THCS
THCS
Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Hàm số liên tục trong chương trình SGK Toán 11 Cánh Diều tại montoan.com.vn. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức nền tảng và quan trọng nhất về hàm số liên tục, giúp bạn tự tin giải quyết các bài tập và ứng dụng trong học tập và cuộc sống.
Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá định nghĩa, điều kiện, tính chất và các ví dụ minh họa cụ thể về hàm số liên tục.
I. Khái niệm
I. Khái niệm
1. Hàm số liên tục tại 1 điểm
Cho hàm \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\), \({x_0} \in \left( {a;b} \right)\). Hàm số \(f(x)\) được gọi là liên tục tại điểm \({x_0}\)nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = f({x_0})\).
Hàm số không liên tục tại \({x_0}\) được gọi là gián đoạn tại điểm đó.
2. Hàm số liên tục trên một khoảng hoặc một đoạn
- Hàm số \(y = f(x)\) được gọi là liên tục trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng này.
- Hàm số \(y = f(x)\) được gọi là liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) nếu nó liên tục trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = f(a),\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f(x) = f(b)\).
* Nhận xét: Đồ thị hàm số liên tục trên một khoảng là “đường liền” trên khoảng đó.
III. Một số định lí cơ bản
1. Tính liên tục của hàm sơ cấp cơ bản
- Hàm số đa thức và hàm số \(y = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}},y = c{\rm{osx}}\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).
- Các hàm số \(y = \tan {\rm{x}},y = c{\rm{otx,}}y = \sqrt x \) và hàm phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) liên tục trên tập xác định của chúng.
2. Tính liên tục của tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục
Giả sử hai hàm số \(y = f(x)\) và \(y = g(x)\) liên tục tại điểm \({x_0}\). Khi đó:
a, Các hàm số \(y = f(x) \pm g(x)\) và \(y = f(x).g(x)\) liên tục tại điểm \({x_0}\).
b, Hàm số \(y = \frac{{f(x)}}{{g(x)}}\) liên tục tại điểm \({x_0}\) nếu \(g({x_0}) \ne 0\).
Hàm số liên tục là một khái niệm cơ bản và quan trọng trong giải tích, đóng vai trò then chốt trong việc nghiên cứu các tính chất của hàm số và ứng dụng vào nhiều lĩnh vực khác nhau. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết lý thuyết hàm số liên tục theo chương trình SGK Toán 11 Cánh Diều, giúp học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng cần thiết.
Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm x0 nếu thỏa mãn ba điều kiện sau:
Hàm số f(x) được gọi là liên tục trên khoảng (a; b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng (a; b).
Hàm số f(x) được gọi là liên tục trên đoạn [a; b] nếu nó liên tục trên khoảng (a; b) và liên tục phải từ bên phải tại a và liên tục trái tại b.
Ví dụ 1: Hàm số f(x) = x2 + 1 là hàm số liên tục trên ℝ vì nó là hàm đa thức.
Ví dụ 2: Hàm số f(x) = 1/x là hàm số liên tục trên khoảng (0; +∞) và (-∞; 0) vì nó là hàm phân thức và mẫu số khác 0 trên các khoảng này.
Lý thuyết hàm số liên tục có nhiều ứng dụng quan trọng trong toán học và các lĩnh vực khác, bao gồm:
Để củng cố kiến thức về hàm số liên tục, bạn có thể thực hành giải các bài tập sau:
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích về lý thuyết hàm số liên tục. Chúc bạn học tập tốt!
