Bài 16. Hàm số bậc hai

Hàm số bậc hai là một trong những chủ đề quan trọng của chương trình Toán 10, đóng vai trò nền tảng cho các kiến thức nâng cao hơn trong các lớp học tiếp theo. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn toàn diện về hàm số bậc hai, bao gồm định nghĩa, các dạng biểu diễn, tính chất, và ứng dụng thực tế.

1. Định nghĩa hàm số bậc hai

Hàm số bậc hai có dạng tổng quát là y = ax² + bx + c, trong đó a, b, và c là các số thực, và a ≠ 0. 'a' là hệ số bậc hai, 'b' là hệ số bậc nhất, và 'c' là hệ số tự do. Hàm số bậc hai còn được gọi là parabol.

2. Các dạng biểu diễn của hàm số bậc hai

Dạng tổng quát: y = ax² + bx + c
Dạng chuẩn: y = a(x - h)² + k, trong đó (h, k) là tọa độ đỉnh của parabol.

Việc chuyển đổi giữa hai dạng này giúp chúng ta dễ dàng xác định các đặc điểm quan trọng của parabol, như đỉnh, trục đối xứng, và giao điểm với các trục tọa độ.

3. Tính chất của hàm số bậc hai

Hàm số bậc hai có những tính chất quan trọng sau:

Chiều mở của parabol:
- Nếu a > 0: Parabol mở lên trên.
- Nếu a < 0: Parabol mở xuống dưới.
Đỉnh của parabol: Tọa độ đỉnh I(h, k) được tính bằng công thức:
- h = -b / 2a
- k = f(h) = a(h)² + b(h) + c
Trục đối xứng: Đường thẳng x = h là trục đối xứng của parabol.
Giao điểm với trục Oy: Điểm A(0, c) là giao điểm của parabol với trục Oy.
Giao điểm với trục Ox: Nghiệm của phương trình ax² + bx + c = 0 là hoành độ giao điểm của parabol với trục Ox.

4. Ứng dụng của hàm số bậc hai

Hàm số bậc hai có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:

Vật lý: Mô tả quỹ đạo của vật ném, chuyển động của các vật thể chịu tác dụng của trọng lực.
Kinh tế: Xác định lợi nhuận tối đa, chi phí sản xuất.
Kỹ thuật: Thiết kế các công trình kiến trúc, cầu đường.

5. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Xác định đỉnh và trục đối xứng của hàm số y = 2x² - 8x + 6.

Giải:

a = 2, b = -8, c = 6
h = -b / 2a = -(-8) / (2 * 2) = 2
k = 2(2)² - 8(2) + 6 = -2

Vậy, đỉnh của parabol là I(2, -2) và trục đối xứng là x = 2.

Ví dụ 2: Tìm giao điểm của parabol y = x² - 4x + 3 với trục Ox.

Giải:

Giải phương trình x² - 4x + 3 = 0. Ta có nghiệm x₁ = 1 và x₂ = 3. Vậy, giao điểm của parabol với trục Ox là A(1, 0) và B(3, 0).

6. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về hàm số bậc hai, bạn nên thực hành giải nhiều bài tập khác nhau. Sách bài tập Toán 10 Kết nối tri thức cung cấp một loạt các bài tập đa dạng, từ cơ bản đến nâng cao, giúp bạn rèn luyện kỹ năng và củng cố kiến thức đã học.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn một cái nhìn tổng quan và đầy đủ về hàm số bậc hai. Chúc bạn học tập tốt!