THCS
THCS
Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 5.44 trang 86 SGK Toán 12 tập 2 tại montoan.com.vn. Bài tập này thuộc chương trình học về số phức và các phép toán liên quan.
Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán.
Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình chữ nhật có A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 3; 0), S(0; 0; 2). a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD). b) Tính sin của góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (SAB). c) Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD).
Đề bài
Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình chữ nhật có A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 3; 0), S(0; 0; 2).
a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD).
b) Tính sin của góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (SAB).
c) Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm \(M({x_0};{y_0};{z_0})\) đến mặt phẳng \((\alpha )\): Ax + By + Cz + D = 0 là:
\(d(M,(P)) = \frac{{\left| {A{x_0}{\rm{ }} + {\rm{ }}B{y_0}{\rm{ }} + {\rm{ }}C{z_0}{\rm{ }} + {\rm{ }}D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\)
b) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d có vecto chỉ phương \(\overrightarrow a = ({a_1};{a_2};{a_3})\) và mặt phẳng \((\alpha )\) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = (A;B;C)\). Kí hiệu \(\left( {d,(\alpha )} \right)\) là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng \((\alpha )\). Khi đó:
\(\sin (d,(\alpha )) = \frac{{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow a } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow a } \right|}} = \frac{{\left| {{a_1}A + {a_2}B + {a_3}C} \right|}}{{\sqrt {{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2} .\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).
c) Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng \((\alpha )\) và \((\beta )\) tương ứng có các vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = (A;B;C)\), \(\overrightarrow {n'} = (A';B';C')\). Khi đó, góc giữa \((\alpha )\) và \((\beta )\), kí hiệu là \(\left( {(\alpha ),(\beta )} \right)\) được tính theo công thức:
\(\cos ((\alpha ),(\beta )) = \frac{{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {n'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {n'} } \right|}} = \frac{{\left| {AA' + BB' + CC'} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} .\sqrt {A{'^2} + B{'^2} + C{'^2}} }}\).
Lời giải chi tiết
a) Tính khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \((SBD)\).
Véc-tơ \(\overrightarrow {SB} = (1;0; - 2)\) và \(\overrightarrow {SD} = (0;3; - 2)\).
Véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \((SBD)\):
\({\vec n_{(SBD)}} = \left[ {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {SD} } \right] = (6;2;3)\)
Phương trình mặt phẳng \((SBD)\): \(6.(x - 0) + 2.(y - 0) + 3.(z - 2) = 0 \Leftrightarrow 6x + 2y + 3z - 6 = 0\).
Khoảng cách từ \(A(0,0,0)\) đến mặt phẳng \((SBD)\):
\(d = \frac{{|6 \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 - 6|}}{{\sqrt {{6^2} + {2^2} + {3^2}} }} = \frac{{\left| { - 6} \right|}}{{\sqrt {49} }} = \frac{6}{7}\)
b) Tính \(\sin \) của góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng \((SAB)\).
- Véc-tơ \(\overrightarrow {SA} = (0;0; - 2)\) và \(\overrightarrow {SB} = (1;0; - 2)\).
- Véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \((SAB)\) là:
\({\vec n_{(SAB)}} = \left[ {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {SB} } \right] = (0.( - 2) - ( - 2).0;( - 2).1 - 0.( - 2);0.0 - 0.1) = (0; - 2;0)\)
- Véc-tơ chỉ phương của đường thẳng SD là \(\overrightarrow {SD} = (0;3; - 2)\).
Để tính \(\sin \) của góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng \((SAB)\), ta sử dụng công thức:
\(\sin \theta = \frac{{|\overrightarrow {SD} \cdot {{\vec n}_{(SAB)}}|}}{{\left| {\overrightarrow {SD} } \right|.\left| {{{\vec n}_{(SAB)}}} \right|}}\)
- Tích vô hướng \(\overrightarrow {SD} .{\vec n_{(SAB)}}\):
\(\overrightarrow {SD} .{\vec n_{(SAB)}} = 0.0 + 3.( - 2) + ( - 2).0 = 0 - 6 + 0 = - 6\)
- Độ dài của \(\overrightarrow {SD} \) và \({\vec n_{(SAB)}}\):
\(\left| {\overrightarrow {SD} } \right| = \sqrt {{0^2} + {3^2} + {{( - 2)}^2}} = \sqrt {0 + 9 + 4} = \sqrt {13} \)
\(\left| {{{\vec n}_{(SAB)}}} \right| = \sqrt {{0^2} + {{( - 2)}^2} + {0^2}} = \sqrt 2 \)
Vậy: \(\sin \theta = \frac{{| - 6|}}{{\sqrt {13} .2}} = \frac{6}{{2\sqrt {13} }} = \frac{3}{{\sqrt {13} }}\)
c) Tính \(\cos \) của góc giữa hai mặt phẳng \((SBC)\) và \((SCD)\).
