Giải mục 2 trang 68, 69, 70 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Giải mục 2 trang 68, 69, 70 SGK Toán 12 tập 1
Chào mừng các em học sinh đến với chuyên mục giải bài tập Toán 12 tập 1 của montoan.com.vn. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng nhau giải chi tiết các bài tập trong mục 2 trang 68, 69, 70 của sách giáo khoa Toán 12 tập 1.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp các em hiểu rõ bản chất của bài toán, nắm vững phương pháp giải và tự tin làm bài tập. Các lời giải được trình bày một cách dễ hiểu, có ví dụ minh họa và kèm theo các lưu ý quan trọng.
Cho điểm trong không gian Oxyz. Trong ba mặt phẳng tọa độ là ba lưới ô vuông có cạnh bằng đơn vị. Biết rằng , và vị trí các điểm M’, A, B, C được cho như trong Hình 2.32. a) Biếu diễn theo hai vecto và . b) Biểu diễn theo hai vecto đơn vị . c) Biểu diễn theo ba vectơ dơn vị .
HĐ2
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 68 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho điểm \(M\) trong không gian Oxyz. Trong ba mặt phẳng tọa độ là ba lưới ô vuông có cạnh bằng đơn vị. Biết rằng \(MM' \bot (Oxy)\), \(MC \bot Oz\) và vị trí các điểm M’, A, B, C được cho như trong Hình 2.32.
a) Biểu diễn \(\overrightarrow {OM} \) theo hai vecto \(\overrightarrow {O{M^\prime }} \) và \(\overrightarrow {OC} \).
b) Biểu diễn \(\overrightarrow {O{M^\prime }} \) theo hai vecto đơn vị \(\vec \imath ,\vec \jmath \).
c) Biểu diễn \(\overrightarrow {OM} \) theo ba vectơ dơn vị \(\vec i,\vec j,\vec k\).
Phương pháp giải:
Sử dụng các định nghĩa, các quy tắc về vectơ trong không gian và mối quan hệ trực giao giữa các mặt phẳng tọa độ để biểu diễn các vectơ theo các vectơ đơn vị.
Lời giải chi tiết:
a) Biểu diễn \(\overrightarrow {OM} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow {OM'} \) và \(\overrightarrow {OC} \):
Do \(MM' \bot (Oxy)\), \(MC \bot Oz\) nên OCMM’ là hình chữ nhật.
Áp dụng quy tắc hình bình hành vào hình chữ nhật OCMM’, ta có:
\(\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {OM'} + \overrightarrow {OC} \)
b) Biểu diễn \(\overrightarrow {OM'} \) theo hai vectơ đơn vị \(\vec i,\vec j\):
Áp dụng quy tắc hình bình hành vào hình chữ nhật OAM’B, ta có:
\(\overrightarrow {OM'} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} \)
Mà \(\overrightarrow {OA} = 2\overrightarrow i ,\overrightarrow {OB} = 4\overrightarrow j \) nên:
\(\overrightarrow {OM'} = 2\overrightarrow i + 4\overrightarrow j \)
c) Biểu diễn \(\overrightarrow {OM} \) theo ba vectơ đơn vị \(\vec i,\vec j,\vec k\):
Từ câu a, b ta có:
\(\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {OM'} + \overrightarrow {OC} \) và \(\overrightarrow {OM'} = 2\overrightarrow i + 4\overrightarrow j \)
Lại có \(\overrightarrow {OC} = 4\overrightarrow k \) nên:
\(\overrightarrow {OM} = 2\vec i + 4\vec j + 4\vec k\)
LT2
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 69 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;0;9), B(6;1;0) và C(0;0;1). Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Tìm toạ độ điểm G.
Phương pháp giải:
Trọng tâm của tam giác là trung bình cộng tọa độ của ba đỉnh của tam giác. Nếu các đỉnh của tam giác là \(A({x_1},{y_1},{z_1})\), \(B({x_2},{y_2},{z_2})\), và \(C({x_3},{y_3},{z_3})\), tọa độ của trọng tâm G được tính bằng:
\(G\left( {\frac{{{x_1} + {x_2} + {x_3}}}{3},\frac{{{y_1} + {y_2} + {y_3}}}{3},\frac{{{z_1} + {z_2} + {z_3}}}{3}} \right)\)
Lời giải chi tiết:
Toạ độ của điểm trọng tâm G là trung bình cộng của toạ độ các điểm A, B, C.
