THCS
THCS
Chào mừng các em học sinh đến với chuyên mục giải bài tập Toán 12 tập 2 của montoan.com.vn. Ở bài viết này, chúng tôi sẽ cùng nhau đi sâu vào giải chi tiết các bài tập trong mục 1, cụ thể là các trang 22, 23, 24, 25 và 26 của sách giáo khoa Toán 12 tập 2.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp các em hiểu rõ bản chất của từng bài toán, nắm vững phương pháp giải và tự tin áp dụng vào các bài tập tương tự. Hãy cùng bắt đầu hành trình khám phá Toán học ngay thôi!
Trong Hình 4.10, gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (y = x - 3), trục hoành và các đường thẳng (x = 1) và (x = 6).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 23 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^3}\), trục hoành và các đường thẳng \(x = - 3,x = 2\).
Phương pháp giải:
- Xác định ình phẳng cần tính diện tích.
- Phân tích dấu của hàm \(y = {x^3}\).
- Tìm biểu thức diện tích tổng quát.
- Tính các tích phân dựa trên biểu thức diện tích tổng quát.
Lời giải chi tiết:
Hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^3}\), trục hoành \(y = 0\), và hai đường thẳng \(x = - 3\) và \(x = 2\). Tại các khoảng khác nhau, đồ thị có thể nằm bên trên hoặc bên dưới trục hoành, nên cần tính tích phân của giá trị tuyệt đối \(|{x^3}|\) để đảm bảo kết quả diện tích là dương.
- Từ \(x = - 3\) đến \(x = 0\), \(y = {x^3}\) là âm.
- Từ \(x = 0\) đến \(x = 2\), \(y = {x^3}\) là dương.
Diện tích hình phẳng được tính bằng cách lấy tích phân của \(|{x^3}|\) từ \(x = - 3\) đến \(x = 2\)
\(S = \int_{ - 3}^0 - {x^3}{\mkern 1mu} dx + \int_0^2 {{x^3}} {\mkern 1mu} dx\)
Trong khoảng \(x \in [ - 3,0]\), đổi dấu hàm số \({x^3}\) để đảm bảo diện tích là dương.
Tích phân của \( - {x^3}\) trong khoảng \([ - 3,0]\):
\(\int_{ - 3}^0 - {x^3}{\mkern 1mu} dx = - \left[ {\frac{{{x^4}}}{4}} \right]_{ - 3}^0 = - \left( {\frac{{{0^4}}}{4} - \frac{{{{( - 3)}^4}}}{4}} \right) = - \left( {0 - \frac{{81}}{4}} \right) = \frac{{81}}{4}\)
Tích phân của \({x^3}\) trong khoảng \(\left[ {0,{\rm{ }}2} \right]\):
\(\int_0^2 {{x^3}} {\mkern 1mu} dx = \left[ {\frac{{{x^4}}}{4}} \right]_0^2 = \frac{{{2^4}}}{4} - \frac{{{0^4}}}{4} = \frac{{16}}{4} = 4\)
Diện tích tổng cộng là tổng của hai kết quả tích phân:
\(S = \frac{{81}}{4} + 4 = \frac{{81}}{4} + \frac{{16}}{4} = \frac{{97}}{4}\)
Vậy, diện tích của hình phẳng là:
\(S = \frac{{97}}{4} = 24.25\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 22 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong Hình 4.10, gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = x - 3\), trục hoành và các đường thẳng \(x = 1\) và \(x = 6\).
a) Tính diện tích của (H).
b) Tính các tích phân \(\int_1^6 {(x - 3)} {\mkern 1mu} dx\) và \(\int_1^6 | x - 3|{\mkern 1mu} dx\). So sánh hai tích phân này với kết quả tính được ở câu a và rút ra nhận xét.