- Véc-tơ \(\overrightarrow {SB} = (1;0; - 2)\) và \(\overrightarrow {SC} = (1;3; - 2)\).
- Véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \((SBC)\):
\({\vec n_{(SBC)}} = \left[ {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {SC} } \right] = (0.( - 2) - ( - 2).3;( - 2).1 - 1.( - 2);1.3 - 0.1) = (6;0;3)\)
- Véc-tơ \(\overrightarrow {SD} = (0;3; - 2)\).
- Véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \((SCD)\):
\({\vec n_{(SCD)}} = \left[ {\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {SD} } \right] = (3 \cdot ( - 2) - ( - 2).3;( - 2).0 - ( - 2).1;3.1 - 3.0) = (0;2;3)\)
Để tính \(\cos \) của góc giữa hai mặt phẳng, ta dùng công thức:
\(\cos \alpha = \frac{{|{{\vec n}_{(SBC)}} \cdot {{\vec n}_{(SCD)}}|}}{{\left| {{{\vec n}_{(SBC)}}} \right| \cdot \left| {{{\vec n}_{(SCD)}}} \right|}}\)
- Tích vô hướng \({\vec n_{(SBC)}}.{\vec n_{(SCD)}}\):
\({\vec n_{(SBC)}}.{\vec n_{(SCD)}} = 6.0 + 0.2 + 3.3 = 0 + 0 + 9 = 9\)
- Độ dài của \({\vec n_{(SBC)}}\) và \({\vec n_{(SCD)}}\):
\(\left| {{{\vec n}_{(SBC)}}} \right| = \sqrt {{6^2} + {0^2} + {3^2}} = \sqrt {36 + 0 + 9} = \sqrt {45} \)
\(\left| {{{\vec n}_{(SCD)}}} \right| = \sqrt {{0^2} + {2^2} + {3^2}} = \sqrt {0 + 4 + 9} = \sqrt {13} \)
Vậy: \(\cos \alpha = \frac{{|7|}}{{\sqrt {13} \cdot \sqrt {45} }} = \frac{7}{{\sqrt {585} }}\)
Bài tập 5.44 SGK Toán 12 tập 2 yêu cầu tìm số phức z thỏa mãn một phương trình hoặc hệ phương trình liên quan đến số phức. Để giải bài tập này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức cơ bản về số phức, bao gồm:
Để giải bài tập 5.44, chúng ta thường áp dụng các phương pháp sau:
Bài tập: Tìm số phức z thỏa mãn |z - (2 + i)| = 3.
Giải:
Đặt z = a + bi, với a, b là các số thực.
Khi đó, |z - (2 + i)| = |(a + bi) - (2 + i)| = |(a - 2) + (b - 1)i| = √((a - 2)2 + (b - 1)2).
Theo đề bài, √((a - 2)2 + (b - 1)2) = 3.
Suy ra, (a - 2)2 + (b - 1)2 = 9.
Phương trình này biểu diễn một đường tròn trên mặt phẳng phức với tâm I(2, 1) và bán kính R = 3.
Vậy, số phức z thỏa mãn phương trình |z - (2 + i)| = 3 là các số phức nằm trên đường tròn có tâm I(2, 1) và bán kính R = 3.
Ngoài việc giải các bài tập trong SGK, các em có thể tìm hiểu thêm về các chủ đề liên quan đến số phức, như:
Hy vọng với bài giải chi tiết này, các em sẽ hiểu rõ hơn về cách giải bài tập 5.44 trang 86 SGK Toán 12 tập 2. Chúc các em học tập tốt!
