THCS
THCS
Chào mừng các em học sinh đến với chuyên mục giải bài tập Toán 12 của montoan.com.vn. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng nhau giải chi tiết các bài tập trong mục 2 trang 5, 6, 7 SGK Toán 12 tập 1.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp các em hiểu rõ kiến thức, nắm vững phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Cực trị của hàm số
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 6 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Chỉ ra một điểm cực đại, một điểm cực tiểu của đồ thị hàm số được cho ở hoạt động 3
Phương pháp giải:
Áp dụng định nghĩa về cực trị:
Cho hàm số \(y = f(x)\)liên tục trên khoảng \((a;b)\) và điểm \({x_0} \in (a;b)\)
Nếu tồn tại \(h > 0\)sao cho \(f(x) < f({x_0})\)với mọi \(x \in ({x_0} - h;{x_0} + h) \subset (a;b)\)và \(x \ne 0\)thì ta nói hàm số đạt cực đại tại \({x_0}\)
Nếu tồn tại \(h > 0\)sao cho \(f(x) > f({x_0})\) với mọi \(x \in ({x_0} - h;{x_0} + h) \subset (a;b)\)và \(x \ne 0\)thì ta nói hàm số đạt tiểu đại tại \({x_0}\)
Lời giải chi tiết:
Theo định nghĩa, ta có thể chọn\(h = 1\) ta có, \({x_0} - h = - 3\)và \({x_0} + h = - 1\)
Dựa vào đồ thị hàm số, ta có
\(f(x) > f( - 2)\), với\(\forall x \in ( - 3; - 1)\backslash \{ - 2\} \)
Suy ra \({x_0} = - 2\) là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số
Theo định nghĩa, ta có thể chọn \(h = \frac{1}{2}\) ta có, \({x_0} - h = \frac{3}{2}\) và\({x_0} + h = \frac{5}{2}\)
Dựa vào đồ thị hàm số, ta có
\(f(x) < f(2)\) với \(\forall x \in \left( {\frac{3}{2};\frac{5}{2}} \right)\backslash \{ 2\} \)
Suy ra \({x_0} = 2\) là điểm đại của đồ thị hàm số
Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 8 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Tìm cực trị của hàm số \(y = f(x) = \frac{{3x + 1}}{{x - 2}}\)
Phương pháp giải:
Bước 1: Tính \(f'(x)\)
Bước 2: Lập bảng biến thiên
Bước 3: Xác định cực trị của hàm số
Lời giải chi tiết:
Hàm số trên xác định trên \(R/\{ 2\} \)
Ta có: \(f'(x) = \frac{{3(x - 2) - (3x + 1)}}{{{{(x - 2)}^2}}}\)
\(f'(x) = \frac{{ - 7}}{{{{(x - 2)}^2}}}\)
Vì \(f'(x) = \frac{{ - 7}}{{{{(x - 2)}^2}}} < 0\) với \(x \in R/\{ 2\} \)
Nên hàm số \(y = f(x) = \frac{{3x + 1}}{{x - 2}}\) không có cực trị.
Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 7 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên đoạn \(\left[ { - 3;3} \right]\)và có đồ thị hàm số như hình 1.4. Hãy xác định các điểm cực trị của hàm số trên khoảng\(\left( { - 3;3} \right)\)
Phương pháp giải:
Dựa vào đồ thị hàm số.
Lời giải chi tiết:
Dựa vào đồ thị hàm số, hàm số có 3 điểm cực trị là-1;1;2
Với điểm có cực trị là -1 thì giá trị cực trị là 1
Với điểm có cực trị là 1 thì giá trị cực trị là -3
Với điểm có cực trị là 2 thì giá trị cực trị là 3
Trả lời câu hỏi Vận dụng trang 8 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trở lại bài toán Khởi động ban đầu bài học, hãy lập bảng biến thiên của hàm số \(y = C(x) = \frac{{30x}}{{{x^2} + 2}}\)trên khoảng \((0; + \infty )\)
Khi đó, cho biết hàm nồng độ thước trong máu :
a) Tăng trong khoảng thời gian nào
b) Đạt giá trị cực đại là bao nhiêu trong khoảng thời gian 6 phút sau khi tiêm
Phương pháp giải:
Bước 1: Tính \(C'(x)\)
Bước 2: Lập bảng biến thiên của hàm số
Bước 3: Tính hàm nồng độ thước trong máu tăng trong khoảng thời gian nào là tính hàm số \(C(x)\) tăng trong khoảng nào hay hàm số \(C(x)\)đồng biến trong khoảng nào
Bước 4: Nồng độ thước máu đạt cực đại là bao nhiêu trong 6 phút sau khi tiêm là giá trị cực đại của hàm số \(C(x)\) trong khoảng \((0;6)\)
Lời giải chi tiết:
Hàm số trên xác định trên R
Ta có: \(y' = C'(x) = \frac{{30({x^2} + 2) - 30x.2x}}{{{{({x^2} + 2)}^2}}}\)
\( = \frac{{ - 30{x^2} + 60}}{{{{({x^2} + 2)}^2}}}\)
Xét \(y' = 0\) \( \Rightarrow - 30{x^2} + 60 = 0\) \( \Leftrightarrow x = \sqrt 2 \)
Ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, ta có :
a) Hàm số \(C(x)\)đồng biến trên khoảng \((0;7,5\sqrt 2 )\)hay nồng độ thước máu tăng từ sau khi tiêm đến \(7,5\sqrt 2 \)phút sau.
