Giải mục 3 trang 8, 9 SGK Toán 12 tập 2

Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết mục 3 trang 8, 9 SGK Toán 12 tập 2 tại montoan.com.vn. Chúng tôi cung cấp lời giải đầy đủ, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.

Mục 3 tập trung vào các kiến thức quan trọng của chương trình Toán 12, do đó việc hiểu rõ và nắm vững các khái niệm là vô cùng cần thiết.

Tìm một nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = x$. Chứng minh $2F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $2f(x)$.

HĐ6

Trả lời câu hỏi Hoạt động 6 trang 8 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tìm một nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = x$. Chứng minh $2F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $2f(x)$.

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức tích phân cơ bản để tìm nguyên hàm.

- Tìm đạo hàm của hàm số $2F(x)$.

- So sánh kết quả đạo hàm với hàm số $2f(x)$ để chứng minh.

Lời giải chi tiết:

Nguyên hàm của hàm số $f(x) = x$ là:

$F(x) = \int x {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^2}}}{2} + C$

trong đó $C$ là hằng số tích phân.

Ta cần chứng minh $2F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $2f(x)$, tức là:

$\frac{d}{{dx}}[2F(x)] = 2f(x)$

Tính đạo hàm của $2F(x)$:

$\frac{d}{{dx}}[2F(x)] = 2 \cdot \frac{d}{{dx}}\left[ {\frac{{{x^2}}}{2} + C} \right] = 2 \cdot \left( x \right) = 2x$

Mà $2f(x) = 2x$. Do đó, ta có:

$\frac{d}{{dx}}[2F(x)] = 2f(x)$

Vậy $2F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $2f(x)$.

HĐ7

Trả lời câu hỏi Hoạt động 7 trang 8 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tìm một nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = 2x$ và một nguyên hàm $G(x)$ của hàm số $g(x) = 3$. Chứng minh $F(x) + G(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) + g(x)$.

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức tích phân cơ bản để tìm nguyên hàm của $f(x) = 2x$ và $g(x) = 3$.

- Tìm đạo hàm của hàm số $F(x) + G(x)$.

- So sánh kết quả đạo hàm với hàm số $f(x) + g(x)$ để chứng minh.

Lời giải chi tiết:

Nguyên hàm của hàm số $f(x) = 2x$ là:

$F(x) = \int 2 x{\mkern 1mu} dx = {x^2} + {C_1}$

trong đó ${C_1}$ là hằng số tích phân.

Nguyên hàm của hàm số $g(x) = 3$ là:

$G(x) = \int 3 {\mkern 1mu} dx = 3x + {C_2}$

trong đó ${C_2}$ là hằng số tích phân.

Ta cần chứng minh $F(x) + G(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) + g(x) = 2x + 3$, tức là:

$\frac{d}{{dx}}[F(x) + G(x)] = f(x) + g(x)$

Tính đạo hàm của $F(x) + G(x)$:

$\frac{d}{{dx}}[F(x) + G(x)] = \frac{d}{{dx}}\left[ {{x^2} + {C_1} + 3x + {C_2}} \right] = 2x + 3$

Mà $f(x) + g(x) = 2x + 3$.

Do đó, ta có:

$\frac{d}{{dx}}[F(x) + G(x)] = f(x) + g(x)$

Vậy $F(x) + G(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) + g(x)$.

LT7

Trả lời câu hỏi Luyện tập 7 trang 8 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:

a) $f(x) = {e^{2x + 1}};$

b) $g(x) = \frac{8}{x}$.

Phương pháp giải:

a) Sử dụng phương pháp tích phân với hàm mũ. Áp dụng kỹ thuật đổi biến nếu cần thiết.

b) Sử dụng công thức tích phân cơ bản đối với hàm số dạng $\frac{1}{x}$.

