Bài 2. Tích phân

Bài 2. Tích phân - SGK Toán 12: Hướng dẫn chi tiết và đầy đủ

Bài 2. Tích phân trong chương trình Toán 12 tập 2 là một phần quan trọng, đặt nền móng cho việc học giải tích ở các cấp độ cao hơn. Bài học này tập trung vào việc hiểu rõ khái niệm tích phân, các tính chất của tích phân và các phương pháp tính tích phân cơ bản.

I. Khái niệm tích phân

Tích phân là một khái niệm toán học quan trọng, được sử dụng để tính diện tích dưới đường cong của một hàm số. Về cơ bản, tích phân là quá trình ngược lại của phép vi phân.

1. Tích phân bất định

Tích phân bất định của một hàm số f(x) là một hàm số F(x) sao cho đạo hàm của F(x) bằng f(x). Ký hiệu: ∫f(x)dx = F(x) + C, trong đó C là hằng số tích phân.

Ví dụ: ∫x²dx = (x³)/3 + C

2. Tích phân xác định

Tích phân xác định của một hàm số f(x) trên đoạn [a, b] là một số thực, biểu thị diện tích có dấu giữa đồ thị của hàm số f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a và x = b. Ký hiệu: ∫_a^bf(x)dx

Ví dụ: ∫₀¹x²dx = [(x³)/3]₀¹ = (1³)/3 - (0³)/3 = 1/3

II. Các tính chất của tích phân

Tích phân có một số tính chất quan trọng, giúp đơn giản hóa việc tính toán:

• ∫_a^b[f(x) + g(x)]dx = ∫_a^bf(x)dx + ∫_a^bg(x)dx
• ∫_a^bkf(x)dx = k∫_a^bf(x)dx (với k là hằng số)
• ∫_a^bf(x)dx = -∫_b^af(x)dx
• ∫_a^af(x)dx = 0

III. Các phương pháp tính tích phân cơ bản

1. Phương pháp đổi biến số

Phương pháp này được sử dụng khi tích phân có dạng phức tạp, có thể đơn giản hóa bằng cách đổi biến số. Công thức: ∫f(g(x))g'(x)dx = ∫f(u)du (với u = g(x))

2. Phương pháp tích phân từng phần

Phương pháp này được sử dụng khi tích phân có dạng tích của hai hàm số. Công thức: ∫u dv = uv - ∫v du

IV. Bài tập vận dụng

Dưới đây là một số bài tập vận dụng để giúp bạn hiểu rõ hơn về bài học:

1. Tính tích phân ∫(2x + 1)dx
2. Tính tích phân ∫₀²x³dx
3. Tính tích phân ∫x sin(x)dx (sử dụng phương pháp tích phân từng phần)

Lời giải:

1. ∫(2x + 1)dx = x² + x + C
2. ∫₀²x³dx = [(x⁴)/4]₀² = (2⁴)/4 - (0⁴)/4 = 4
3. ∫x sin(x)dx = -x cos(x) + ∫cos(x)dx = -x cos(x) + sin(x) + C

Bài 2. Tích phân là một bài học quan trọng trong chương trình Toán 12. Việc nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập trong bài học này sẽ giúp bạn tự tin hơn trong các kỳ thi và ứng dụng vào thực tế.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những thông tin hữu ích và giúp bạn hiểu rõ hơn về Bài 2. Tích phân - SGK Toán 12. Chúc bạn học tập tốt!