Bài 2. Các quy tắc tính đạo hàm

Bài 2 trong chương VII của sách Toán 11 tập 2 - Cánh diều tập trung vào việc giới thiệu và áp dụng các quy tắc tính đạo hàm cơ bản. Việc nắm vững các quy tắc này là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán đạo hàm phức tạp hơn trong chương trình học.

1. Quy tắc đạo hàm của một tổng hoặc hiệu

Nếu u(x) và v(x) là hai hàm số có đạo hàm tại điểm x₀, thì đạo hàm của tổng hoặc hiệu của hai hàm số đó tại x₀ được tính như sau:

(u(x) ± v(x))' = u'(x) ± v'(x)

Quy tắc này cho phép chúng ta tính đạo hàm của một hàm số phức tạp bằng cách chia nhỏ nó thành các hàm số đơn giản hơn và tính đạo hàm của từng phần sau đó.

2. Quy tắc đạo hàm của một tích

Nếu u(x) và v(x) là hai hàm số có đạo hàm tại điểm x₀, thì đạo hàm của tích của hai hàm số đó tại x₀ được tính như sau:

(u(x)v(x))' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)

Đây là quy tắc tích, rất hữu ích khi hàm số cần tính đạo hàm là tích của hai hàm số khác.

3. Quy tắc đạo hàm của một thương

Nếu u(x) và v(x) là hai hàm số có đạo hàm tại điểm x₀ và v(x₀) ≠ 0, thì đạo hàm của thương của hai hàm số đó tại x₀ được tính như sau:

(u(x)/v(x))' = (u'(x)v(x) - u(x)v'(x)) / (v(x))²

Quy tắc thương được sử dụng khi hàm số cần tính đạo hàm là thương của hai hàm số khác.

4. Quy tắc đạo hàm của hàm hợp

Nếu y = f(u) và u = g(x), thì đạo hàm của hàm hợp y = f(g(x)) tại điểm x₀ được tính như sau:

dy/dx = dy/du * du/dx

Đây là quy tắc chuỗi, một công cụ mạnh mẽ để tính đạo hàm của các hàm số phức tạp được xây dựng từ các hàm số đơn giản hơn.

5. Đạo hàm của một số hàm số cơ bản

Ngoài các quy tắc trên, chúng ta cần nhớ đạo hàm của một số hàm số cơ bản:

Hàm số	Đạo hàm
c (hằng số)	0
xⁿ	nx^n-1
sin(x)	cos(x)
cos(x)	-sin(x)
tan(x)	1/cos²(x)
e^x	e^x
ln(x)	1/x

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = 3x² + 2x - 5

Áp dụng quy tắc đạo hàm của một tổng hoặc hiệu, ta có:

f'(x) = (3x²)' + (2x)' - (5)' = 6x + 2 - 0 = 6x + 2

Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số g(x) = x²sin(x)

Áp dụng quy tắc đạo hàm của một tích, ta có:

g'(x) = (x²)'sin(x) + x²(sin(x))' = 2xsin(x) + x²cos(x)

Bài tập luyện tập

Tính đạo hàm của hàm số h(x) = 4x³ - 7x + 1
Tính đạo hàm của hàm số k(x) = xcos(x)
Tính đạo hàm của hàm số l(x) = (x² + 1) / (x - 1)

Việc luyện tập thường xuyên với các bài tập khác nhau sẽ giúp các em hiểu sâu hơn về các quy tắc tính đạo hàm và áp dụng chúng một cách linh hoạt trong các bài toán cụ thể. Chúc các em học tốt!