\({x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = \frac{{1 + 6 + 0}}{3} = \frac{7}{3}\)
\({y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} = \frac{{0 + 1 + 0}}{3} = \frac{1}{3}\)
\({z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3} = \frac{{9 + 0 + 1}}{3} = \frac{{10}}{3}\)
Toạ độ của trọng tâm G là: \(G\left( {\frac{7}{3},\frac{1}{3},\frac{{10}}{3}} \right)\)
LT3
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 70 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đỉnh A trùng với gốc O, có \[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AA'} \] theo thứ tự cùng hướng với các vectơ đơn vị \(\vec i,\vec j,\vec k\) và có \(AB = a,AD = b,AA' = c\). Gọi M là trung điểm cạnh CC’. Hãy xác định toạ độ các điểm B, C, C’ và M.
Phương pháp giải:
Xác định tọa độ điểm cơ bản: Sử dụng các vectơ đơn vị để xác định tọa độ của các điểm quan trọng trong không gian.
Xác định tọa độ các điểm còn lại: Tính tọa độ của các điểm đối diện trong hình hộp dựa trên tọa độ của các điểm đã biết.
Tính tọa độ trung điểm: Sử dụng công thức tính trung điểm để tìm tọa độ của điểm trung gian trên cạnh.
Lời giải chi tiết:
- Xác định tọa độ các điểm cơ bản:
Tọa độ của điểm A là (0, 0, 0) vì A trùng với gốc tọa độ O.
Tọa độ của điểm B: Điểm B nằm cách điểm A một đoạn a theo hướng của vector đơn vị \(\vec i\). Vì vậy, tọa độ của B là (a, 0, 0).
Tọa độ của điểm D: Điểm D nằm cách điểm A một đoạn b theo hướng của vector đơn vị \(\vec j\). Vì vậy, tọa độ của D là (0, b, 0).
Tọa độ của điểm A': Điểm A' nằm cách điểm A một đoạn c theo hướng của vector đơn vị \(\vec k\). Vì vậy, tọa độ của A' là (0, 0, c).
- Xác định tọa độ các điểm còn lại:
Tọa độ của điểm C: Điểm C nằm đối diện với điểm A trong hình hộp và nằm trên mặt phẳng chứa B và D. Vì vậy, tọa độ của C là (a, b, 0).
Tọa độ của điểm C': Điểm C' nằm đối diện với điểm A' trong hình hộp và nằm trên mặt phẳng chứa B' và D'. Vì vậy, tọa độ của C' là (a, b, c).
Trung điểm của đoạn thẳng CC' có tọa độ trung bình của tọa độ C và C'. Tọa độ của C là (a, b, 0) và tọa độ của C' là (a, b, c). Do đó, tọa độ của M là:
\(M = \left( {\frac{{a + a}}{2},\frac{{b + b}}{2},\frac{{0 + c}}{2}} \right) = (a,b,\frac{c}{2})\)
- HĐ2
- LT2
- LT3
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 68 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho điểm \(M\) trong không gian Oxyz. Trong ba mặt phẳng tọa độ là ba lưới ô vuông có cạnh bằng đơn vị. Biết rằng \(MM' \bot (Oxy)\), \(MC \bot Oz\) và vị trí các điểm M’, A, B, C được cho như trong Hình 2.32.
a) Biểu diễn \(\overrightarrow {OM} \) theo hai vecto \(\overrightarrow {O{M^\prime }} \) và \(\overrightarrow {OC} \).
b) Biểu diễn \(\overrightarrow {O{M^\prime }} \) theo hai vecto đơn vị \(\vec \imath ,\vec \jmath \).
c) Biểu diễn \(\overrightarrow {OM} \) theo ba vectơ dơn vị \(\vec i,\vec j,\vec k\).
Phương pháp giải:
Sử dụng các định nghĩa, các quy tắc về vectơ trong không gian và mối quan hệ trực giao giữa các mặt phẳng tọa độ để biểu diễn các vectơ theo các vectơ đơn vị.
Lời giải chi tiết:
a) Biểu diễn \(\overrightarrow {OM} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow {OM'} \) và \(\overrightarrow {OC} \):
Do \(MM' \bot (Oxy)\), \(MC \bot Oz\) nên OCMM’ là hình chữ nhật.