b) Hàm số \(C(x)\) đạt giá trị cực đại tại \(x = \sqrt 2 \)hay nồng độ thức máu đạt giá trị cực đại sau \(\sqrt 2 \) phút
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 5 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Hàm số \(y = f(x) = - \frac{1}{8}{x^3} + \frac{3}{2}x + 2\) có đồ thị cho ở hình 1.3
a) Giải phương trình \(f'(x) = 0\)
b) Dựa vào đồ thị, só sánh \(f( - 2)\) với các giá trị khi \(x \in ( - 3; - 1)\)
c) Dựa vào đồ thị, só sánh \(f(2)\) với các giá trị khi \(x \in \left( {\frac{3}{2};\frac{5}{2}} \right)\)
Phương pháp giải:
a) Tính \(f'(x)\) rồi giải phương trình \(f'(x) = 0\)
b) Dựa vào đồ thị hàm số rồi giải
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \(f'(x) = - \frac{3}{8}{x^2} + \frac{3}{2}\)
Xét \(f'(x) = - \frac{3}{8}{x^2} + \frac{3}{2} = 0\)
\( \Rightarrow {x^2} = 4\)
\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 2\end{array} \right.\)
b) Dựa vào đồ thị, giá trị của \(f( - 2)\) luôn bé hơn các giá trị \(f(x)\) khi \(x \in ( - 3; - 1)\)
c) Dựa vào đồ thị, giá trị của \(f(2)\)luôn lớn hơn các giá trị\(f(x)\) khi \(x \in \left( {\frac{3}{2};\frac{5}{2}} \right)\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 6 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Xét hàm số ở hoạt động 3. Xác định dấu của đạo hàm ở các ô 
tương ứng với thuộc các khoảng trong bảng 1.2. Nêu mỗi liên hệ giữa sự tồn tại cực trị và dấu của đạo hàm.
Phương pháp giải:
Dựa vào đồ thị hàm số, nếu đồ thị hàm số\(f(x)\) đi xuống thì \(f'(x)\)mang dấu (-)và ngược lại, nếu đồ thị hàm số\(f(x)\) đi lên thì \(f'(x)\) mang dấu (+).
Nhìn vào điểm cực trị trên bảng biến thiên rồi nhận xét.
Lời giải chi tiết:
Mối liên hệ giữa sự tồn tại cực trị và dấu của đạo hàm là: Nếu đạo hàm có cực trị thì dấu của đạo hàm bên trái và bên phải điểm cực trị sẽ khác nhau.
