Bài 4 trang 15 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều
Bài 4 trang 15 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều: Giải tích
Bài 4 trang 15 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều là một bài tập quan trọng trong chương trình học Giải tích lớp 11. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về giới hạn của hàm số để giải quyết các bài toán cụ thể.
Montoan.com.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho Bài 4 trang 15 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều, giúp học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải bài tập.
Tính các giá trị lượng giác của góc (alpha ) trong mỗi trường hợp sau:
Đề bài
Tính các giá trị lượng giác của góc \(\alpha \) trong mỗi trường hợp sau:
a) \(\sin \alpha = \frac{{\sqrt {15} }}{4}\) với \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \)
b) \(\cos \alpha = - \frac{2}{3}\) với \( - \pi < \alpha < 0\)
c) \(\tan \alpha = 3\) với \( - \pi < \alpha < 0\)
d) \(\cot \alpha = - 2\) với \(0 < \alpha < \pi \)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng các công thức sau :
\({\cos ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha \,\,\, = \,1\)
\(\tan \alpha .\cot \alpha \,\,\, = \,\,\,1\) với \(\cos \alpha \ne 0;\sin \alpha \ne 0\)
\(1 + {\tan ^2}\alpha \,\,\, = \,\,\,\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\) với \(\cos \alpha \ne 0\)
\(1 + {\cot ^2}\alpha \,\,\, = \,\,\,\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\) với \(\sin \alpha \ne 0\)
Lời giải chi tiết
a) Ta có \({\cos ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha \,\,\, = \,1\)
mà \(\sin \alpha = \frac{{\sqrt {15} }}{4}\) nên \({\cos ^2}\alpha + {\left( {\frac{{\sqrt {15} }}{4}} \right)^2}\,\,\, = \,1 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{1}{{16}}\)
Lại có \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \) nên \(\cos \alpha < 0 \Rightarrow \cos \alpha = - \frac{1}{4}\)
Khi đó \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{co{\mathop{\rm s}\nolimits} \alpha }} = - \sqrt {15} ;\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = - \frac{1}{{\sqrt {15} }}\)
b)
Ta có \({\cos ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha \,\,\, = \,1\)
mà \(\cos \alpha = - \frac{2}{3}\) nên \({\sin ^2}\alpha + {\left( {\frac{{ - 2}}{3}} \right)^2}\,\,\, = \,1 \Rightarrow {\sin ^2}\alpha = \frac{5}{9}\)
Lại có \( - \pi < \alpha < 0\) nên \(\sin \alpha < 0 \Rightarrow \sin \alpha = - \frac{{\sqrt 5 }}{3}\)
Khi đó \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{co{\mathop{\rm s}\nolimits} \alpha }} = \frac{{\sqrt 5 }}{2};\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\)
c)
Ta có \(\tan \alpha = 3\) nên
\(\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{1}{3}\)
\(\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = 1 + {\tan ^2}\alpha \,\,\, = \,1 + {3^2} = 10\,\, \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{1}{{10}}\)
Mà \({\cos ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha \,\,\, = \,1 \Rightarrow {\sin ^2}\alpha = \frac{9}{{10}}\)
Với \( - \pi < \alpha < 0\) thì \(\sin \alpha < 0 \Rightarrow \sin \alpha = - \sqrt {\frac{9}{{10}}} \)
Với \( - \pi < \alpha < - \frac{\pi }{2}\) thì \(\cos \alpha < 0 \Rightarrow \cos \alpha = - \sqrt {\frac{1}{{10}}} \)
và \( - \frac{\pi }{2} \le \alpha < 0\) thì \(\cos \alpha > 0 \Rightarrow \cos \alpha = \sqrt {\frac{1}{{10}}} \)
d)
Ta có \(\cot \alpha = - 2\) nên
\(\tan \alpha = \frac{1}{{\cot \alpha }} = - \frac{1}{2}\)
\(\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} = 1 + co{{\mathop{\rm t}\nolimits} ^2}\alpha \,\,\, = \,1 + {( - 2)^2} = 5\,\, \Rightarrow {\sin ^2}\alpha = \frac{1}{5}\)
Mà \({\cos ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha \,\,\, = \,1 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{4}{5}\)
Với \(0 < \alpha < \pi \) thì \(\sin \alpha > 0 \Rightarrow \sin \alpha = \sqrt {\frac{1}{5}} \)
Với \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\) thì \(\cos \alpha > 0 \Rightarrow \cos \alpha = \sqrt {\frac{4}{5}} \)
và \(\frac{\pi }{2} \le \alpha < \pi \) thì \(\cos \alpha < 0 \Rightarrow \cos \alpha = - \sqrt {\frac{4}{5}} \)
Bài 4 trang 15 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều: Giải chi tiết và phương pháp
Bài 4 trang 15 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều thuộc chương trình Giải tích, tập trung vào việc tính giới hạn của hàm số. Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững các định nghĩa và tính chất của giới hạn, cũng như các phương pháp tính giới hạn thường gặp.