Áp dụng quy tắc hình bình hành vào hình chữ nhật OCMM’, ta có:
\(\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {OM'} + \overrightarrow {OC} \)
b) Biểu diễn \(\overrightarrow {OM'} \) theo hai vectơ đơn vị \(\vec i,\vec j\):
Áp dụng quy tắc hình bình hành vào hình chữ nhật OAM’B, ta có:
\(\overrightarrow {OM'} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} \)
Mà \(\overrightarrow {OA} = 2\overrightarrow i ,\overrightarrow {OB} = 4\overrightarrow j \) nên:
\(\overrightarrow {OM'} = 2\overrightarrow i + 4\overrightarrow j \)
c) Biểu diễn \(\overrightarrow {OM} \) theo ba vectơ đơn vị \(\vec i,\vec j,\vec k\):
Từ câu a, b ta có:
\(\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {OM'} + \overrightarrow {OC} \) và \(\overrightarrow {OM'} = 2\overrightarrow i + 4\overrightarrow j \)
Lại có \(\overrightarrow {OC} = 4\overrightarrow k \) nên:
\(\overrightarrow {OM} = 2\vec i + 4\vec j + 4\vec k\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 69 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;0;9), B(6;1;0) và C(0;0;1). Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Tìm toạ độ điểm G.
Phương pháp giải:
Trọng tâm của tam giác là trung bình cộng tọa độ của ba đỉnh của tam giác. Nếu các đỉnh của tam giác là \(A({x_1},{y_1},{z_1})\), \(B({x_2},{y_2},{z_2})\), và \(C({x_3},{y_3},{z_3})\), tọa độ của trọng tâm G được tính bằng:
\(G\left( {\frac{{{x_1} + {x_2} + {x_3}}}{3},\frac{{{y_1} + {y_2} + {y_3}}}{3},\frac{{{z_1} + {z_2} + {z_3}}}{3}} \right)\)
Lời giải chi tiết:
Toạ độ của điểm trọng tâm G là trung bình cộng của toạ độ các điểm A, B, C.
\({x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = \frac{{1 + 6 + 0}}{3} = \frac{7}{3}\)
\({y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} = \frac{{0 + 1 + 0}}{3} = \frac{1}{3}\)
\({z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3} = \frac{{9 + 0 + 1}}{3} = \frac{{10}}{3}\)
Toạ độ của trọng tâm G là: \(G\left( {\frac{7}{3},\frac{1}{3},\frac{{10}}{3}} \right)\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 70 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đỉnh A trùng với gốc O, có \[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AA'} \] theo thứ tự cùng hướng với các vectơ đơn vị \(\vec i,\vec j,\vec k\) và có \(AB = a,AD = b,AA' = c\). Gọi M là trung điểm cạnh CC’. Hãy xác định toạ độ các điểm B, C, C’ và M.
Phương pháp giải:
Xác định tọa độ điểm cơ bản: Sử dụng các vectơ đơn vị để xác định tọa độ của các điểm quan trọng trong không gian.
Xác định tọa độ các điểm còn lại: Tính tọa độ của các điểm đối diện trong hình hộp dựa trên tọa độ của các điểm đã biết.
Tính tọa độ trung điểm: Sử dụng công thức tính trung điểm để tìm tọa độ của điểm trung gian trên cạnh.
Lời giải chi tiết:
- Xác định tọa độ các điểm cơ bản:
Tọa độ của điểm A là (0, 0, 0) vì A trùng với gốc tọa độ O.
Tọa độ của điểm B: Điểm B nằm cách điểm A một đoạn a theo hướng của vector đơn vị \(\vec i\). Vì vậy, tọa độ của B là (a, 0, 0).
Tọa độ của điểm D: Điểm D nằm cách điểm A một đoạn b theo hướng của vector đơn vị \(\vec j\). Vì vậy, tọa độ của D là (0, b, 0).
Tọa độ của điểm A': Điểm A' nằm cách điểm A một đoạn c theo hướng của vector đơn vị \(\vec k\). Vì vậy, tọa độ của A' là (0, 0, c).