Lời giải chi tiết:

a) Nguyên hàm của hàm số $f(x) = {e^{2x + 1}}$ được tính như sau:

Trước tiên, ta đổi biến đặt $u = 2x + 1$. Khi đó, $du = 2dx$ hay $dx = \frac{{du}}{2}$. Tích phân của $f(x)$ trở thành:

$\int {{e^{2x + 1}}} {\mkern 1mu} dx = \int {{e^u}} \cdot \frac{{du}}{2} = \frac{1}{2}\int {{e^u}} {\mkern 1mu} du = \frac{1}{2}{e^u} + C$

Thay $u = 2x + 1$ trở lại:

$\int {{e^{2x + 1}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{1}{2}{e^{2x + 1}} + C$

Vậy họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = {e^{2x + 1}}$ là:

$F(x) = \frac{1}{2}{e^{2x + 1}} + C$

trong đó $C$ là hằng số tích phân.

Nguyên hàm của hàm số $g(x) = \frac{8}{x}$ được tính như sau: Ta biết rằng:

$\int {\frac{1}{x}} {\mkern 1mu} dx = \ln |x| + C$

Do đó:

$\int {\frac{8}{x}} {\mkern 1mu} dx = 8\int {\frac{1}{x}} {\mkern 1mu} dx = 8\ln |x| + C$

Vậy họ nguyên hàm của hàm số $g(x) = \frac{8}{x}$ là:

$G(x) = 8\ln |x| + C$

trong đó $C$ là hằng số tích phân.

LT8

Trả lời câu hỏi Luyện tập 8 trang 9 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:

a) $f(x) = {x^3} - {3^x};$

b) $g(x) = \frac{1}{x} - \frac{4}{{{{\sin }^2}x}}$.

Phương pháp giải:

a) Tính nguyên hàm của từng thành phần của hàm số. Đối với ${x^3}$, áp dụng công thức tích phân cơ bản của đa thức. Đối với ${3^x}$, sử dụng công thức tích phân của hàm số mũ với cơ số khác $e$.

b) Tính nguyên hàm của từng thành phần. Đối với $\frac{1}{x}$, áp dụng công thức tích phân cơ bản. Đối với $\frac{4}{{{{\sin }^2}x}}$, nhận dạng và sử dụng công thức tích phân của ${\csc ^2}x$.

Lời giải chi tiết:

a) Nguyên hàm của hàm số $f(x) = {x^3} - {3^x}$ được tính như sau:

Tính nguyên hàm của ${x^3}$:

$\int {{x^3}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^4}}}{4} + {C_1}$

Tính nguyên hàm của $ - {3^x}$:

$\int - {3^x}{\mkern 1mu} dx = - \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + {C_2}$

Vậy họ nguyên hàm của hàm số $f(x)$ là:

$F(x) = \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + C$

trong đó $C$ là hằng số tích phân (gộp từ ${C_1}$ và ${C_2}$).

b) Nguyên hàm của hàm số $g(x) = \frac{1}{x} - \frac{4}{{{{\sin }^2}x}}$ được tính như sau:

Tính nguyên hàm của $\frac{1}{x}$:

$\int {\frac{1}{x}} {\mkern 1mu} dx = \ln |x| + {C_3}$

Tính nguyên hàm của $ - \frac{4}{{{{\sin }^2}x}}$:

$\int - \frac{4}{{{{\sin }^2}x}}{\mkern 1mu} dx = - 4\int {{{\csc }^2}} x{\mkern 1mu} dx = - 4( - \cot x) = 4\cot x + {C_4}$

Vậy họ nguyên hàm của hàm số $g(x)$ là:

$G(x) = \ln |x| + 4\cot x + C$

trong đó $C$ là hằng số tích phân (gộp từ ${C_3}$ và ${C_4}$).

VD2

Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 9 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tốc độ tăng trưởng của một đàn gấu mèo tại thời điểm $t$ tháng kể từ khi người ta thả 100 cá thể đầu tiên vào một khu rừng được ước lượng bởi công thức $P'(t) = 8t + 30$ (con/tháng), với $P(t)$ là số lượng cá thể trong đàn tại thời điểm $t$ tháng tương ứng. Dựa vào tốc độ tăng trưởng đã cho, hãy ước tính số cá thể của đàn gấu mèo này tại thời điểm 3 tháng kể từ khi chúng được thả vào rừng.

