Bài 2. Biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức và áp dụng

Trong chương trình Toán 12, chuyên đề về biến ngẫu nhiên và phân bố xác suất đóng vai trò quan trọng, đặc biệt là trong việc chuẩn bị cho kỳ thi THPT Quốc gia. Bài 2, tập trung vào biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức và áp dụng, là một phần không thể bỏ qua.

1. Biến ngẫu nhiên rời rạc và phân bố nhị thức

Trước khi đi sâu vào phân bố nhị thức, chúng ta cần ôn lại khái niệm về biến ngẫu nhiên rời rạc. Biến ngẫu nhiên rời rạc là biến ngẫu nhiên chỉ nhận một số hữu hạn các giá trị hoặc vô hạn nhưng đếm được. Phân bố nhị thức là một trường hợp đặc biệt của biến ngẫu nhiên rời rạc.

Một phép thử Bernoulli là một phép thử chỉ có hai kết quả có thể xảy ra: thành công (S) hoặc thất bại (F). Phân bố nhị thức mô tả số lần thành công trong một chuỗi n phép thử Bernoulli độc lập, với xác suất thành công p không đổi trong mỗi phép thử.

2. Định nghĩa phân bố nhị thức

Nếu X là biến ngẫu nhiên biểu thị số lần thành công trong n phép thử Bernoulli độc lập, với xác suất thành công p, thì X tuân theo phân bố nhị thức, ký hiệu là X ~ B(n, p). Hàm phân bố xác suất của X được cho bởi:

P(X = k) = C_n^k * p^k * (1 - p)^n-k, với k = 0, 1, 2, ..., n

Trong đó:

• C_n^k là hệ số nhị thức, được tính bằng n! / (k! * (n-k)!)
• p là xác suất thành công trong một phép thử
• n là số lượng phép thử
• k là số lần thành công

3. Các đặc trưng của phân bố nhị thức

Phân bố nhị thức có hai đặc trưng quan trọng là kỳ vọng (mean) và phương sai (variance).

• Kỳ vọng: E(X) = n * p
• Phương sai: Var(X) = n * p * (1 - p)

Kỳ vọng cho biết giá trị trung bình của số lần thành công trong n phép thử, còn phương sai đo lường mức độ phân tán của các giá trị xung quanh kỳ vọng.

4. Ví dụ minh họa và bài tập áp dụng

Ví dụ 1: Một đồng xu được tung 10 lần. Tính xác suất để được 6 mặt ngửa.

Giải:

X ~ B(10, 0.5) (vì xác suất ngửa là 0.5)

P(X = 6) = C₁₀⁶ * (0.5)⁶ * (0.5)⁴ = 210 * (0.5)¹⁰ ≈ 0.2051

Ví dụ 2: Một hộp chứa 20 sản phẩm, trong đó có 5 sản phẩm lỗi. Lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm từ hộp. Tính xác suất để có ít nhất 1 sản phẩm lỗi.

Giải:

Gọi X là số sản phẩm lỗi trong 3 sản phẩm được lấy. X ~ B(3, 5/20 = 0.25)

P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - C₃⁰ * (0.25)⁰ * (0.75)³ = 1 - (0.75)³ ≈ 0.4219

5. Ứng dụng của phân bố nhị thức

Phân bố nhị thức có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:

• Kiểm tra chất lượng sản phẩm
• Nghiên cứu thị trường
• Y học (ví dụ: xác suất thành công của một phương pháp điều trị)
• Khoa học xã hội (ví dụ: khảo sát ý kiến)

6. Luyện tập thêm

Để nắm vững kiến thức về phân bố nhị thức, bạn nên luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau. Hãy tìm các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập hoặc trên các trang web học toán online.

Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức và cách áp dụng nó vào giải quyết các bài toán thực tế. Chúc bạn học tốt!