- Xác định tọa độ các điểm còn lại:
Tọa độ của điểm C: Điểm C nằm đối diện với điểm A trong hình hộp và nằm trên mặt phẳng chứa B và D. Vì vậy, tọa độ của C là (a, b, 0).
Tọa độ của điểm C': Điểm C' nằm đối diện với điểm A' trong hình hộp và nằm trên mặt phẳng chứa B' và D'. Vì vậy, tọa độ của C' là (a, b, c).
Trung điểm của đoạn thẳng CC' có tọa độ trung bình của tọa độ C và C'. Tọa độ của C là (a, b, 0) và tọa độ của C' là (a, b, c). Do đó, tọa độ của M là:
\(M = \left( {\frac{{a + a}}{2},\frac{{b + b}}{2},\frac{{0 + c}}{2}} \right) = (a,b,\frac{c}{2})\)
Giải mục 2 trang 68, 69, 70 SGK Toán 12 tập 1: Tổng quan và Phương pháp giải
Mục 2 của SGK Toán 12 tập 1 thường tập trung vào một chủ đề cụ thể trong chương trình học. Để giải quyết hiệu quả các bài tập trong mục này, học sinh cần nắm vững kiến thức lý thuyết, hiểu rõ các định nghĩa, định lý và công thức liên quan. Ngoài ra, việc luyện tập thường xuyên với các bài tập khác nhau cũng rất quan trọng để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Nội dung chính của mục 2 trang 68, 69, 70
Tùy thuộc vào chương trình học, mục 2 có thể bao gồm các nội dung sau:
- Định nghĩa và tính chất của các khái niệm toán học: Ví dụ, định nghĩa về giới hạn của hàm số, đạo hàm, tích phân,...
- Các phương pháp giải toán: Ví dụ, phương pháp sử dụng đạo hàm để tìm cực trị của hàm số, phương pháp tích phân để tính diện tích hình phẳng,...
- Các bài tập ứng dụng: Các bài tập liên hệ với thực tế, giúp học sinh hiểu rõ hơn về ứng dụng của toán học trong cuộc sống.
Hướng dẫn giải chi tiết các bài tập
Dưới đây là hướng dẫn giải chi tiết một số bài tập tiêu biểu trong mục 2 trang 68, 69, 70 SGK Toán 12 tập 1:
Bài 1: (Ví dụ minh họa)
Đề bài: (Giả sử đề bài cụ thể ở đây)
Lời giải:
- Bước 1: Phân tích đề bài, xác định các yếu tố đã cho và yêu cầu của bài toán.
- Bước 2: Áp dụng các kiến thức lý thuyết và công thức liên quan để xây dựng phương án giải.
- Bước 3: Thực hiện các phép tính và biến đổi toán học để tìm ra kết quả.
- Bước 4: Kiểm tra lại kết quả và đảm bảo rằng nó phù hợp với yêu cầu của bài toán.
Bài 2: (Ví dụ minh họa)
Đề bài: (Giả sử đề bài cụ thể ở đây)
Lời giải: (Tương tự như bài 1)
Các lưu ý quan trọng khi giải bài tập
Để giải bài tập Toán 12 tập 1 một cách hiệu quả, các em cần lưu ý những điều sau:
- Đọc kỹ đề bài: Đảm bảo rằng các em hiểu rõ yêu cầu của bài toán trước khi bắt đầu giải.
- Sử dụng đúng công thức: Chọn công thức phù hợp với từng loại bài tập.
- Kiểm tra lại kết quả: Đảm bảo rằng kết quả của các em là chính xác và hợp lý.
- Luyện tập thường xuyên: Giải nhiều bài tập khác nhau để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng.
Tài liệu tham khảo hữu ích
Ngoài SGK Toán 12 tập 1, các em có thể tham khảo thêm các tài liệu sau để học tập và ôn luyện:
- Sách bài tập Toán 12: Cung cấp nhiều bài tập đa dạng và phong phú.
- Các trang web học toán online: Cung cấp các bài giảng, bài tập và lời giải chi tiết.
- Các video hướng dẫn giải toán: Giúp các em hiểu rõ hơn về phương pháp giải toán.
Kết luận
Hy vọng rằng với hướng dẫn chi tiết này, các em sẽ tự tin giải quyết các bài tập trong mục 2 trang 68, 69, 70 SGK Toán 12 tập 1. Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!