Phương pháp giải:

Tìm hàm số lượng cá thể $P(t)$:

- Biết $P'(t) = 8t + 30$ là đạo hàm của hàm số lượng cá thể $P(t)$, ta tìm $P(t)$ bằng cách lấy tích phân của $P'(t)$ và thêm hằng số tích phân $C$.

- Sử dụng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $C$.

Tính số lượng cá thể tại $t = 3$:

- Thay $t = 3$ vào hàm $P(t)$ đã tìm được để tính số lượng cá thể tại thời điểm 3 tháng.

Lời giải chi tiết:

Đạo hàm của hàm số lượng cá thể là $P'(t) = 8t + 30$. Tích phân của $P'(t)$ là:

$P(t) = \int {(8t + 30)} {\mkern 1mu} dt = 4{t^2} + 30t + C$

với $C$ là hằng số tích phân.

Theo đề bài, tại thời điểm $t = 0$, số lượng cá thể là 100:

$P(0) = 4{(0)^2} + 30(0) + C = 100$

Do đó, $C = 100$. Vậy hàm số lượng cá thể là:

$P(t) = 4{t^2} + 30t + 100$

Thay $t = 3$ vào hàm $P(t)$:

$P(3) = 4{(3)^2} + 30(3) + 100 = 4(9) + 90 + 100 = 36 + 90 + 100 = 226$

Số lượng cá thể của đàn gấu mèo tại thời điểm 3 tháng là 226 cá thể.

LT9

Trả lời câu hỏi Luyện tập 9 trang 9 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:

a) $g(x) = \frac{{{x^4} + 2}}{{{x^2}}};$

b) $h(t) = 2t(t - 3)$.

Phương pháp giải:

- Chia từng thành phần của tử số cho mẫu số để đơn giản hóa hàm số.

- Sử dụng công thức tích phân cơ bản để tìm nguyên hàm.

- Phân phối 2t qua dấu ngoặc để đơn giản hóa biểu thức.

- Sử dụng công thức tích phân cơ bản để tìm nguyên hàm.

Lời giải chi tiết:

Đầu tiên, ta đơn giản hóa hàm số bằng cách chia tử số cho mẫu số:

$g(x) = \frac{{{x^4} + 2}}{{{x^2}}} = \frac{{{x^4}}}{{{x^2}}} + \frac{2}{{{x^2}}} = {x^2} + 2{x^{ - 2}}$

Bây giờ ta tìm nguyên hàm của hàm số $g(x) = {x^2} + 2{x^{ - 2}}$:

$\int g (x){\mkern 1mu} dx = \int {({x^2} + 2{x^{ - 2}})} {\mkern 1mu} dx$

Tính nguyên hàm của từng thành phần:

$\int {{x^2}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^3}}}{3} + {C_1}$

$\int 2 {x^{ - 2}}{\mkern 1mu} dx = 2\int {{x^{ - 2}}} {\mkern 1mu} dx = 2 \cdot \left( { - {x^{ - 1}}} \right) = - \frac{2}{x} + {C_2}$

Vậy họ nguyên hàm của hàm số $g(x)$ là:

$G(x) = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{2}{x} + C$

trong đó $C$ là hằng số tích phân (gộp từ ${C_1}$ và ${C_2}$).

Đầu tiên, ta phân phối $2t$ qua dấu ngoặc:

$h(t) = 2t(t - 3) = 2{t^2} - 6t$

Bây giờ ta tìm nguyên hàm của hàm số $h(t) = 2{t^2} - 6t$:

$\int h (t){\mkern 1mu} dt = \int {(2{t^2} - 6t)} {\mkern 1mu} dt$

Tính nguyên hàm của từng thành phần:

$\int 2 {t^2}{\mkern 1mu} dt = 2 \cdot \frac{{{t^3}}}{3} = \frac{{2{t^3}}}{3} + {C_3}$

$\int - 6t{\mkern 1mu} dt = - 6 \cdot \frac{{{t^2}}}{2} = - 3{t^2} + {C_4}$

Vậy họ nguyên hàm của hàm số $h(t)$ là:

$H(t) = \frac{{2{t^3}}}{3} - 3{t^2} + C$

trong đó $C$ là hằng số tích phân (gộp từ ${C_3}$ và ${C_4}$).