Phương pháp giải:
a)
Diện tích (H) có thể tính bằng cách cộng diện tích của hai tam giác. Diện tích của tam giác được tính bằng công thức:
\(S = \frac{1}{2} \times h \times \)đáy
b)
- Tính trực tiếp các tích phân \(\int_1^6 {(x - 3)dx} \) và \(\int_1^6 {\left| {x - 3} \right|dx} \).
- So sánh kết quả của hai tích phân này với diện tích tính được ở câu a để rút ra nhận xét.
Lời giải chi tiết:
a)
Hình phẳng (H) trong đề bài là hai hình tam giác vuông, với các cạnh là:
- Đáy của tam giác thứ nhất: \(6 - 3 = 3\)
- Chiều cao của tam giác thứ nhất: \(3 - 0 = 3\)
- Đáy của tam giác thứ hai: \(3 - 1 = 2\)
- Chiều cao của tam giác thứ nhất: \(0 - ( - 2) = 2\)
Diện tích tam giác được tính theo công thức:
\(S = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 + \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = \frac{9}{2} + 2 = 6,5\)
b)
Tính tích phân thứ nhất:
\(\int_1^6 {(x - 3)} {\mkern 1mu} dx = \left[ {\frac{{{{(x - 3)}^2}}}{2}} \right]_1^6 = \frac{9}{2} - 2 = \frac{7}{2} = 2,5\)
Tính tích phân thứ hai:
\(\int_1^6 | x - 3|{\mkern 1mu} dx = \int_1^3 {(3 - x)} {\mkern 1mu} dx + \int_3^6 {(x - 3)} {\mkern 1mu} dx = 2 + \frac{9}{2} = 6,5\)
Nhận xét:
- Tích phân thứ nhất \(\int_1^6 {(x - 3)} {\mkern 1mu} dx = 3.5\) không phản ánh diện tích thực của hình phẳng, vì hàm số nhận giá trị âm trong khoảng từ 1 đến 3.
- Tích phân thứ hai \(\int_1^6 | x - 3|{\mkern 1mu} dx = 6.5\) chính là diện tích hình phẳng tính được ở câu a, vì nó tính giá trị tuyệt đối của hàm số, tức là cả phần âm và phần dương.
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 26 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tính diện tích hình phẳng được tô màu trong Hình 4.18.
Phương pháp giải:
- Xác định giao điểm của hai đường \(y = {x^3}\) và \(y = x\) bằng cách giải phương trình: \({x^3} = x\)
- Diện tích hình phẳng giữa hai đường cong \(y = {x^3}\) và \(y = x\) trong khoảng từ \(x = - 1\) đến \(x = 1\) được tính bằng:
\(S = \int_{ - 1}^1 | x - {x^3}|{\mkern 1mu} dx\)
Lời giải chi tiết:
Giao điểm của hai đường \(y = {x^3}\) và \(y = x\) là:
\({x^3} = x \Leftrightarrow x({x^2} - 1) = 0\)
Suy ra: \(x = 0\), \(x = 1\), và \(x = - 1\).
Vì trên khoảng từ \( - 1\) đến 0, \(y = {x^3}\) nằm trên \(y = x\), và trên khoảng từ 0 đến 1, \(y = x\) nằm trên \(y = {x^3}\), ta có:
\(S = \int_{ - 1}^0 {({x^3} - x)} {\mkern 1mu} dx + \int_0^1 {(x - {x^3})} {\mkern 1mu} dx\)
Tính tích phân:
\(\int_{ - 1}^0 {({x^3} - x)} {\mkern 1mu} dx = \left[ {\frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{x^2}}}{2}} \right]_{ - 1}^0 = \left( {0 - 0} \right) - \left( {\frac{1}{4} - \frac{1}{2}} \right) = - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\)
\(\int_0^1 {(x - {x^3})} {\mkern 1mu} dx = \left[ {\frac{{{x^2}}}{2} - \frac{{{x^4}}}{4}} \right]_0^1 = \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{4}} \right) - (0 - 0) = \frac{1}{4}\)
Vậy diện tích hình phẳng là:
\(S = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 24 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho hai hàm số \(f(x) = 6 - x\), \(g(x) = \frac{1}{6}{x^2} + 1\).
