Bài tập tương tự:

Để củng cố kiến thức, bạn có thể thử giải các bài tập tương tự sau:

  • lim (x→1) (x³ - 1) / (x - 1)
  • lim (x→0) (sin x) / x
  • lim (x→∞) (2x + 1) / (x - 3)

montoan.com.vn hy vọng với lời giải chi tiết và phương pháp giải trên, bạn đã hiểu rõ cách giải Bài 4 trang 48 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều. Chúc bạn học tập tốt!

Tài liệu, đề thi và đáp án Toán 11

Tài liệu, đề thi và đáp án Toán 11