Bài 5 trang 15 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều
Bài 5 trang 15 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều: Giải tích
Bài 5 trang 15 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều là một bài tập quan trọng trong chương trình học Giải tích lớp 11. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về giới hạn của hàm số để giải quyết các bài toán cụ thể.
Montoan.com.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho Bài 5 trang 15 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải bài tập.
Cho α + β = π. Tính: a) A = sin2α + cos2β; b) B = (sinα + cosβ)2 + (cosα + sinβ)2.
Đề bài
Cho α + β = π. Tính:
a) A = sin2α + cos2β;
b) B = (sinα + cosβ)2 + (cosα + sinβ)2.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng công thức lượng giác sau:
\( \sin \alpha = \sin (π - \alpha ) ; \cos \alpha = - \cos(π - \alpha ) \)
Lời giải chi tiết
Ta có α + β = π nên sinα = sin(π – α) = sinβ, suy ra sin2α = sin2β.
a) A = sin2α + cos2β = sin2β + cos2β = 1.
b) Ta có α + β = π nên cosα = – cos(π – α) = – cosβ.
Khi đó, B = (sinα + cosβ)2 + (cosα + sinβ)2
= (sinβ + cosβ)2 + (– cosβ + sinβ)2
= (sinβ + cosβ)2 + (sinβ – cosβ )2
= sin2β + 2sinβ cosβ + cos2β + sin2β – 2sinβ cosβ + cos2β
= 2(sin2β + cos2β)
= 2 . 1 = 2.
Bài 5 trang 15 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều: Giải chi tiết và phương pháp
Bài 5 trang 15 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều thuộc chương trình Giải tích, tập trung vào việc tính giới hạn của hàm số. Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững các định nghĩa và tính chất của giới hạn, cũng như các phương pháp tính giới hạn thường gặp.
Nội dung bài tập
Bài tập yêu cầu tính các giới hạn sau:
- lim (x→2) (x^2 - 3x + 2) / (x - 2)
- lim (x→-1) (x^3 + 1) / (x + 1)
- lim (x→0) (√(x+1) - 1) / x
Phương pháp giải
Để giải các giới hạn này, chúng ta có thể sử dụng các phương pháp sau:
- Phân tích thành nhân tử: Đối với các giới hạn có dạng phân số, ta có thể phân tích tử và mẫu thành nhân tử để rút gọn biểu thức.
- Nhân liên hợp: Đối với các giới hạn có chứa căn thức, ta có thể nhân cả tử và mẫu với liên hợp của biểu thức chứa căn thức để khử căn thức.
- Sử dụng định lý giới hạn: Áp dụng các định lý về giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương và lũy thừa của các hàm số.
Giải chi tiết
1. lim (x→2) (x^2 - 3x + 2) / (x - 2)
Ta phân tích tử thành nhân tử: x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)
Vậy, lim (x→2) (x^2 - 3x + 2) / (x - 2) = lim (x→2) (x - 1)(x - 2) / (x - 2) = lim (x→2) (x - 1) = 2 - 1 = 1
2. lim (x→-1) (x^3 + 1) / (x + 1)
Ta phân tích tử thành nhân tử: x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)
Vậy, lim (x→-1) (x^3 + 1) / (x + 1) = lim (x→-1) (x + 1)(x^2 - x + 1) / (x + 1) = lim (x→-1) (x^2 - x + 1) = (-1)^2 - (-1) + 1 = 1 + 1 + 1 = 3
3. lim (x→0) (√(x+1) - 1) / x
Ta nhân cả tử và mẫu với liên hợp của tử: (√(x+1) - 1) / x = ((√(x+1) - 1)(√(x+1) + 1)) / (x(√(x+1) + 1)) = (x + 1 - 1) / (x(√(x+1) + 1)) = x / (x(√(x+1) + 1)) = 1 / (√(x+1) + 1)
Vậy, lim (x→0) (√(x+1) - 1) / x = lim (x→0) 1 / (√(x+1) + 1) = 1 / (√(0+1) + 1) = 1 / (1 + 1) = 1/2
Bài tập tương tự
Để củng cố kiến thức, các em có thể tự giải các bài tập tương tự sau:
- lim (x→3) (x^2 - 9) / (x - 3)
- lim (x→1) (x^3 - 1) / (x - 1)
- lim (x→0) (√(x+4) - 2) / x
Kết luận
Bài 5 trang 15 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng tính giới hạn của hàm số. Việc nắm vững các phương pháp giải và luyện tập thường xuyên sẽ giúp các em tự tin giải quyết các bài tập tương tự trong các kỳ thi.