Nội dung bài tập
Bài tập yêu cầu tính các giới hạn sau:
- lim (x→2) (x^2 - 3x + 2) / (x - 2)
- lim (x→-1) (x^3 + 1) / (x + 1)
- lim (x→0) (√(x+1) - 1) / x
Phương pháp giải
Để giải quyết bài tập này, chúng ta sẽ sử dụng các phương pháp sau:
- Phân tích thành nhân tử: Đối với các biểu thức có dạng phân thức, ta có thể phân tích tử và mẫu thành nhân tử để rút gọn biểu thức, từ đó tính giới hạn.
- Nhân liên hợp: Đối với các biểu thức chứa căn thức, ta có thể nhân cả tử và mẫu với liên hợp của biểu thức chứa căn thức để khử căn thức, từ đó tính giới hạn.
- Sử dụng các định lý về giới hạn: Áp dụng các định lý về giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương và lũy thừa của các hàm số.
Giải chi tiết
1. lim (x→2) (x^2 - 3x + 2) / (x - 2)
Ta phân tích tử thành nhân tử: x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)
Vậy, lim (x→2) (x^2 - 3x + 2) / (x - 2) = lim (x→2) (x - 1)(x - 2) / (x - 2) = lim (x→2) (x - 1) = 2 - 1 = 1
2. lim (x→-1) (x^3 + 1) / (x + 1)
Ta phân tích tử thành nhân tử: x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)
Vậy, lim (x→-1) (x^3 + 1) / (x + 1) = lim (x→-1) (x + 1)(x^2 - x + 1) / (x + 1) = lim (x→-1) (x^2 - x + 1) = (-1)^2 - (-1) + 1 = 1 + 1 + 1 = 3
3. lim (x→0) (√(x+1) - 1) / x
Ta nhân cả tử và mẫu với liên hợp của tử: (√(x+1) - 1) / x = ((√(x+1) - 1)(√(x+1) + 1)) / (x(√(x+1) + 1)) = (x + 1 - 1) / (x(√(x+1) + 1)) = x / (x(√(x+1) + 1)) = 1 / (√(x+1) + 1)
Vậy, lim (x→0) (√(x+1) - 1) / x = lim (x→0) 1 / (√(x+1) + 1) = 1 / (√(0+1) + 1) = 1 / (1 + 1) = 1/2
Kết luận
Vậy, kết quả của Bài 4 trang 15 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều là:
- lim (x→2) (x^2 - 3x + 2) / (x - 2) = 1
- lim (x→-1) (x^3 + 1) / (x + 1) = 3
- lim (x→0) (√(x+1) - 1) / x = 1/2
Bài tập tương tự
Để củng cố kiến thức về giới hạn, bạn có thể làm thêm các bài tập tương tự sau:
- Tính lim (x→3) (x^2 - 9) / (x - 3)
- Tính lim (x→1) (x^3 - 1) / (x - 1)
- Tính lim (x→0) (√(x+4) - 2) / x
Montoan.com.vn hy vọng với lời giải chi tiết và phương pháp giải rõ ràng này, bạn sẽ hiểu rõ hơn về Bài 4 trang 15 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều và có thể tự tin giải quyết các bài tập tương tự.