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

HĐ6
LT7
HĐ7
LT8
LT9
VD2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 6 trang 8 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tìm một nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = x$. Chứng minh $2F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $2f(x)$.

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức tích phân cơ bản để tìm nguyên hàm.

- Tìm đạo hàm của hàm số $2F(x)$.

- So sánh kết quả đạo hàm với hàm số $2f(x)$ để chứng minh.

Lời giải chi tiết:

Nguyên hàm của hàm số $f(x) = x$ là:

$F(x) = \int x {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^2}}}{2} + C$

trong đó $C$ là hằng số tích phân.

Ta cần chứng minh $2F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $2f(x)$, tức là:

$\frac{d}{{dx}}[2F(x)] = 2f(x)$

Tính đạo hàm của $2F(x)$:

$\frac{d}{{dx}}[2F(x)] = 2 \cdot \frac{d}{{dx}}\left[ {\frac{{{x^2}}}{2} + C} \right] = 2 \cdot \left( x \right) = 2x$

Mà $2f(x) = 2x$. Do đó, ta có:

$\frac{d}{{dx}}[2F(x)] = 2f(x)$

Vậy $2F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $2f(x)$.

Trả lời câu hỏi Luyện tập 7 trang 8 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:

a) $f(x) = {e^{2x + 1}};$

b) $g(x) = \frac{8}{x}$.

Phương pháp giải:

a) Sử dụng phương pháp tích phân với hàm mũ. Áp dụng kỹ thuật đổi biến nếu cần thiết.

b) Sử dụng công thức tích phân cơ bản đối với hàm số dạng $\frac{1}{x}$.

Lời giải chi tiết:

a) Nguyên hàm của hàm số $f(x) = {e^{2x + 1}}$ được tính như sau:

Trước tiên, ta đổi biến đặt $u = 2x + 1$. Khi đó, $du = 2dx$ hay $dx = \frac{{du}}{2}$. Tích phân của $f(x)$ trở thành:

$\int {{e^{2x + 1}}} {\mkern 1mu} dx = \int {{e^u}} \cdot \frac{{du}}{2} = \frac{1}{2}\int {{e^u}} {\mkern 1mu} du = \frac{1}{2}{e^u} + C$

Thay $u = 2x + 1$ trở lại:

$\int {{e^{2x + 1}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{1}{2}{e^{2x + 1}} + C$

Vậy họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = {e^{2x + 1}}$ là:

$F(x) = \frac{1}{2}{e^{2x + 1}} + C$

trong đó $C$ là hằng số tích phân.

Nguyên hàm của hàm số $g(x) = \frac{8}{x}$ được tính như sau: Ta biết rằng:

$\int {\frac{1}{x}} {\mkern 1mu} dx = \ln |x| + C$

Do đó:

$\int {\frac{8}{x}} {\mkern 1mu} dx = 8\int {\frac{1}{x}} {\mkern 1mu} dx = 8\ln |x| + C$

Vậy họ nguyên hàm của hàm số $g(x) = \frac{8}{x}$ là:

$G(x) = 8\ln |x| + C$

trong đó $C$ là hằng số tích phân.

Trả lời câu hỏi Hoạt động 7 trang 8 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức tích phân cơ bản để tìm nguyên hàm của $f(x) = 2x$ và $g(x) = 3$.

- Tìm đạo hàm của hàm số $F(x) + G(x)$.

- So sánh kết quả đạo hàm với hàm số $f(x) + g(x)$ để chứng minh.

