Giải bài tập 5.31 trang 77 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Giải bài tập 5.31 trang 77 SGK Toán 12 tập 2
Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 5.31 trang 77 SGK Toán 12 tập 2 tại montoan.com.vn. Bài tập này thuộc chương trình học về đạo hàm của hàm số, một trong những kiến thức trọng tâm của môn Toán 12.
Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững phương pháp giải và áp dụng vào các bài tập tương tự. Ngoài ra, các em còn có thể tham khảo thêm các bài tập đã giải khác để củng cố kiến thức.
Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình sau đây: a) \({x^2} + {(y - 3)^2} + {(z + 2)^2} = 1\) b) \({(x - 2)^2} + {(y - 3)^2} + {z^2} = 4\) c) \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 8x - 2y + 1 = 0\) d) \(3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} - 6x + 8y + 15z - 3 = 0\)
Đề bài
Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình sau đây:
a) \({x^2} + {(y - 3)^2} + {(z + 2)^2} = 1\)
b) \({(x - 2)^2} + {(y - 3)^2} + {z^2} = 4\)
c) \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 8x - 2y + 1 = 0\)
d) \(3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} - 6x + 8y + 15z - 3 = 0\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Phương trình của mặt cầu có tâm \(I(a,b,c)\) và bán kính \(R\) có dạng:
\({(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {R^2}\)
- Nếu phương trình đã ở dạng chuẩn, xác định \(a\), \(b\), \(c\) và \(R\) từ phương trình.
- Nếu phương trình chưa chuẩn, đưa về dạng chuẩn bằng cách hoàn phương cho các biến \(x\), \(y\), \(z\).
Lời giải chi tiết
a) \({x^2} + {(y - 3)^2} + {(z + 2)^2} = 1\)
Từ phương trình, ta có:
- Tâm \(I(0,3, - 2)\)
- Bán kính \(R = \sqrt 1 = 1\)
b) \({(x - 2)^2} + {(y - 3)^2} + {z^2} = 4\)
Từ phương trình, ta có:
- Tâm \(I(2,3,0)\)
- Bán kính \(R = \sqrt 4 = 2\)
c) \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 8x - 2y + 1 = 0\)
Ta có: \(({x^2} - 8x) + ({y^2} - 2y) + {z^2} = - 1\)
- \(x\): \({x^2} - 8x = {(x - 4)^2} - 16\)
- \(y\): \({y^2} - 2y = {(y - 1)^2} - 1\)
- Phương trình trở thành:
\({(x - 4)^2} + {(y - 1)^2} + {z^2} = 16 + 1 - 1 = 16\)
- Tâm \(I(4,1,0)\)
- Bán kính \(R = \sqrt {16} = 4\)
d) \(3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} - 6x + 8y + 15z - 3 = 0\)
Chia cả hai vế cho 3: \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + \frac{8}{3}y + 5z = 1\)
- \(x\): \({x^2} - 2x = {(x - 1)^2} - 1\)
-\(y\): \({y^2} + \frac{8}{3}y = {\left( {y + \frac{4}{3}} \right)^2} - \frac{{16}}{9}\)
- \(z\): \({z^2} + 5z = {\left( {z + \frac{5}{2}} \right)^2} - \frac{{25}}{4}\)
- Phương trình trở thành:
\({(x - 1)^2} + {\left( {y + \frac{4}{3}} \right)^2} + {\left( {z + \frac{5}{2}} \right)^2} = 1 + 1 + \frac{{16}}{9} + \frac{{25}}{4} = \frac{{79}}{{36}}\)
- Tâm \(I\left( {1, - \frac{4}{3}, - \frac{5}{2}} \right)\)
- Bán kính \(R = \sqrt {\frac{{79}}{{36}}} = \frac{{\sqrt {79} }}{6}\)
Giải bài tập 5.31 trang 77 SGK Toán 12 tập 2: Phân tích chi tiết và phương pháp giải
Bài tập 5.31 trang 77 SGK Toán 12 tập 2 yêu cầu chúng ta tìm đạo hàm của hàm số và phân tích các yếu tố liên quan đến đạo hàm. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các quy tắc đạo hàm cơ bản, bao gồm đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương và đạo hàm của hàm hợp.
1. Đề bài bài tập 5.31 trang 77 SGK Toán 12 tập 2
Đề bài thường yêu cầu tìm đạo hàm của một hàm số phức tạp, có thể chứa nhiều phép toán và hàm số khác nhau. Ví dụ:
y = (x2 + 1) / (x - 2)
2. Phương pháp giải bài tập 5.31 trang 77 SGK Toán 12 tập 2
Để giải bài tập này, chúng ta sẽ áp dụng quy tắc đạo hàm của thương:
(u/v)' = (u'v - uv') / v2
Trong đó:
- u = x2 + 1
- v = x - 2
Tính đạo hàm của u và v:
- u' = 2x
- v' = 1
Áp dụng công thức đạo hàm của thương:
y' = (2x(x - 2) - (x2 + 1) * 1) / (x - 2)2
Rút gọn biểu thức:
y' = (2x2 - 4x - x2 - 1) / (x - 2)2
y' = (x2 - 4x - 1) / (x - 2)2
3. Ví dụ minh họa và bài tập tương tự
Để hiểu rõ hơn về phương pháp giải, chúng ta cùng xét một số ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tìm đạo hàm của hàm số y = (3x + 2) / (x + 1)
Giải:
- u = 3x + 2, u' = 3
- v = x + 1, v' = 1
y' = (3(x + 1) - (3x + 2) * 1) / (x + 1)2 = (3x + 3 - 3x - 2) / (x + 1)2 = 1 / (x + 1)2
Bài tập tương tự:
- Tìm đạo hàm của hàm số y = (x2 - 1) / (x + 3)
- Tìm đạo hàm của hàm số y = (2x - 5) / (x2 + 1)
4. Lưu ý khi giải bài tập về đạo hàm
- Nắm vững các quy tắc đạo hàm cơ bản.
- Phân tích hàm số để xác định phương pháp đạo hàm phù hợp.
- Rút gọn biểu thức đạo hàm để có kết quả chính xác.
- Kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính đúng đắn.
5. Ứng dụng của đạo hàm trong thực tế
Đạo hàm có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:
- Tính vận tốc và gia tốc trong vật lý.
- Tìm cực trị của hàm số trong kinh tế và tối ưu hóa.
- Nghiên cứu sự thay đổi của các đại lượng trong khoa học tự nhiên.
6. Tổng kết
Bài tập 5.31 trang 77 SGK Toán 12 tập 2 là một bài tập quan trọng giúp các em củng cố kiến thức về đạo hàm. Hy vọng với lời giải chi tiết và phương pháp giải được trình bày ở trên, các em sẽ tự tin giải quyết bài tập này và các bài tập tương tự một cách hiệu quả. Chúc các em học tốt!
