THCS
THCS
Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Xác suất có điều kiện Toán 12 trên montoan.com.vn. Đây là một phần kiến thức quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi THPT Quốc gia. Bài học này sẽ giúp bạn hiểu rõ khái niệm, công thức và cách áp dụng vào giải bài tập một cách hiệu quả.
Chúng tôi cung cấp tài liệu học tập đầy đủ, bài giảng chi tiết và bài tập đa dạng, giúp bạn tự tin chinh phục môn Toán.
Xác suất có điều kiện
Xác suất có điều kiện
Cho hai biến cố A và B. Xác suất của biến cố A khi biến cố B đã xảy ra được gọi là xác suất của A với điều kiện B và kí hiệu là P(A|B). Cho hai biến cố A và B bất kì, với P(B) > 0. Khi đó: \(P(A|B) = \frac{{P(AB)}}{{P(B)}}\) |
Ví dụ 1: Một hộp có 5 viên bi cùng kích thước và khối lượng, trong đó có 3 viên bi màu đỏ và 2 viên bi màu xanh. Lấy ngẫu nhiên lần lượt 2 viên bi và không hoàn lại. Tính xác suất để lấy được viên bi thứ hai có màu xanh, biết rằng viên bi thứ nhất có màu đỏ.
Giải:
GọiA là biến cố "Lấy được viên bi thứ hai có màu xanh";
B là biến cố "Lấy được viên bi thứ nhất có màu đỏ".
Khi đột xác suất để lấy được viên bi thứ hai có màu xanh, biết rằng viên bi thứ nhất có màu đỏ chính là xác suất của A với điều kiện B.
Vì một viên bi đỏ đã được lấy ra ở lần thứ nhất nên trong hợp còn lại 4 viên bi, trong đó có 2 viên bi xanh.
Từ đó ta có: \(P(A\mid B) = \frac{2}{4} = 0,5\).
Vậy xác suất để lấy được viên bi thứ hai có màu xanh, biết rằng viên bi thứ nhất có màu đỏ là 0,5.
Ví dụ 2: Trong cuộc khảo sát trên một nhóm học sinh gồm các bạn thích trà sữa hoặc kem, người ta có được kết quả sau: Có 56% số học sinh thích kem, 68% số học sinh thích trà sữa, 24% số học sinh thích cả trà sữa và kem. Chọn ngẫu nhiên một bạn học sinh trong nhóm được khảo sát này. Tính xác suất để chọn được học sinh thích kem, biết rằng học sinh đó thích trà sữa.
Giải:
Gọi: A là biến cố "Chọn được học sinh thích kem";
B là biến cố "Chọn được học sinh thích trà sữa".
Khi đó xác suất để chọn được học sinh thích kem, biết rằng học sinh đó thích trà sữa chính là xác suất của A với điều kiện B.
Vì có 68% số học sinh thích trà sữa trong nhóm khảo sát nên P(B) = 68% = 0,68.
Ta có AB là biến cố "Chọn được học sinh thích cả trà sữa và kem".
Vì có 24% số học sinh thích cả trà sữa và kem nên P(AB) = 24% = 0,24.
Vì thế ta có: \(P(A\mid B) = \frac{{P(AB)}}{{P(B)}} = \frac{{0,24}}{{0,68}} = 0,35\).
Vậy xác suất để chọn được học sinh thích kem, biết rằng học sinh đó thích trà sữa là 0,35.
Công thức nhân xác suất
Với hai biến cố A và B bất kì, ta có: \(P(AB) = P(B).P(A|B) = P(A).P(B|A)\) |
Ví dụ 3: Theo kết quả từ trạm nghiên cứu khí hậu tại địa phương T, xác suất để một ngày có gió là 0,6; nếu ngày có gió thì xác suất có mưa là 0,4; nếu ngày không có gió thì xác suất có mưa là 0,2. Gọi G là biến cố "Ngày có gió" và M là biến cố "Ngày có mưa".
a) Vẽ lại sơ đồ hình cây sau và điền vào ô ? các giá trị xác suất tương ứng:
b) Tính xác suất P(GM) và \(P(G\overline M )\). Nêu ý nghĩa của các xác suất này.
Giải:
Theo đề bài, nếu ngày có gió thì xác suất có mưa là 0,4 nên \(P(M\mid G) = 0,4\). Suy ra: \(P(\overline M \mid G) = 1 - 0,4 = 0,6\).
Ngày không có gió thì xác suất có mưa là 0,2 nên \(P(M\mid \overline G ) = 0,2\).
Suy ra: \(P(\overline M \mid \overline G ) = 1 - 0,2 = 0,8\).
b) \(P(M\mid G) = P\left( G \right).P(M\mid G) = 0,6.0,4 = 0,24.\)
\(P(M\mid \overline G ) = P\left( G \right) \cdot P(M\mid G) = 0,6 \cdot 0,6 = 0,36.\)
Điều này có nghĩa là tại địa phương T, trong một ngày, xác suất để trời vừa có gió và vừa có mưa là 0,24; xác suất để trời có gió nhưng không có mưa là 0,36.
Nhận xét: Xác suất ở mỗi nhánh kể từ đỉnh thứ hai của sơ đồ hình cây là xác suất có điều kiện.
Xác suất có điều kiện là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết xác suất, cho phép chúng ta tính toán xác suất của một sự kiện khi biết rằng một sự kiện khác đã xảy ra. Trong chương trình Toán 12, việc nắm vững lý thuyết này là yếu tố then chốt để giải quyết các bài toán liên quan đến xác suất một cách chính xác và hiệu quả.
Giả sử A và B là hai biến cố. Xác suất có điều kiện của biến cố A khi biết biến cố B đã xảy ra, ký hiệu là P(A|B), được định nghĩa như sau:
P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B), với P(B) > 0
Trong đó:
Nếu B1, B2, ..., Bn là một hệ đầy đủ các biến cố (tức là chúng đôi một xung khắc và hợp của chúng bằng không gian mẫu Ω), thì xác suất của biến cố A có thể được tính bằng công thức xác suất đầy đủ:
P(A) = P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) + ... + P(A|Bn)P(Bn)
Công thức Bayes cho phép chúng ta tính xác suất của một biến cố khi biết kết quả của một biến cố khác. Công thức được phát biểu như sau:
P(Bi|A) = [P(A|Bi)P(Bi)] / P(A)
Trong đó:
Ví dụ 1: Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng từ hộp. Tính xác suất để cả hai quả bóng đều màu đỏ.
Giải:
Gọi A là biến cố “cả hai quả bóng đều màu đỏ”. Ta có:
P(A) = C52 / C82 = 10 / 28 = 5/14
Ví dụ 2: Trong một lớp học có 60% học sinh giỏi môn Toán và 40% học sinh giỏi môn Văn. Biết rằng 20% học sinh giỏi cả hai môn. Tính xác suất một học sinh được chọn ngẫu nhiên là học sinh giỏi môn Toán khi biết học sinh đó giỏi môn Văn.
Giải:
Gọi A là biến cố “học sinh giỏi môn Toán” và B là biến cố “học sinh giỏi môn Văn”. Ta có:
P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) = 0.20 / 0.40 = 0.5
Lý thuyết Xác suất có điều kiện Toán 12 là một công cụ mạnh mẽ để giải quyết các bài toán liên quan đến xác suất. Việc nắm vững các định nghĩa, tính chất và công thức liên quan sẽ giúp bạn tự tin hơn trong quá trình học tập và làm bài thi.
