Bài 1. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Bài 1. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian - SGK Toán 11 - Cánh diều: Tổng quan và các khái niệm cơ bản

Bài 1 trong chương 4 của sách giáo khoa Toán 11 Cánh diều tập trung vào việc giới thiệu các khái niệm cơ bản về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian ba chiều. Đây là nền tảng quan trọng để học sinh có thể tiếp cận và giải quyết các bài toán hình học không gian phức tạp hơn.

1. Các khái niệm cơ bản

• Đường thẳng trong không gian: Một đường thẳng trong không gian được xác định bởi hai điểm phân biệt hoặc một điểm và một vectơ chỉ phương.
• Mặt phẳng trong không gian: Một mặt phẳng trong không gian được xác định bởi ba điểm không thẳng hàng, một điểm và một vectơ pháp tuyến, hoặc hai đường thẳng cắt nhau.
• Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng: Đường thẳng có thể nằm trong mặt phẳng, cắt mặt phẳng tại một điểm, hoặc song song với mặt phẳng.

2. Các phương pháp xác định đường thẳng và mặt phẳng

Có nhiều phương pháp để xác định một đường thẳng hoặc một mặt phẳng trong không gian:

• Xác định đường thẳng:
  • Phương trình tham số của đường thẳng.
  • Phương trình chính tắc của đường thẳng.
• Xác định mặt phẳng:
  • Phương trình tổng quát của mặt phẳng.
  • Phương trình mặt phẳng theo một điểm và một vectơ pháp tuyến.

3. Quan hệ song song giữa đường thẳng và mặt phẳng

Một trong những nội dung quan trọng của bài học là xét quan hệ song song giữa đường thẳng và mặt phẳng. Một đường thẳng song song với một mặt phẳng khi và chỉ khi vectơ chỉ phương của đường thẳng vuông góc với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

Để kiểm tra quan hệ song song, ta có thể sử dụng tích vô hướng của hai vectơ. Nếu tích vô hướng bằng 0, thì hai vectơ vuông góc với nhau.

4. Bài tập minh họa

Bài tập 1: Cho đường thẳng d có phương trình tham số: x = 1 + t, y = 2 - t, z = 3 + 2t và mặt phẳng (P) có phương trình: 2x - y + z - 5 = 0. Chứng minh rằng đường thẳng d song song với mặt phẳng (P).

Giải:

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là a = (1, -1, 2). Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n = (2, -1, 1).

Ta có a.n = 1*2 + (-1)*(-1) + 2*1 = 2 + 1 + 2 = 5 ≠ 0. Vậy đường thẳng d không song song với mặt phẳng (P).

Bài tập 2: Tìm phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng (Q): x + 2y - z + 3 = 0 và đi qua điểm A(1, 2, 3).

Giải:

Vì mặt phẳng cần tìm song song với mặt phẳng (Q) nên vectơ pháp tuyến của nó cũng là n = (1, 2, -1). Phương trình mặt phẳng cần tìm có dạng: x + 2y - z + D = 0.

Thay tọa độ điểm A(1, 2, 3) vào phương trình, ta được: 1 + 2*2 - 3 + D = 0 => 1 + 4 - 3 + D = 0 => D = -2.

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là: x + 2y - z - 2 = 0.

5. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, các em cần luyện tập thường xuyên các bài tập trong sách giáo khoa và các tài liệu tham khảo. Ngoài ra, việc tìm hiểu thêm các ứng dụng thực tế của kiến thức này cũng sẽ giúp các em hiểu sâu hơn về tầm quan trọng của nó.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho các em những kiến thức cơ bản và hữu ích về Bài 1. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian - SGK Toán 11 - Cánh diều. Chúc các em học tập tốt!