a) Tính \({S_1}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, hai đường thẳng \(x = 1,{\rm{ }}x = 3\) và đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right).\)
b) Tính \({S_2}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, hai đường thẳng \(x = 1,{\rm{ }}x = 3\) và đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right).\)
c) Qua \({S_1},\,\,{S_2}\) tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số
\(y = f\left( x \right),{\rm{ }}y = g\left( x \right)\) và các đường thẳng \(x = 1,{\rm{ }}x = 3\). (phần hình phẳng được gạch chéo trong Hình 4.15).
Phương pháp giải:
a) Tính diện tích \({S_1}\) bằng cách lấy tích phân của hàm số \(f(x) = 6 - x\) từ \(x = 1\) đến \(x = 3\)
b) Tính diện tích \({S_2}\) bằng cách lấy tích phân của hàm số \(g(x) = \frac{1}{6}{x^2} + 1\) từ \(x = 1\) đến \(x = 3\).
c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị bằng cách lấy hiệu diện tích \({S_1} - {S_2}\).
Lời giải chi tiết:
a) Tính \({S_1}\)
Diện tích \({S_1}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, hai đường thẳng \(x = 1\), \(x = 3\) và đồ thị hàm số \(y = f(x)\):
\({S_1} = \int_1^3 {(6 - x)} dx\)
Tính tích phân:
\({S_1} = \left[ {6x - \frac{{{x^2}}}{2}} \right]_1^3\)
\({S_1} = \left( {6 \cdot 3 - \frac{{{3^2}}}{2}} \right) - \left( {6 \cdot 1 - \frac{{{1^2}}}{2}} \right)\)
\({S_1} = (18 - 4.5) - (6 - 0.5) = 13.5 - 5.5 = 8\)
b) Tính \({S_2}\)
Diện tích \({S_2}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, hai đường thẳng \(x = 1\), \(x = 3\) và đồ thị hàm số \(y = g(x)\):
\({S_2} = \int_1^3 {\left( {\frac{1}{6}{x^2} + 1} \right)} dx\)
Tính tích phân:
\({S_2} = \left[ {\frac{1}{6} \cdot \frac{{{x^3}}}{3} + x} \right]_1^3\)
\({S_2} = \left( {\frac{1}{6} \cdot \frac{{27}}{3} + 3} \right) - \left( {\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{3} + 1} \right)\)
\({S_2} = \left( {\frac{9}{6} + 3} \right) - \left( {\frac{1}{{18}} + 1} \right)\)
\({S_2} = (1.5 + 3) - \left( {\frac{1}{{18}} + 1} \right) = 4.5 - \frac{{19}}{{18}} = \frac{{81}}{{18}} - \frac{{19}}{{18}} = \frac{{62}}{{18}} \approx 3,44\)
c) Tính diện tích hình phẳng giữa hai đồ thị
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị \(f(x)\) và \(g(x)\) trong khoảng \(x = 1\) đến \(x = 3\) là:
\(S = {S_1} - {S_2} = 8 - 3,44 = 4,56\)
Vậy, diện tích hình phẳng giữa hai đồ thị là \(S = 4,56\).
Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 24 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Một cái cổng có kích thước như Hình 4.14a. Vòm cổng có hình dạng một parabol có đỉnh \(I(0;2)\) và đi qua điểm \(B\left( {\frac{5}{2};\frac{3}{2}} \right)\) như Hình 4.14b. Tính diện tích hai cánh cửa cổng.
Phương pháp giải:
- Xác định phương trình parabol.
- Tính diện tích một cánh cửa cổng bằng cách tính tích phân diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và trục hoành trong khoảng từ \(x = 0\) đến \(x = \frac{5}{2}\).
- Nhân diện tích một cánh cửa với 2 để ra diện tích hai cánh cửa cổng.
