Bài 4 trang 109 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều
Bài 4 trang 109 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều: Giải tích chi tiết
Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết Bài 4 trang 109 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều. Bài học này thuộc chương trình Giải tích, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.
montoan.com.vn cung cấp lời giải dễ hiểu, kèm theo các ví dụ minh họa giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng.
Đề bài
Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng.
a) Chứng minh rằng (AFD) // (BEC)
b) Gọi M là trọng tâm của tam giác ABE. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng (AFD). Lấy N là giao điểm của (P) và AC. Tính \(\frac{{AN}}{{NC}}\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thằng cắt nhau a, b và a, b cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) song song với (Q)
Lời giải chi tiết
a) Ta có: AD // BC (ABCD là hình bình hành)
mà AD thuộc (AFD), BC thuộc (BEC)
nên (AFD) // (BEC)
b) Trong (ABEF), kẻ đường thẳng d qua M // AF
Ta có: d cắt AB tại I, d cắt EF tại J (1)
Trong (ABCD) có I thuộc (P) mà (P) // (AFD)
Suy ra từ I kẻ IH // AD (2)
Từ (1) và (2) suy ra: (IJH) trùng (P) và // (AFD)
Ta có: (P) cắt AC tại N mà AC thuộc (ABCD), IH thuộc (P) và (ABCD)
Suy ra IH cắt AC tại N
Ta có các hình bình hành IBCH, IBEJ
Gọi O là trung điểm của AB
Ta có M là trọng tâm của tam giác ABE
Suy ra \(\frac{{MO}}{{ME}} = \frac{1}{2}\)
Ta có AB // CD suy ra AI // CH
Định lý Ta – let:\(\frac{{AN}}{{NC}} = \frac{{AI}}{{CH}}\)
Mà CH = IB (IBCH là hình bình hành)
Suy ra\(\frac{{AN}}{{NC}} = \frac{{AI}}{{IB}}\)
Ta có: AB // EF nên OI // EJ
Do đó:\(\frac{{OI}}{{{\rm{EJ}}}} = \frac{{MO}}{{ME}} = \frac{1}{2}\)
Mà EJ = IB (IBEJ là hình bình hành)
Suy ra\(\frac{{OI}}{{IB}} = \frac{1}{2}\) hay\(IB = 2OI\)
Ta có\(\frac{{AN}}{{NC}} = \frac{{AI}}{{IB}} = \frac{{AO + OI}}{{2OI}}\)
Mà OA = OB (O là trung điểm AB)
Nên \(\frac{{AN}}{{NC}} = \frac{{OB + OI}}{{2OI}} = 2\)
Do đó: \(\frac{{AN}}{{NC}} = 2\)
Bài 4 trang 109 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều: Giải chi tiết và hướng dẫn
Bài 4 trang 109 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm của hàm số để giải quyết các bài toán liên quan đến tốc độ thay đổi của đại lượng. Bài tập này không chỉ giúp củng cố lý thuyết mà còn rèn luyện kỹ năng giải toán thực tế.
Nội dung bài tập
Bài 4 thường bao gồm các dạng bài tập sau:
- Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm cho trước.
- Tìm đạo hàm của hàm số.
- Vận dụng đạo hàm để giải các bài toán về tốc độ, gia tốc.
- Xác định các điểm cực trị của hàm số.
Lời giải chi tiết
Để giải Bài 4 trang 109 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều, chúng ta cần nắm vững các công thức và quy tắc đạo hàm cơ bản. Dưới đây là hướng dẫn chi tiết cho từng dạng bài tập:
Dạng 1: Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm
Để tính đạo hàm của hàm số f(x) tại một điểm x0, ta sử dụng công thức:
f'(x0) = limh→0 (f(x0 + h) - f(x0)) / h
Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = x2 tại x = 2.
Giải:
f'(2) = limh→0 ((2 + h)2 - 22) / h = limh→0 (4 + 4h + h2 - 4) / h = limh→0 (4h + h2) / h = limh→0 (4 + h) = 4
Dạng 2: Tìm đạo hàm của hàm số
Để tìm đạo hàm của hàm số f(x), ta sử dụng các quy tắc đạo hàm sau:
- Đạo hàm của hằng số bằng 0.
- Đạo hàm của xn bằng nxn-1.
- Đạo hàm của tổng (hiệu) bằng tổng (hiệu) các đạo hàm.
- Đạo hàm của tích bằng đạo hàm của thừa số thứ nhất nhân với thừa số thứ hai cộng với thừa số thứ nhất nhân với đạo hàm của thừa số thứ hai.
- Đạo hàm của thương bằng đạo hàm của tử số nhân với mẫu số trừ đi tử số nhân với đạo hàm của mẫu số, tất cả chia cho bình phương của mẫu số.
Ví dụ: Tìm đạo hàm của hàm số f(x) = 3x2 + 2x - 1.
Giải:
f'(x) = 6x + 2
Dạng 3: Vận dụng đạo hàm để giải các bài toán về tốc độ, gia tốc
Trong các bài toán về tốc độ, gia tốc, đạo hàm được sử dụng để tính tốc độ thay đổi của vận tốc (gia tốc) và tốc độ thay đổi của quãng đường (vận tốc).
Ví dụ: Một vật chuyển động với quãng đường s(t) = t2 + 2t (t tính bằng giây, s tính bằng mét). Tính vận tốc và gia tốc của vật tại thời điểm t = 3 giây.
Giải:
Vận tốc: v(t) = s'(t) = 2t + 2. Tại t = 3, v(3) = 2(3) + 2 = 8 m/s.
Gia tốc: a(t) = v'(t) = 2. Gia tốc không đổi và bằng 2 m/s2.
Lưu ý khi giải bài tập
- Nắm vững các công thức và quy tắc đạo hàm cơ bản.
- Phân tích kỹ đề bài để xác định đúng dạng bài tập.
- Kiểm tra lại kết quả sau khi giải xong.
Kết luận
Bài 4 trang 109 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm và rèn luyện kỹ năng giải toán. Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn trên, các em sẽ tự tin giải quyết bài tập này và đạt kết quả tốt trong môn Toán.