Lời giải chi tiết:

Nguyên hàm của hàm số $f(x) = 2x$ là:

$F(x) = \int 2 x{\mkern 1mu} dx = {x^2} + {C_1}$

trong đó ${C_1}$ là hằng số tích phân.

Nguyên hàm của hàm số $g(x) = 3$ là:

$G(x) = \int 3 {\mkern 1mu} dx = 3x + {C_2}$

trong đó ${C_2}$ là hằng số tích phân.

Ta cần chứng minh $F(x) + G(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) + g(x) = 2x + 3$, tức là:

$\frac{d}{{dx}}[F(x) + G(x)] = f(x) + g(x)$

Tính đạo hàm của $F(x) + G(x)$:

$\frac{d}{{dx}}[F(x) + G(x)] = \frac{d}{{dx}}\left[ {{x^2} + {C_1} + 3x + {C_2}} \right] = 2x + 3$

Mà $f(x) + g(x) = 2x + 3$.

Do đó, ta có:

$\frac{d}{{dx}}[F(x) + G(x)] = f(x) + g(x)$

Vậy $F(x) + G(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) + g(x)$.

Trả lời câu hỏi Luyện tập 8 trang 9 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:

a) $f(x) = {x^3} - {3^x};$

b) $g(x) = \frac{1}{x} - \frac{4}{{{{\sin }^2}x}}$.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

a) Nguyên hàm của hàm số $f(x) = {x^3} - {3^x}$ được tính như sau:

Tính nguyên hàm của ${x^3}$:

$\int {{x^3}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^4}}}{4} + {C_1}$

Tính nguyên hàm của $ - {3^x}$:

$\int - {3^x}{\mkern 1mu} dx = - \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + {C_2}$

Vậy họ nguyên hàm của hàm số $f(x)$ là:

$F(x) = \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + C$

trong đó $C$ là hằng số tích phân (gộp từ ${C_1}$ và ${C_2}$).

b) Nguyên hàm của hàm số $g(x) = \frac{1}{x} - \frac{4}{{{{\sin }^2}x}}$ được tính như sau:

Tính nguyên hàm của $\frac{1}{x}$:

$\int {\frac{1}{x}} {\mkern 1mu} dx = \ln |x| + {C_3}$

Tính nguyên hàm của $ - \frac{4}{{{{\sin }^2}x}}$:

$\int - \frac{4}{{{{\sin }^2}x}}{\mkern 1mu} dx = - 4\int {{{\csc }^2}} x{\mkern 1mu} dx = - 4( - \cot x) = 4\cot x + {C_4}$

Vậy họ nguyên hàm của hàm số $g(x)$ là:

$G(x) = \ln |x| + 4\cot x + C$

trong đó $C$ là hằng số tích phân (gộp từ ${C_3}$ và ${C_4}$).

Trả lời câu hỏi Luyện tập 9 trang 9 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:

a) $g(x) = \frac{{{x^4} + 2}}{{{x^2}}};$

b) $h(t) = 2t(t - 3)$.

Phương pháp giải:

- Chia từng thành phần của tử số cho mẫu số để đơn giản hóa hàm số.

- Sử dụng công thức tích phân cơ bản để tìm nguyên hàm.

- Phân phối 2t qua dấu ngoặc để đơn giản hóa biểu thức.

- Sử dụng công thức tích phân cơ bản để tìm nguyên hàm.

Lời giải chi tiết:

Đầu tiên, ta đơn giản hóa hàm số bằng cách chia tử số cho mẫu số:

$g(x) = \frac{{{x^4} + 2}}{{{x^2}}} = \frac{{{x^4}}}{{{x^2}}} + \frac{2}{{{x^2}}} = {x^2} + 2{x^{ - 2}}$

Bây giờ ta tìm nguyên hàm của hàm số $g(x) = {x^2} + 2{x^{ - 2}}$:

$\int g (x){\mkern 1mu} dx = \int {({x^2} + 2{x^{ - 2}})} {\mkern 1mu} dx$

Tính nguyên hàm của từng thành phần:

$\int {{x^2}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^3}}}{3} + {C_1}$

$\int 2 {x^{ - 2}}{\mkern 1mu} dx = 2\int {{x^{ - 2}}} {\mkern 1mu} dx = 2 \cdot \left( { - {x^{ - 1}}} \right) = - \frac{2}{x} + {C_2}$

Vậy họ nguyên hàm của hàm số $g(x)$ là:

$G(x) = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{2}{x} + C$

trong đó $C$ là hằng số tích phân (gộp từ ${C_1}$ và ${C_2}$).

