Bài 4 trang 120 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều

Bài 4 trang 120 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều: Giải chi tiết và hướng dẫn

Bài 4 trang 120 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều thuộc chương trình học về hàm số, cụ thể là phần xét tính đơn điệu của hàm số. Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững các khái niệm về đạo hàm, dấu của đạo hàm và mối liên hệ giữa dấu của đạo hàm với tính đơn điệu của hàm số.

Nội dung bài tập

Bài tập yêu cầu xét tính đơn điệu của các hàm số sau trên các khoảng được chỉ ra:

• a) y = x³ - 3x² + 2 trên khoảng (-∞; 1)
• b) y = x⁴ - 4x³ + 4x² + 1 trên khoảng (0; 2)
• c) y = (x - 1)²(x² + 1) trên khoảng (1; +∞)

Hướng dẫn giải chi tiết

Để giải bài tập này, ta thực hiện các bước sau:

1. Tính đạo hàm y' của hàm số.
2. Xác định các điểm mà y' = 0 hoặc y' không xác định. Đây là các điểm tới hạn của hàm số.
3. Xét dấu của y' trên các khoảng xác định.
4. Kết luận về tính đơn điệu của hàm số trên các khoảng đó. Nếu y' > 0 trên một khoảng, hàm số đồng biến trên khoảng đó. Nếu y' < 0 trên một khoảng, hàm số nghịch biến trên khoảng đó.

Giải chi tiết từng phần

a) y = x³ - 3x² + 2 trên khoảng (-∞; 1)

Đạo hàm của hàm số là y' = 3x² - 6x = 3x(x - 2). Giải phương trình y' = 0, ta được x = 0 và x = 2. Vì ta xét trên khoảng (-∞; 1), ta chỉ quan tâm đến x = 0. Xét dấu y' trên khoảng (-∞; 0) và (0; 1):

• Trên khoảng (-∞; 0), y' > 0, do đó hàm số đồng biến.
• Trên khoảng (0; 1), y' < 0, do đó hàm số nghịch biến.

Vậy, hàm số y = x³ - 3x² + 2 đồng biến trên khoảng (-∞; 0) và nghịch biến trên khoảng (0; 1).

b) y = x⁴ - 4x³ + 4x² + 1 trên khoảng (0; 2)

Đạo hàm của hàm số là y' = 4x³ - 12x² + 8x = 4x(x² - 3x + 2) = 4x(x - 1)(x - 2). Giải phương trình y' = 0, ta được x = 0, x = 1 và x = 2. Vì ta xét trên khoảng (0; 2), ta chỉ quan tâm đến x = 1. Xét dấu y' trên khoảng (0; 1) và (1; 2):

• Trên khoảng (0; 1), y' > 0, do đó hàm số đồng biến.
• Trên khoảng (1; 2), y' < 0, do đó hàm số nghịch biến.

Vậy, hàm số y = x⁴ - 4x³ + 4x² + 1 đồng biến trên khoảng (0; 1) và nghịch biến trên khoảng (1; 2).

c) y = (x - 1)²(x² + 1) trên khoảng (1; +∞)

Đạo hàm của hàm số là y' = 2(x - 1)(x² + 1) + (x - 1)²(2x) = 2(x - 1)(x² + 1 + (x - 1)x) = 2(x - 1)(x² + 1 + x² - x) = 2(x - 1)(2x² - x + 1). Giải phương trình y' = 0, ta được x = 1. Vì ta xét trên khoảng (1; +∞), ta không cần quan tâm đến x = 1. Xét dấu y' trên khoảng (1; +∞):

• Vì x > 1, nên x - 1 > 0. Mặt khác, 2x² - x + 1 luôn dương với mọi x (vì delta = (-1)² - 4*2*1 = -7 < 0 và hệ số a = 2 > 0). Do đó, y' > 0 trên khoảng (1; +∞).

Vậy, hàm số y = (x - 1)²(x² + 1) đồng biến trên khoảng (1; +∞).

Kết luận

Bài 4 trang 120 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều là một bài tập điển hình để rèn luyện kỹ năng xét tính đơn điệu của hàm số. Việc nắm vững các bước giải và áp dụng linh hoạt các kiến thức về đạo hàm sẽ giúp học sinh giải quyết bài tập một cách hiệu quả.

Hy vọng với lời giải chi tiết này, các bạn học sinh đã hiểu rõ cách giải Bài 4 trang 120 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều. Chúc các bạn học tốt!