THCS
THCS
Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 4.15 trang 20 SGK Toán 12 tập 2 tại montoan.com.vn. Bài tập này thuộc chương trình học về đạo hàm của hàm số, một trong những kiến thức trọng tâm của Toán 12.
Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững phương pháp giải và áp dụng vào các bài tập tương tự.
Đường gấp khúc ABD trong Hình 4.8 là đồ thị vận tốc \(v(t)\) của một vật (t = 0 là thời điểm vật bắt đầu chuyển động). Trong khoảng thời gian mà \(v < 0\)thì vật chuyển động ngược chiều với khoảng thời gian mà \(v > 0\). a) Viết công thức của hàm số \(v(t)\) với \(t \in [0;9]\). b) Biết rằng quãng đường vật đi chuyển với vận tốc \(v = v(t)\) từ thời điểm \(t = a\) đến thời điểm \(t = b\) là \(s = \int_a^b | v(t)|{\mkern 1mu} dt\), tính quãng đường vật di chuyển được trong 9 giây kể từ khi vật
Đề bài
Đường gấp khúc ABD trong Hình 4.8 là đồ thị vận tốc \(v(t)\) của một vật (t = 0 là thời điểm vật bắt đầu chuyển động). Trong khoảng thời gian mà \(v < 0\)thì vật chuyển động ngược chiều với khoảng thời gian mà \(v > 0\).
a) Viết công thức của hàm số \(v(t)\) với \(t \in [0;9]\).
b) Biết rằng quãng đường vật đi chuyển với vận tốc \(v = v(t)\) từ thời điểm \(t = a\) đến thời điểm \(t = b\) là \(s = \int_a^b | v(t)|{\mkern 1mu} dt\), tính quãng đường vật di chuyển được trong 9 giây kể từ khi vật bắt đầu chuyển động.
c) Tính tổng diện tích của hình thang \(OABC\) và tam giác \(CDE\) rồi so sánh với kết quả ở câu b.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a)
- Xác định các đoạn của đồ thị: Đồ thị gồm các đoạn AB, BC, và CD.
b)
- Sử dụng công thức tính quãng đường từ \(t = 0\) đến \(t = 9\) bằng tích phân của \(|v(t)|\).
- Tính từng phần diện tích tương ứng với các đoạn AB, BC, CD trên đồ thị.
c)
- Diện tích hình thang \(OABC\) được tính theo công thức diện tích hình thang.
- Diện tích tam giác \(CDE\) được tính theo công thức diện tích tam giác.
Lời giải chi tiết
a)
- Đoạn \(AB\): Ở đây, đồ thị có giá trị vận tốc không đổi là 4 m/s từ \(t = 0\) đến \(t = 6\), tức là:
\(v(t) = 4\quad {\rm{,}}\quad t \in [0;6].\)
- Đoạn \(BC\) và \(CD\): Đoạn này là một đường thẳng dốc xuống từ \(t = 6\) đến \(t = 8\), vận tốc giảm từ 4 m/s xuống -2 m/s. Phương trình đường thẳng có dạng:
\(v(t) = - 2t + 16\,\,\,\,\,\,{\rm{,}}\quad t \in [6;9].\)
Vậy, công thức của hàm vận tốc \(v(t)\) theo từng khoảng là:
\(v(t) = \mathop \{ \nolimits_{ - 2t + 16\,\,\,\,\,\,khi\,\,6 < t \le 9}^{4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,0 \le t \le 6} \)
b)
- Quãng đường được tính là tích phân của \(|v(t)|\). Cần tính tích phân của các đoạn như sau:
Đoạn AB:
\(\int_0^6 | v(t)|dt = \int_0^6 4 {\mkern 1mu} dt = 4 \times 6 = 24{\mkern 1mu} {\rm{m}}.\)
Đoạn BC và CD:
\(\int_6^9 | v(t)|dt = \int_6^9 {\left| { - 2t + 16} \right|} dt = \int_6^8 {\left( { - 2t + 16} \right)dt + } \int_8^9 {\left( {2t - 16} \right)dt} \)
\(\int_6^9 | v(t)|dt = \left. {( - {t^2} + 16t)} \right|_6^8 + \left. {({t^2} - 16t)} \right|_8^9 = 4 + 1 = 5m\)
Tổng quãng đường vật di chuyển là:
\(24 + 5 = 29{\mkern 1mu} {\rm{m}}.\)
c)
Diện tích hình thang \(OABC\):
Công thức diện tích hình thang:
\({S_{{\rm{ht}}}} = \frac{1}{2} \times (AB + OC) \times OA = \frac{1}{2} \times (6 + 8) \times 4 = 28{\mkern 1mu} .\)
Diện tích tam giác \(CDE\):
Công thức diện tích tam giác:
\({S_{{\rm{tg}}}} = \frac{1}{2} \times CE \times ED = \frac{1}{2} \times 1 \times 2 = 1{\mkern 1mu} \)
Tổng diện tích là:
\({S_{{\rm{tong}}}} = 28 + 1 = 29\)
Vậy kết quả ở câu c và câu b là giống nhau.
Bài tập 4.15 trang 20 SGK Toán 12 tập 2 yêu cầu chúng ta tìm đạo hàm của hàm số và sử dụng đạo hàm để giải quyết các bài toán liên quan đến tính đơn điệu, cực trị của hàm số. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các kiến thức cơ bản về đạo hàm, bao gồm:
Để giải bài tập 4.15, chúng ta cần xác định hàm số cần tìm đạo hàm và áp dụng các quy tắc tính đạo hàm phù hợp. Dưới đây là lời giải chi tiết:
Bài tập: (Giả sử bài tập là y = x^3 - 3x^2 + 2)
Lời giải:
Đạo hàm không chỉ được sử dụng để tìm đạo hàm của hàm số mà còn có nhiều ứng dụng quan trọng trong việc giải các bài toán liên quan đến:
Để củng cố kiến thức và kỹ năng giải bài tập về đạo hàm, các em có thể luyện tập thêm các bài tập tương tự trong SGK Toán 12 tập 2 và các tài liệu tham khảo khác. Dưới đây là một số bài tập gợi ý:
Bài tập 4.15 trang 20 SGK Toán 12 tập 2 là một bài tập quan trọng giúp các em hiểu rõ hơn về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc giải các bài toán thực tế. Hy vọng với lời giải chi tiết và các kiến thức bổ trợ trên, các em sẽ tự tin hơn trong việc giải các bài tập tương tự và đạt kết quả tốt trong môn Toán.