Lời giải chi tiết:
Xác định phương trình parabol đỉnh \(I(0;2)\) có dạng:
\(y = a{x^2} + 2\)
Sử dụng điểm \(B\left( {\frac{5}{2};\frac{3}{2}} \right)\) để tìm hệ số \(a\):
\(\frac{3}{2} = a{\left( {\frac{5}{2}} \right)^2} + 2\)
Giải ra ta được:
\(a = - \frac{2}{{25}}\)
Vậy phương trình của parabol là:
\(y = - \frac{2}{{25}}{x^2} + 2\)
Diện tích một cánh cửa là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và trục hoành trong khoảng từ \(x = 0\) đến \(x = \frac{5}{2}\), được tính bằng tích phân:
\(S = 2\int_0^{\frac{5}{2}} {\left( { - \frac{2}{{25}}{x^2} + 2} \right)} dx\)
Tính tích phân:
\(S = 2\left[ {\left( { - \frac{2}{{25}} \cdot \frac{{{x^3}}}{3} + 2x} \right)} \right]_0^{\frac{5}{2}}\)
\(S = 2\left[ { - \frac{2}{{25}} \cdot \frac{{125}}{{24}} + 2 \cdot \frac{5}{2}} \right]\)
\(S = 2\left( { - \frac{5}{{12}} + 5} \right) = 2\left( {\frac{{55}}{{12}}} \right) = \frac{{55}}{6}\)
Vậy, diện tích hai cánh cửa cổng là: \(9,167{{\rm{m}}^2}\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 22 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong Hình 4.10, gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = x - 3\), trục hoành và các đường thẳng \(x = 1\) và \(x = 6\).
a) Tính diện tích của (H).
b) Tính các tích phân \(\int_1^6 {(x - 3)} {\mkern 1mu} dx\) và \(\int_1^6 | x - 3|{\mkern 1mu} dx\). So sánh hai tích phân này với kết quả tính được ở câu a và rút ra nhận xét.
Phương pháp giải:
a)
Diện tích (H) có thể tính bằng cách cộng diện tích của hai tam giác. Diện tích của tam giác được tính bằng công thức:
\(S = \frac{1}{2} \times h \times \)đáy
b)
- Tính trực tiếp các tích phân \(\int_1^6 {(x - 3)dx} \) và \(\int_1^6 {\left| {x - 3} \right|dx} \).
- So sánh kết quả của hai tích phân này với diện tích tính được ở câu a để rút ra nhận xét.
Lời giải chi tiết:
a)
Hình phẳng (H) trong đề bài là hai hình tam giác vuông, với các cạnh là:
- Đáy của tam giác thứ nhất: \(6 - 3 = 3\)
- Chiều cao của tam giác thứ nhất: \(3 - 0 = 3\)
- Đáy của tam giác thứ hai: \(3 - 1 = 2\)
- Chiều cao của tam giác thứ nhất: \(0 - ( - 2) = 2\)
Diện tích tam giác được tính theo công thức:
\(S = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 + \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = \frac{9}{2} + 2 = 6,5\)
b)
Tính tích phân thứ nhất:
\(\int_1^6 {(x - 3)} {\mkern 1mu} dx = \left[ {\frac{{{{(x - 3)}^2}}}{2}} \right]_1^6 = \frac{9}{2} - 2 = \frac{7}{2} = 2,5\)
Tính tích phân thứ hai:
\(\int_1^6 | x - 3|{\mkern 1mu} dx = \int_1^3 {(3 - x)} {\mkern 1mu} dx + \int_3^6 {(x - 3)} {\mkern 1mu} dx = 2 + \frac{9}{2} = 6,5\)
Nhận xét:
- Tích phân thứ nhất \(\int_1^6 {(x - 3)} {\mkern 1mu} dx = 3.5\) không phản ánh diện tích thực của hình phẳng, vì hàm số nhận giá trị âm trong khoảng từ 1 đến 3.