Đầu tiên, ta phân phối $2t$ qua dấu ngoặc:

$h(t) = 2t(t - 3) = 2{t^2} - 6t$

Bây giờ ta tìm nguyên hàm của hàm số $h(t) = 2{t^2} - 6t$:

$\int h (t){\mkern 1mu} dt = \int {(2{t^2} - 6t)} {\mkern 1mu} dt$

Tính nguyên hàm của từng thành phần:

$\int 2 {t^2}{\mkern 1mu} dt = 2 \cdot \frac{{{t^3}}}{3} = \frac{{2{t^3}}}{3} + {C_3}$

$\int - 6t{\mkern 1mu} dt = - 6 \cdot \frac{{{t^2}}}{2} = - 3{t^2} + {C_4}$

Vậy họ nguyên hàm của hàm số $h(t)$ là:

$H(t) = \frac{{2{t^3}}}{3} - 3{t^2} + C$

trong đó $C$ là hằng số tích phân (gộp từ ${C_3}$ và ${C_4}$).

Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 9 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Phương pháp giải:

Tìm hàm số lượng cá thể $P(t)$:

- Biết $P'(t) = 8t + 30$ là đạo hàm của hàm số lượng cá thể $P(t)$, ta tìm $P(t)$ bằng cách lấy tích phân của $P'(t)$ và thêm hằng số tích phân $C$.

- Sử dụng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $C$.

Tính số lượng cá thể tại $t = 3$:

- Thay $t = 3$ vào hàm $P(t)$ đã tìm được để tính số lượng cá thể tại thời điểm 3 tháng.

Lời giải chi tiết:

Đạo hàm của hàm số lượng cá thể là $P'(t) = 8t + 30$. Tích phân của $P'(t)$ là:

$P(t) = \int {(8t + 30)} {\mkern 1mu} dt = 4{t^2} + 30t + C$

với $C$ là hằng số tích phân.

Theo đề bài, tại thời điểm $t = 0$, số lượng cá thể là 100:

$P(0) = 4{(0)^2} + 30(0) + C = 100$

Do đó, $C = 100$. Vậy hàm số lượng cá thể là:

$P(t) = 4{t^2} + 30t + 100$

Thay $t = 3$ vào hàm $P(t)$:

$P(3) = 4{(3)^2} + 30(3) + 100 = 4(9) + 90 + 100 = 36 + 90 + 100 = 226$

Số lượng cá thể của đàn gấu mèo tại thời điểm 3 tháng là 226 cá thể.

Bạn đang khám phá nội dung Giải mục 3 trang 8, 9 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá trong chuyên mục sgk toán 12 trên nền tảng tài liệu toán. Được biên soạn chuyên sâu và bám sát chặt chẽ chương trình sách giáo khoa hiện hành, bộ bài tập toán trung học phổ thông này cam kết tối ưu hóa toàn diện quá trình ôn luyện, củng cố kiến thức Toán lớp 12 cho học sinh THPT, thông qua phương pháp tiếp cận trực quan và mang lại hiệu quả học tập vượt trội, tạo nền tảng vững chắc cho Kỳ thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia và hành trang vào đại học.

Ghi chú: Quý thầy, cô giáo và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên MonToan.com.vn bằng cách gửi về:

Facebook: MÔN TOÁN

Email: montoanmath@gmail.com

Giải mục 3 trang 8, 9 SGK Toán 12 tập 2: Tổng quan và Phương pháp tiếp cận

Mục 3 trong SGK Toán 12 tập 2 thường xoay quanh các chủ đề về đạo hàm, ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số, và các bài toán liên quan đến cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. Việc nắm vững các định nghĩa, tính chất và công thức liên quan đến đạo hàm là nền tảng để giải quyết các bài tập trong mục này.