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 5 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Hàm số \(y = f(x) = - \frac{1}{8}{x^3} + \frac{3}{2}x + 2\) có đồ thị cho ở hình 1.3
a) Giải phương trình \(f'(x) = 0\)
b) Dựa vào đồ thị, só sánh \(f( - 2)\) với các giá trị khi \(x \in ( - 3; - 1)\)
c) Dựa vào đồ thị, só sánh \(f(2)\) với các giá trị khi \(x \in \left( {\frac{3}{2};\frac{5}{2}} \right)\)
Phương pháp giải:
a) Tính \(f'(x)\) rồi giải phương trình \(f'(x) = 0\)
b) Dựa vào đồ thị hàm số rồi giải
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \(f'(x) = - \frac{3}{8}{x^2} + \frac{3}{2}\)
Xét \(f'(x) = - \frac{3}{8}{x^2} + \frac{3}{2} = 0\)
\( \Rightarrow {x^2} = 4\)
\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 2\end{array} \right.\)
b) Dựa vào đồ thị, giá trị của \(f( - 2)\) luôn bé hơn các giá trị \(f(x)\) khi \(x \in ( - 3; - 1)\)
c) Dựa vào đồ thị, giá trị của \(f(2)\)luôn lớn hơn các giá trị\(f(x)\) khi \(x \in \left( {\frac{3}{2};\frac{5}{2}} \right)\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 6 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Chỉ ra một điểm cực đại, một điểm cực tiểu của đồ thị hàm số được cho ở hoạt động 3
Phương pháp giải:
Áp dụng định nghĩa về cực trị:
Cho hàm số \(y = f(x)\)liên tục trên khoảng \((a;b)\) và điểm \({x_0} \in (a;b)\)
Nếu tồn tại \(h > 0\)sao cho \(f(x) < f({x_0})\)với mọi \(x \in ({x_0} - h;{x_0} + h) \subset (a;b)\)và \(x \ne 0\)thì ta nói hàm số đạt cực đại tại \({x_0}\)
Nếu tồn tại \(h > 0\)sao cho \(f(x) > f({x_0})\) với mọi \(x \in ({x_0} - h;{x_0} + h) \subset (a;b)\)và \(x \ne 0\)thì ta nói hàm số đạt tiểu đại tại \({x_0}\)
Lời giải chi tiết:
Theo định nghĩa, ta có thể chọn\(h = 1\) ta có, \({x_0} - h = - 3\)và \({x_0} + h = - 1\)
Dựa vào đồ thị hàm số, ta có
\(f(x) > f( - 2)\), với\(\forall x \in ( - 3; - 1)\backslash \{ - 2\} \)
Suy ra \({x_0} = - 2\) là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số
Theo định nghĩa, ta có thể chọn \(h = \frac{1}{2}\) ta có, \({x_0} - h = \frac{3}{2}\) và\({x_0} + h = \frac{5}{2}\)
Dựa vào đồ thị hàm số, ta có
\(f(x) < f(2)\) với \(\forall x \in \left( {\frac{3}{2};\frac{5}{2}} \right)\backslash \{ 2\} \)
Suy ra \({x_0} = 2\) là điểm đại của đồ thị hàm số
Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 6 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Xét hàm số ở hoạt động 3. Xác định dấu của đạo hàm ở các ô 
tương ứng với thuộc các khoảng trong bảng 1.2. Nêu mỗi liên hệ giữa sự tồn tại cực trị và dấu của đạo hàm.
Phương pháp giải:
Dựa vào đồ thị hàm số, nếu đồ thị hàm số\(f(x)\) đi xuống thì \(f'(x)\)mang dấu (-)và ngược lại, nếu đồ thị hàm số\(f(x)\) đi lên thì \(f'(x)\) mang dấu (+).
Nhìn vào điểm cực trị trên bảng biến thiên rồi nhận xét.
Lời giải chi tiết:
Mối liên hệ giữa sự tồn tại cực trị và dấu của đạo hàm là: Nếu đạo hàm có cực trị thì dấu của đạo hàm bên trái và bên phải điểm cực trị sẽ khác nhau.
Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 7 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên đoạn \(\left[ { - 3;3} \right]\)và có đồ thị hàm số như hình 1.4. Hãy xác định các điểm cực trị của hàm số trên khoảng\(\left( { - 3;3} \right)\)
Phương pháp giải:
Dựa vào đồ thị hàm số.
Lời giải chi tiết:
Dựa vào đồ thị hàm số, hàm số có 3 điểm cực trị là-1;1;2
Với điểm có cực trị là -1 thì giá trị cực trị là 1
Với điểm có cực trị là 1 thì giá trị cực trị là -3
Với điểm có cực trị là 2 thì giá trị cực trị là 3
Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 8 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Tìm cực trị của hàm số \(y = f(x) = \frac{{3x + 1}}{{x - 2}}\)
Phương pháp giải:
Bước 1: Tính \(f'(x)\)
Bước 2: Lập bảng biến thiên
Bước 3: Xác định cực trị của hàm số
Lời giải chi tiết:
Hàm số trên xác định trên \(R/\{ 2\} \)
Ta có: \(f'(x) = \frac{{3(x - 2) - (3x + 1)}}{{{{(x - 2)}^2}}}\)
\(f'(x) = \frac{{ - 7}}{{{{(x - 2)}^2}}}\)
Vì \(f'(x) = \frac{{ - 7}}{{{{(x - 2)}^2}}} < 0\) với \(x \in R/\{ 2\} \)
Nên hàm số \(y = f(x) = \frac{{3x + 1}}{{x - 2}}\) không có cực trị.