- Tích phân thứ hai \(\int_1^6 | x - 3|{\mkern 1mu} dx = 6.5\) chính là diện tích hình phẳng tính được ở câu a, vì nó tính giá trị tuyệt đối của hàm số, tức là cả phần âm và phần dương.
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 23 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^3}\), trục hoành và các đường thẳng \(x = - 3,x = 2\).
Phương pháp giải:
- Xác định ình phẳng cần tính diện tích.
- Phân tích dấu của hàm \(y = {x^3}\).
- Tìm biểu thức diện tích tổng quát.
- Tính các tích phân dựa trên biểu thức diện tích tổng quát.
Lời giải chi tiết:
Hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^3}\), trục hoành \(y = 0\), và hai đường thẳng \(x = - 3\) và \(x = 2\). Tại các khoảng khác nhau, đồ thị có thể nằm bên trên hoặc bên dưới trục hoành, nên cần tính tích phân của giá trị tuyệt đối \(|{x^3}|\) để đảm bảo kết quả diện tích là dương.
- Từ \(x = - 3\) đến \(x = 0\), \(y = {x^3}\) là âm.
- Từ \(x = 0\) đến \(x = 2\), \(y = {x^3}\) là dương.
Diện tích hình phẳng được tính bằng cách lấy tích phân của \(|{x^3}|\) từ \(x = - 3\) đến \(x = 2\)
\(S = \int_{ - 3}^0 - {x^3}{\mkern 1mu} dx + \int_0^2 {{x^3}} {\mkern 1mu} dx\)
Trong khoảng \(x \in [ - 3,0]\), đổi dấu hàm số \({x^3}\) để đảm bảo diện tích là dương.
Tích phân của \( - {x^3}\) trong khoảng \([ - 3,0]\):
\(\int_{ - 3}^0 - {x^3}{\mkern 1mu} dx = - \left[ {\frac{{{x^4}}}{4}} \right]_{ - 3}^0 = - \left( {\frac{{{0^4}}}{4} - \frac{{{{( - 3)}^4}}}{4}} \right) = - \left( {0 - \frac{{81}}{4}} \right) = \frac{{81}}{4}\)
Tích phân của \({x^3}\) trong khoảng \(\left[ {0,{\rm{ }}2} \right]\):
\(\int_0^2 {{x^3}} {\mkern 1mu} dx = \left[ {\frac{{{x^4}}}{4}} \right]_0^2 = \frac{{{2^4}}}{4} - \frac{{{0^4}}}{4} = \frac{{16}}{4} = 4\)
Diện tích tổng cộng là tổng của hai kết quả tích phân:
\(S = \frac{{81}}{4} + 4 = \frac{{81}}{4} + \frac{{16}}{4} = \frac{{97}}{4}\)
Vậy, diện tích của hình phẳng là:
\(S = \frac{{97}}{4} = 24.25\).
Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 24 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Một cái cổng có kích thước như Hình 4.14a. Vòm cổng có hình dạng một parabol có đỉnh \(I(0;2)\) và đi qua điểm \(B\left( {\frac{5}{2};\frac{3}{2}} \right)\) như Hình 4.14b. Tính diện tích hai cánh cửa cổng.
Phương pháp giải:
- Xác định phương trình parabol.
- Tính diện tích một cánh cửa cổng bằng cách tính tích phân diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và trục hoành trong khoảng từ \(x = 0\) đến \(x = \frac{5}{2}\).
- Nhân diện tích một cánh cửa với 2 để ra diện tích hai cánh cửa cổng.
