THCS
THCS
Bài 4 trang 79 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều là một bài tập quan trọng trong chương trình học giải tích hàm số. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về tập xác định, tập giá trị, khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số để giải quyết.
Montoan.com.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho Bài 4 trang 79 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải bài tập.
Tính các giới hạn sau: a) (mathop {lim }limits_{x to - infty } frac{{6x + 8}}{{5x - 2}}); b) (mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{6x + 8}}{{5x - 2}});
Đề bài
Tính các giới hạn sau:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{6x + 8}}{{5x - 2}}\);
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{6x + 8}}{{5x - 2}}\);
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {9{x^2} - x + 1} }}{{3x - 2}}\);
d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {9{x^2} - x + 1} }}{{3x - 2}}\);
e) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{3{x^2} + 4}}{{2x + 4}}\);
g) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{3{x^2} + 4}}{{2x + 4}}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng phương pháp:
- Chia cả tử và mẫu cho \({x^n}\), với n là số mũ cao nhất trong biểu thức đối với câu a, b.
- Câu c, d: \(\sqrt {{x^2}} = \left| x \right| = \left\{ \begin{array}{l}x,x \to + \infty \\ - x,x \to - \infty \end{array} \right.\)
- Câu d, e sử dụng giới hạn cơ bản sau: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} \frac{1}{{x - a}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} \frac{1}{{x - a}} = - \infty \)
Lời giải chi tiết
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{6x + 8}}{{5x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x\left( {6 + \frac{8}{x}} \right)}}{{x\left( {5 - \frac{2}{x}} \right)}} = \frac{6}{5}\)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{6x + 8}}{{5x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\left( {6 + \frac{8}{x}} \right)}}{{x\left( {5 - \frac{2}{x}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{6 + \frac{8}{x}}}{{5 - \frac{2}{x}}} = \frac{6}{5}\).
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {9{x^2} - x + 1} }}{{3x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - x\sqrt {9 - \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{x\left( {3 - \frac{2}{x}} \right)}} = - \frac{3}{3} = - 1\).
d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {9{x^2} - x + 1} }}{{3x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x\sqrt {9 - \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{x\left( {3 - \frac{2}{x}} \right)}} = \frac{3}{3} = 1\).
e) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{3{x^2} + 4}}{{2x + 4}} = - \infty \)
Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \left( {3{x^2} + 1} \right) = 3.{\left( { - 2} \right)^2} + 1 = 13 > 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{1}{{2x + 4}} = - \infty \)
g) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{3{x^2} + 4}}{{2x + 4}} = + \infty \).
Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \left( {3{x^2} + 1} \right) = 3.{\left( { - 2} \right)^2} + 1 = 13 > 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{1}{{2x + 4}} = + \infty \)
Bài 4 yêu cầu xét tính đơn điệu của hàm số. Để giải bài này, chúng ta cần xác định tập xác định của hàm số, tính đạo hàm cấp một, tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định, và lập bảng biến thiên.
Hàm số được cho là f(x) = 2x3 - 3x2 + 1. Đầu tiên, ta xác định tập xác định của hàm số. Vì f(x) là một đa thức, tập xác định của nó là R (tập hợp tất cả các số thực).
Tiếp theo, ta tính đạo hàm cấp một của hàm số: f'(x) = 6x2 - 6x.
Để tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0, ta giải phương trình f'(x) = 0:
6x2 - 6x = 0
6x(x - 1) = 0
Vậy, x = 0 hoặc x = 1.
Ta lập bảng biến thiên để xét dấu của đạo hàm và xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số:
| x | -∞ | 0 | 1 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| f'(x) | + | - | + | |
| f(x) | ↗ | ↘ | ↗ |
Dựa vào bảng biến thiên, ta có thể kết luận:
Ngoài Bài 4 trang 79, các em học sinh có thể tham khảo các bài tập tương tự để rèn luyện kỹ năng giải bài tập về tính đơn điệu của hàm số:
Để giải bài tập về tính đơn điệu của hàm số một cách hiệu quả, các em học sinh nên:
Việc xét tính đơn điệu của hàm số có nhiều ứng dụng trong thực tế, chẳng hạn như:
Hy vọng với lời giải chi tiết và phương pháp giải Bài 4 trang 79 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về kiến thức này và đạt kết quả tốt trong học tập.
