Bài 1. Phương trình mặt phẳng

Bài 1 trong chương 5 của chương trình Toán 12 tập 2, thuộc bộ sách Cùng khám phá, tập trung vào việc xây dựng và ứng dụng phương trình mặt phẳng trong không gian. Đây là một phần kiến thức nền tảng quan trọng cho việc học tập hình học không gian và có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác.

1. Vectơ pháp tuyến và phương trình mặt phẳng

Để hiểu rõ về phương trình mặt phẳng, trước hết chúng ta cần nắm vững khái niệm về vectơ pháp tuyến. Một vectơ được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi vectơ nằm trong mặt phẳng đó. Nếu n là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và M(x₀, y₀, z₀) là một điểm thuộc mặt phẳng (P), thì phương trình của mặt phẳng (P) có dạng:

a(x - x₀) + b(y - y₀) + c(z - z₀) = 0

Trong đó, (a, b, c) là tọa độ của vectơ pháp tuyến n.

2. Các dạng phương trình mặt phẳng

Ngoài dạng tổng quát trên, phương trình mặt phẳng còn có một số dạng đặc biệt:

Phương trình mặt phẳng có dạng Ax + By + Cz + D = 0: Đây là dạng phương trình thường được sử dụng, trong đó (A, B, C) là tọa độ của vectơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm: Nếu mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), C(x₃, y₃, z₃) không thẳng hàng, ta có thể tìm vectơ pháp tuyến bằng cách lấy tích có hướng của hai vectơ AB và AC.

3. Vị trí tương đối giữa điểm và mặt phẳng

Để xác định vị trí tương đối giữa một điểm M(x₀, y₀, z₀) và mặt phẳng (P) có phương trình Ax + By + Cz + D = 0, ta tính giá trị của biểu thức:

Δ = Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D

Nếu Δ = 0: Điểm M thuộc mặt phẳng (P).
Nếu Δ > 0: Điểm M nằm phía trên mặt phẳng (P).
Nếu Δ < 0: Điểm M nằm phía dưới mặt phẳng (P).

4. Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng

Để xác định vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng (P₁): A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0 và (P₂): A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0, ta xét các trường hợp sau:

Nếu các vectơ pháp tuyến n₁ và n₂ cùng phương (tức là tồn tại một số k ≠ 0 sao cho n₂ = kn₁): Hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau.
Nếu hai mặt phẳng không song song: Chúng cắt nhau và tạo thành một đường thẳng.

5. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Lập phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(1, 2, 3) và có vectơ pháp tuyến n = (2, -1, 1).

Giải: Phương trình mặt phẳng có dạng: 2(x - 1) - (y - 2) + (z - 3) = 0 ⇔ 2x - y + z - 3 = 0

Ví dụ 2: Xác định vị trí tương đối giữa điểm M(0, 1, -2) và mặt phẳng (P): 3x - 2y + z + 5 = 0.

Giải: Δ = 3(0) - 2(1) + (-2) + 5 = 1 > 0. Vậy điểm M nằm phía trên mặt phẳng (P).

6. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về phương trình mặt phẳng, các em nên luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau. Các em có thể tìm thấy các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập hoặc trên các trang web học toán online như montoan.com.vn.

Hy vọng bài học này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về phương trình mặt phẳng và tự tin giải các bài tập liên quan. Chúc các em học tập tốt!