Lời giải chi tiết:
Xác định phương trình parabol đỉnh \(I(0;2)\) có dạng:
\(y = a{x^2} + 2\)
Sử dụng điểm \(B\left( {\frac{5}{2};\frac{3}{2}} \right)\) để tìm hệ số \(a\):
\(\frac{3}{2} = a{\left( {\frac{5}{2}} \right)^2} + 2\)
Giải ra ta được:
\(a = - \frac{2}{{25}}\)
Vậy phương trình của parabol là:
\(y = - \frac{2}{{25}}{x^2} + 2\)
Diện tích một cánh cửa là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và trục hoành trong khoảng từ \(x = 0\) đến \(x = \frac{5}{2}\), được tính bằng tích phân:
\(S = 2\int_0^{\frac{5}{2}} {\left( { - \frac{2}{{25}}{x^2} + 2} \right)} dx\)
Tính tích phân:
\(S = 2\left[ {\left( { - \frac{2}{{25}} \cdot \frac{{{x^3}}}{3} + 2x} \right)} \right]_0^{\frac{5}{2}}\)
\(S = 2\left[ { - \frac{2}{{25}} \cdot \frac{{125}}{{24}} + 2 \cdot \frac{5}{2}} \right]\)
\(S = 2\left( { - \frac{5}{{12}} + 5} \right) = 2\left( {\frac{{55}}{{12}}} \right) = \frac{{55}}{6}\)
Vậy, diện tích hai cánh cửa cổng là: \(9,167{{\rm{m}}^2}\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 24 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho hai hàm số \(f(x) = 6 - x\), \(g(x) = \frac{1}{6}{x^2} + 1\).
a) Tính \({S_1}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, hai đường thẳng \(x = 1,{\rm{ }}x = 3\) và đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right).\)
b) Tính \({S_2}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, hai đường thẳng \(x = 1,{\rm{ }}x = 3\) và đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right).\)
c) Qua \({S_1},\,\,{S_2}\) tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số
\(y = f\left( x \right),{\rm{ }}y = g\left( x \right)\) và các đường thẳng \(x = 1,{\rm{ }}x = 3\). (phần hình phẳng được gạch chéo trong Hình 4.15).
Phương pháp giải:
a) Tính diện tích \({S_1}\) bằng cách lấy tích phân của hàm số \(f(x) = 6 - x\) từ \(x = 1\) đến \(x = 3\)
b) Tính diện tích \({S_2}\) bằng cách lấy tích phân của hàm số \(g(x) = \frac{1}{6}{x^2} + 1\) từ \(x = 1\) đến \(x = 3\).
c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị bằng cách lấy hiệu diện tích \({S_1} - {S_2}\).
Lời giải chi tiết:
a) Tính \({S_1}\)
Diện tích \({S_1}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, hai đường thẳng \(x = 1\), \(x = 3\) và đồ thị hàm số \(y = f(x)\):
\({S_1} = \int_1^3 {(6 - x)} dx\)
Tính tích phân:
\({S_1} = \left[ {6x - \frac{{{x^2}}}{2}} \right]_1^3\)
\({S_1} = \left( {6 \cdot 3 - \frac{{{3^2}}}{2}} \right) - \left( {6 \cdot 1 - \frac{{{1^2}}}{2}} \right)\)
\({S_1} = (18 - 4.5) - (6 - 0.5) = 13.5 - 5.5 = 8\)
b) Tính \({S_2}\)
Diện tích \({S_2}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, hai đường thẳng \(x = 1\), \(x = 3\) và đồ thị hàm số \(y = g(x)\):
\({S_2} = \int_1^3 {\left( {\frac{1}{6}{x^2} + 1} \right)} dx\)
Tính tích phân:
\({S_2} = \left[ {\frac{1}{6} \cdot \frac{{{x^3}}}{3} + x} \right]_1^3\)
\({S_2} = \left( {\frac{1}{6} \cdot \frac{{27}}{3} + 3} \right) - \left( {\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{3} + 1} \right)\)
\({S_2} = \left( {\frac{9}{6} + 3} \right) - \left( {\frac{1}{{18}} + 1} \right)\)
\({S_2} = (1.5 + 3) - \left( {\frac{1}{{18}} + 1} \right) = 4.5 - \frac{{19}}{{18}} = \frac{{81}}{{18}} - \frac{{19}}{{18}} = \frac{{62}}{{18}} \approx 3,44\)
c) Tính diện tích hình phẳng giữa hai đồ thị
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị \(f(x)\) và \(g(x)\) trong khoảng \(x = 1\) đến \(x = 3\) là:
\(S = {S_1} - {S_2} = 8 - 3,44 = 4,56\)
Vậy, diện tích hình phẳng giữa hai đồ thị là \(S = 4,56\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 26 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tính diện tích hình phẳng được tô màu trong Hình 4.18.