Trả lời câu hỏi Vận dụng trang 8 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trở lại bài toán Khởi động ban đầu bài học, hãy lập bảng biến thiên của hàm số \(y = C(x) = \frac{{30x}}{{{x^2} + 2}}\)trên khoảng \((0; + \infty )\)
Khi đó, cho biết hàm nồng độ thước trong máu :
a) Tăng trong khoảng thời gian nào
b) Đạt giá trị cực đại là bao nhiêu trong khoảng thời gian 6 phút sau khi tiêm
Phương pháp giải:
Bước 1: Tính \(C'(x)\)
Bước 2: Lập bảng biến thiên của hàm số
Bước 3: Tính hàm nồng độ thước trong máu tăng trong khoảng thời gian nào là tính hàm số \(C(x)\) tăng trong khoảng nào hay hàm số \(C(x)\)đồng biến trong khoảng nào
Bước 4: Nồng độ thước máu đạt cực đại là bao nhiêu trong 6 phút sau khi tiêm là giá trị cực đại của hàm số \(C(x)\) trong khoảng \((0;6)\)
Lời giải chi tiết:
Hàm số trên xác định trên R
Ta có: \(y' = C'(x) = \frac{{30({x^2} + 2) - 30x.2x}}{{{{({x^2} + 2)}^2}}}\)
\( = \frac{{ - 30{x^2} + 60}}{{{{({x^2} + 2)}^2}}}\)
Xét \(y' = 0\) \( \Rightarrow - 30{x^2} + 60 = 0\) \( \Leftrightarrow x = \sqrt 2 \)
Ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, ta có :
a) Hàm số \(C(x)\)đồng biến trên khoảng \((0;7,5\sqrt 2 )\)hay nồng độ thước máu tăng từ sau khi tiêm đến \(7,5\sqrt 2 \)phút sau.
b) Hàm số \(C(x)\) đạt giá trị cực đại tại \(x = \sqrt 2 \)hay nồng độ thức máu đạt giá trị cực đại sau \(\sqrt 2 \) phút
Mục 2 của SGK Toán 12 tập 1 tập trung vào các kiến thức cơ bản về giới hạn của hàm số. Đây là một trong những chủ đề quan trọng, nền tảng cho việc học tập các kiến thức nâng cao hơn trong chương trình Toán 12. Việc nắm vững khái niệm giới hạn, các tính chất và các phương pháp tính giới hạn là điều cần thiết để giải quyết các bài toán liên quan.
Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng định nghĩa giới hạn để tính giới hạn của các hàm số đơn giản. Cần chú ý đến các trường hợp giới hạn vô cùng và các dạng giới hạn đặc biệt.
Bài tập này yêu cầu học sinh xác định giới hạn của hàm số tại một điểm cụ thể. Cần chú ý đến việc kiểm tra tính liên tục của hàm số tại điểm đó.
Ví dụ: Cho hàm số f(x) = (x2 - 1) / (x - 1). Tìm lim (x→1) f(x). Giải: Ta có thể rút gọn hàm số thành f(x) = x + 1 khi x ≠ 1. Do đó, lim (x→1) f(x) = 1 + 1 = 2.
Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng các định lý về giới hạn, như định lý về giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương và hàm hợp để tính giới hạn của các hàm số phức tạp hơn.
Ví dụ: Tính lim (x→2) (x2 + 1) / (x - 3). Giải: Áp dụng định lý về giới hạn của thương, ta có lim (x→2) (x2 + 1) = 5 và lim (x→2) (x - 3) = -1. Do đó, lim (x→2) (x2 + 1) / (x - 3) = 5 / (-1) = -5.
Ngoài các bài tập cơ bản, mục 2 còn xuất hiện một số dạng bài tập nâng cao hơn, như:
Để giải quyết các dạng bài tập này, học sinh cần nắm vững các kiến thức về dãy số, hàm số và các phương pháp tính giới hạn đặc biệt.
Hy vọng với bài giải chi tiết và hướng dẫn cụ thể này, các em học sinh đã nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập mục 2 trang 5,6,7 SGK Toán 12 tập 1. Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!
