THCS
THCS
Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 4.28 trang 36 SGK Toán 12 tập 2 tại montoan.com.vn. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12, tập trung vào kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.
Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: a) \(y = {2^x}\), \(y = 0\), \(x = 0\), \(x = 2\); b) \(y = 12 - {x^2}\), \(y = - x\), \(x = - 3\), \(x = 4\).
Đề bài
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) \(y = {2^x}\), \(y = 0\), \(x = 0\), \(x = 2\);
b) \(y = 12 - {x^2}\), \(y = - x\), \(x = - 3\), \(x = 4\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong \(y = f(x)\) và trục hoành trên đoạn \([a,b]\) được tính bằng công thức tích phân:
\(A = \int_a^b | f(x) - 0|{\mkern 1mu} dx = \int_a^b f (x){\mkern 1mu} dx\)
Nếu có hai đường cong \({y_1}(x)\) và \({y_2}(x)\), diện tích hình phẳng giữa hai đường này trên đoạn \([a,b]\) là:
\(A = \int_a^b | {y_1}(x) - {y_2}(x)|{\mkern 1mu} dx\)
Lời giải chi tiết
a)
Diện tích \(A\) được tính bằng tích phân:
\(A = \int_0^2 {{2^x}} {\mkern 1mu} dx\)
Tính nguyên hàm của \({2^x}\):
\(\int {{2^x}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}\)
Do đó:
\(A = \left[ {\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}} \right]_0^2 = \frac{{{2^2}}}{{\ln 2}} - \frac{{{2^0}}}{{\ln 2}} = \frac{4}{{\ln 2}} - \frac{1}{{\ln 2}} = \frac{3}{{\ln 2}}\)
Vậy diện tích cần tìm là:
\(A = \frac{3}{{\ln 2}}\)
b)
Ta cần tính tích phân của hiệu giữa hai hàm \({y_1}(x) = 12 - {x^2}\) và \({y_2}(x) = - x\) trên đoạn \([ - 3,4]\). Diện tích \(A\) là:
\(A = \int_{ - 3}^4 {\left| {12 - {x^2} - \left( { - x} \right)} \right|dx = } \int_{ - 3}^4 {\left| {12 - {x^2} + x} \right|dx} = \int_{ - 3}^4 {\left( {12 - {x^2} + x} \right)dx} \)
Tính nguyên hàm:
\(\int {(12 - {x^2} + x)} {\mkern 1mu} dx = 12x - \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2}\)
Thay cận \( - 3\) và \(4\):
\(A = \left[ {12x - \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2}} \right]_{ - 3}^4 = \frac{{104}}{3} - \frac{{ - 45}}{2} = \frac{{343}}{6}\)
Vậy diện tích là:
\(A = \frac{{343}}{6}\).
Bài tập 4.28 trang 36 SGK Toán 12 tập 2 yêu cầu chúng ta khảo sát hàm số và tìm các điểm cực trị. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các bước sau:
Để minh họa, chúng ta sẽ xét một ví dụ cụ thể. Giả sử hàm số cần khảo sát là: f(x) = x3 - 3x2 + 2
Hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2 là một hàm đa thức, do đó tập xác định của hàm số là D = ℝ.
f'(x) = 3x2 - 6x
Giải phương trình f'(x) = 0:
3x2 - 6x = 0
3x(x - 2) = 0
Vậy, x = 0 hoặc x = 2
Xét dấu của f'(x):
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy:
Dựa vào các thông tin đã tìm được, ta có thể vẽ đồ thị hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2. Đồ thị hàm số sẽ có dạng một đường cong đi lên từ âm vô cùng, đạt cực đại tại (0, 2), sau đó đi xuống đạt cực tiểu tại (2, -2) và tiếp tục đi lên đến dương vô cùng.
Ngoài bài tập 4.28, còn rất nhiều bài tập tương tự trong SGK Toán 12 tập 2 và các đề thi thử. Các bài tập này thường yêu cầu:
Để nắm vững kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm, các em cần luyện tập thường xuyên và hiểu rõ các khái niệm cơ bản. montoan.com.vn sẽ tiếp tục cung cấp các bài giải chi tiết và các bài tập luyện tập để giúp các em học tốt môn Toán 12.
Bài tập 4.28 trang 36 SGK Toán 12 tập 2 là một bài tập quan trọng giúp các em hiểu rõ hơn về cách khảo sát hàm số và tìm các điểm cực trị. Hy vọng với lời giải chi tiết và các hướng dẫn trên, các em sẽ tự tin giải quyết bài tập này và các bài tập tương tự một cách hiệu quả.
