Bài 4 trang 79 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều
Bài 4 trang 79 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều: Giải tích hàm số
Bài 4 trang 79 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều là một bài tập quan trọng trong chương trình học giải tích hàm số. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về tập xác định, tập giá trị, khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số để giải quyết.
Montoan.com.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho Bài 4 trang 79 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải bài tập.
Tính các giới hạn sau: a) (mathop {lim }limits_{x to - infty } frac{{6x + 8}}{{5x - 2}}); b) (mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{6x + 8}}{{5x - 2}});
Đề bài
Tính các giới hạn sau:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{6x + 8}}{{5x - 2}}\);
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{6x + 8}}{{5x - 2}}\);
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {9{x^2} - x + 1} }}{{3x - 2}}\);
d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {9{x^2} - x + 1} }}{{3x - 2}}\);
e) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{3{x^2} + 4}}{{2x + 4}}\);
g) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{3{x^2} + 4}}{{2x + 4}}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng phương pháp:
- Chia cả tử và mẫu cho \({x^n}\), với n là số mũ cao nhất trong biểu thức đối với câu a, b.
- Câu c, d: \(\sqrt {{x^2}} = \left| x \right| = \left\{ \begin{array}{l}x,x \to + \infty \\ - x,x \to - \infty \end{array} \right.\)
- Câu d, e sử dụng giới hạn cơ bản sau: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} \frac{1}{{x - a}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} \frac{1}{{x - a}} = - \infty \)
Lời giải chi tiết
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{6x + 8}}{{5x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x\left( {6 + \frac{8}{x}} \right)}}{{x\left( {5 - \frac{2}{x}} \right)}} = \frac{6}{5}\)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{6x + 8}}{{5x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\left( {6 + \frac{8}{x}} \right)}}{{x\left( {5 - \frac{2}{x}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{6 + \frac{8}{x}}}{{5 - \frac{2}{x}}} = \frac{6}{5}\).
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {9{x^2} - x + 1} }}{{3x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - x\sqrt {9 - \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{x\left( {3 - \frac{2}{x}} \right)}} = - \frac{3}{3} = - 1\).
d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {9{x^2} - x + 1} }}{{3x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x\sqrt {9 - \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{x\left( {3 - \frac{2}{x}} \right)}} = \frac{3}{3} = 1\).
e) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{3{x^2} + 4}}{{2x + 4}} = - \infty \)
Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \left( {3{x^2} + 1} \right) = 3.{\left( { - 2} \right)^2} + 1 = 13 > 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{1}{{2x + 4}} = - \infty \)
g) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{3{x^2} + 4}}{{2x + 4}} = + \infty \).
Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \left( {3{x^2} + 1} \right) = 3.{\left( { - 2} \right)^2} + 1 = 13 > 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{1}{{2x + 4}} = + \infty \)
Bài 4 trang 79 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều: Giải chi tiết và phương pháp
Bài 4 yêu cầu xét tính đơn điệu của hàm số. Để giải bài này, chúng ta cần xác định tập xác định của hàm số, tính đạo hàm cấp một, tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định, và lập bảng biến thiên.
Phân tích bài toán
Hàm số được cho là f(x) = 2x3 - 3x2 + 1. Đầu tiên, ta xác định tập xác định của hàm số. Vì f(x) là một đa thức, tập xác định của nó là R (tập hợp tất cả các số thực).
Tính đạo hàm cấp một
Tiếp theo, ta tính đạo hàm cấp một của hàm số: f'(x) = 6x2 - 6x.
Tìm điểm cực trị
Để tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0, ta giải phương trình f'(x) = 0:
6x2 - 6x = 0
6x(x - 1) = 0
Vậy, x = 0 hoặc x = 1.
Lập bảng biến thiên
Ta lập bảng biến thiên để xét dấu của đạo hàm và xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số:
| x | -∞ | 0 | 1 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| f'(x) | + | - | + | |
| f(x) | ↗ | ↘ | ↗ |
Kết luận
Dựa vào bảng biến thiên, ta có thể kết luận:
- Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞, 0) và (1, +∞).
- Hàm số nghịch biến trên khoảng (0, 1).
Các dạng bài tập tương tự
Ngoài Bài 4 trang 79, các em học sinh có thể tham khảo các bài tập tương tự để rèn luyện kỹ năng giải bài tập về tính đơn điệu của hàm số:
- Bài 5 trang 79 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều
- Bài 6 trang 80 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều
- Các bài tập trong sách bài tập Toán 11 tập 1 - Cánh Diều
Mẹo giải bài tập về tính đơn điệu của hàm số
Để giải bài tập về tính đơn điệu của hàm số một cách hiệu quả, các em học sinh nên:
- Nắm vững định nghĩa về hàm số đồng biến, nghịch biến.
- Thành thạo các kỹ năng tính đạo hàm.
- Biết cách lập bảng biến thiên.
- Kiểm tra lại kết quả sau khi giải bài tập.
Ứng dụng của việc xét tính đơn điệu của hàm số
Việc xét tính đơn điệu của hàm số có nhiều ứng dụng trong thực tế, chẳng hạn như:
- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
- Giải các bài toán tối ưu hóa.
- Phân tích sự thay đổi của các đại lượng trong các bài toán vật lý, kinh tế, kỹ thuật.
Hy vọng với lời giải chi tiết và phương pháp giải Bài 4 trang 79 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về kiến thức này và đạt kết quả tốt trong học tập.