Bài 1: Giải chi tiết bài tập 1 trang 8 SGK Toán 12 tập 2

Bài tập 1 thường yêu cầu tính đạo hàm của một hàm số cho trước. Để giải bài tập này, học sinh cần áp dụng các quy tắc tính đạo hàm cơ bản như quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương, và quy tắc đạo hàm của hàm hợp. Ví dụ, nếu hàm số là f(x) = x² + 3x - 2, thì đạo hàm của f(x) là f'(x) = 2x + 3.

Bài 2: Giải chi tiết bài tập 2 trang 8 SGK Toán 12 tập 2

Bài tập 2 có thể yêu cầu tìm tập xác định của hàm số hoặc xét tính liên tục của hàm số. Để giải bài tập này, học sinh cần hiểu rõ các khái niệm về tập xác định, tập giá trị, và tính liên tục của hàm số. Ví dụ, hàm số f(x) = 1/x có tập xác định là R \ {0}, tức là tất cả các số thực trừ 0.

Bài 3: Giải chi tiết bài tập 3 trang 9 SGK Toán 12 tập 2

Bài tập 3 thường liên quan đến việc khảo sát hàm số bằng đạo hàm. Để giải bài tập này, học sinh cần tìm đạo hàm bậc nhất, xác định các điểm cực trị, và vẽ đồ thị hàm số. Ví dụ, để khảo sát hàm số f(x) = x³ - 3x + 2, ta cần tìm đạo hàm f'(x) = 3x² - 3, giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm cực trị, và xét dấu của f'(x) để xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số.

Ứng dụng của đạo hàm trong giải quyết bài toán thực tế

Đạo hàm không chỉ là công cụ quan trọng trong toán học mà còn có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác như vật lý, kinh tế, và kỹ thuật. Ví dụ, trong vật lý, đạo hàm được sử dụng để tính vận tốc và gia tốc của một vật thể. Trong kinh tế, đạo hàm được sử dụng để tính chi phí biên và doanh thu biên.

Lưu ý khi giải bài tập về đạo hàm

Nắm vững các quy tắc tính đạo hàm cơ bản.
Hiểu rõ các khái niệm về đạo hàm, cực trị, và khoảng đồng biến, nghịch biến.
Thực hành giải nhiều bài tập để rèn luyện kỹ năng.
Sử dụng máy tính cầm tay hoặc phần mềm toán học để kiểm tra kết quả.

Tổng kết

Giải mục 3 trang 8, 9 SGK Toán 12 tập 2 đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm. Bằng cách áp dụng các quy tắc tính đạo hàm cơ bản, hiểu rõ các khái niệm liên quan, và thực hành giải nhiều bài tập, học sinh có thể tự tin giải quyết các bài tập trong mục này và đạt kết quả tốt trong môn Toán.

Ví dụ minh họa về việc tìm cực trị của hàm số

Xét hàm số y = x³ - 6x² + 9x + 1. Để tìm cực trị của hàm số, ta thực hiện các bước sau:

Tính đạo hàm bậc nhất: y' = 3x² - 12x + 9
Giải phương trình y' = 0: 3x² - 12x + 9 = 0 => x = 1 hoặc x = 3
Tính đạo hàm bậc hai: y'' = 6x - 12
Kiểm tra dấu của y'' tại các điểm cực trị:
- Tại x = 1: y'' = 6(1) - 12 = -6 < 0 => Hàm số đạt cực đại tại x = 1
- Tại x = 3: y'' = 6(3) - 12 = 6 > 0 => Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3
Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị:
- Tại x = 1: y = (1)³ - 6(1)² + 9(1) + 1 = 5
- Tại x = 3: y = (3)³ - 6(3)² + 9(3) + 1 = 1