Phương pháp giải:
- Xác định giao điểm của hai đường \(y = {x^3}\) và \(y = x\) bằng cách giải phương trình: \({x^3} = x\)
- Diện tích hình phẳng giữa hai đường cong \(y = {x^3}\) và \(y = x\) trong khoảng từ \(x = - 1\) đến \(x = 1\) được tính bằng:
\(S = \int_{ - 1}^1 | x - {x^3}|{\mkern 1mu} dx\)
Lời giải chi tiết:
Giao điểm của hai đường \(y = {x^3}\) và \(y = x\) là:
\({x^3} = x \Leftrightarrow x({x^2} - 1) = 0\)
Suy ra: \(x = 0\), \(x = 1\), và \(x = - 1\).
Vì trên khoảng từ \( - 1\) đến 0, \(y = {x^3}\) nằm trên \(y = x\), và trên khoảng từ 0 đến 1, \(y = x\) nằm trên \(y = {x^3}\), ta có:
\(S = \int_{ - 1}^0 {({x^3} - x)} {\mkern 1mu} dx + \int_0^1 {(x - {x^3})} {\mkern 1mu} dx\)
Tính tích phân:
\(\int_{ - 1}^0 {({x^3} - x)} {\mkern 1mu} dx = \left[ {\frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{x^2}}}{2}} \right]_{ - 1}^0 = \left( {0 - 0} \right) - \left( {\frac{1}{4} - \frac{1}{2}} \right) = - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\)
\(\int_0^1 {(x - {x^3})} {\mkern 1mu} dx = \left[ {\frac{{{x^2}}}{2} - \frac{{{x^4}}}{4}} \right]_0^1 = \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{4}} \right) - (0 - 0) = \frac{1}{4}\)
Vậy diện tích hình phẳng là:
\(S = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}\).
Mục 1 của SGK Toán 12 tập 2 thường tập trung vào một chủ đề quan trọng trong chương trình, ví dụ như Đạo hàm, Tích phân, hoặc Số phức. Việc nắm vững kiến thức nền tảng của mục này là vô cùng quan trọng để giải quyết các bài tập phức tạp hơn trong các chương tiếp theo.
Ở trang 22, các bài tập thường tập trung vào việc kiểm tra sự hiểu biết của học sinh về các khái niệm cơ bản. Ví dụ:
(Đề bài ví dụ) Tính đạo hàm của hàm số y = x2 + 2x - 1.
Giải:
Áp dụng quy tắc đạo hàm của tổng và đạo hàm của hàm số lũy thừa, ta có:
y' = 2x + 2
(Đề bài ví dụ) Tìm tập xác định của hàm số y = √(x - 1).
Giải:
Hàm số y = √(x - 1) xác định khi và chỉ khi x - 1 ≥ 0, tức là x ≥ 1. Vậy tập xác định của hàm số là [1, +∞).
Các bài tập từ trang 23 đến 26 thường có độ khó cao hơn, đòi hỏi học sinh phải vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học và kỹ năng giải toán. Các dạng bài tập thường gặp bao gồm:
Để giải các bài tập này, học sinh cần nắm vững các kiến thức về đạo hàm, tích phân, các phương pháp giải phương trình, bất phương trình, và kỹ năng biến đổi đại số.
Trong quá trình giải bài tập, các em cần lưu ý một số điều sau:
Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, các em học sinh sẽ tự tin giải quyết các bài tập trong mục 1 trang 22, 23, 24, 25, 26 SGK Toán 12 tập 2. Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!
