Lý thuyết Phương trình mặt phẳng Toán 12 Cùng khám phá

Lý thuyết Phương trình mặt phẳng Toán 12: Nền tảng vững chắc

Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Phương trình mặt phẳng Toán 12 tại montoan.com.vn. Đây là một phần kiến thức quan trọng trong chương trình Hình học không gian, giúp bạn giải quyết các bài toán liên quan đến mặt phẳng trong không gian.

Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá các khái niệm cơ bản, công thức quan trọng và phương pháp giải bài tập một cách hiệu quả. Hãy bắt đầu hành trình chinh phục kiến thức Toán 12 ngay thôi!

1. Vecto pháp tuyến và cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng Vecto pháp tuyến

1. Vecto pháp tuyến và cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng

Vecto pháp tuyến

Vecto \(\overrightarrow n \ne \overrightarrow 0 \) được gọi là vecto pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) nếu giá của \(\overrightarrow n \) vuông góc với \(\left( \alpha \right)\).

Cặp vecto chỉ phương

Cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\). Nếu hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) không cùng phương, có giá song song hoặc nằm trong \(\left( \alpha \right)\) thì \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) được gọi là cặp vecto chỉ phương của \(\left( \alpha \right)\).

Ví dụ: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Hãy tìm bốn vecto pháp tuyến và hai cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng (AA’B’B).

Lý thuyết Phương trình mặt phẳng Toán 12 Cùng khám phá 1

Giải:

Bốn vecto pháp tuyến của mặt phẳng (AA’B’B) là: \(\overrightarrow {AD} \), \(\overrightarrow {A'D'} \), \(\overrightarrow {BC} \), \(\overrightarrow {B'C'} \).

Hai cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng (AA’B’B) là: \(\overrightarrow {AB} \), \(\overrightarrow {AA'} \) và \(\overrightarrow {AB} \), \(\overrightarrow {AB'} \).

Xác định vecto pháp tuyến của mặt phẳng khi biết cặp vecto chỉ phương

Trong không gian Oxyz, nếu mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) nhận hai vecto \(\overrightarrow a = ({a_1};{a_2};{a_3})\), \(\overrightarrow b = ({b_1};{b_2};{b_3})\) làm cặp vecto chỉ phương thì \(\left( \alpha \right)\) nhận vecto

\(\overrightarrow n = ({a_2}{b_3} - {a_3}{b_2};{a_3}{b_1} - {a_1}{b_3};{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1})\)

làm vecto pháp tuyến.

Vecto \(\overrightarrow n = ({a_2}{b_3} - {a_3}{b_2};{a_3}{b_1} - {a_1}{b_3};{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1})\) còn được gọi là tích có hướng của hai vecto \(\overrightarrow a = ({a_1};{a_2};{a_3})\) và \(\overrightarrow b = ({b_1};{b_2};{b_3})\), kí hiệu là \(\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right]\).

Biểu thức \({a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}\) thường được kí hiệu là \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}&{{a_2}}\\{{b_1}}&{{b_2}}\end{array}} \right|\).

Nếu \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) cùng phương \( \Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = 0\).

Ví dụ: Cho mặt phẳng (P) nhận \(\overrightarrow a = (1;2;3)\), \(\overrightarrow b = (4;1;5)\) làm cặp vecto chỉ phương. Tìm một vecto pháp tuyến của (P).

Giải: Ta có tích có hướng của hai vecto \(\overrightarrow a \), \(\overrightarrow b \) là

\(\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = (2.5 - 3.1;3.4 - 1.5;1.1 - 2.4) = (7;7; - 7)\).

Do đó, mặt phẳng (P) nhận \(\overrightarrow n = \frac{1}{7}\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = (1;1; - 1)\) làm một vecto pháp tuyến.

2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

Định nghĩa

Trong không gian Oxyz, mỗi mặt phẳng đều có phương trình dạng Ax + By + Cz + D = 0, trong đó A, B, C không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng đó.

Mỗi phương trình Ax + By + Cz + D = 0 (A, B, C không đồng thời bằng 0) đều xác định một mặt phẳng nhận \(\overrightarrow n = (A;B;C)\) làm vecto pháp tuyến.

Cho mặt phẳng có phương trình tổng quát là Ax + By + Cz + D = 0 . Khi đó \(N({x_0};{y_0};{z_0}) \in (\alpha ) \Leftrightarrow A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D = 0\).

Ví dụ: Cho hai mặt phẳng (P), (Q) có phương trình tổng quát là

(P): \(3x - 5y + 7z = 0\) và (Q): \(x + y - 2 = 0\).

a) Tìm một vecto pháp tuyến của mỗi mặt phẳng (P), (Q).

b) Tìm điểm thuộc mặt phẳng (P) trong số các điểm A(1;3;1), B(1;2;3).

Giải:

a) Mặt phẳng (P) có một vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n = (3; - 5;7)\).

Mặt phẳng (Q) có một vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n = (1;1;0)\).

b) Thay tọa độ điểm A vào phương trình của (P), ta được: 3.1 – 5.3 + 7.1 + 5 = 0.

Vậy A thuộc (P).

Thay tọa độ điểm B vào phương trình của (P), ta được: 3.1 – 5.2 + 7.3 + 5 = 19 \( \ne 0\).

Vậy B không thuộc (P).

Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua một điểm và biết vecto pháp tuyến

Trong không gian Oxyz, nếu mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \({M_0}({x_0};{y_0};{z_0})\) và có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = (A;B;C)\) có phương trình là:

\(A(x - {x_0}) + B(y - {y_0}) + C(z - {z_0}) = 0 \Leftrightarrow Ax + By + Cz + D = 0\), với \(D = - (A{x_0} + B{y_0} + C{z_0})\).

Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;2;3) và có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = (1;2;1)\).

Giải: Vì (P) đi qua điểm M(1;2;1) và có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = (1;2;1)\) nên phương trình của (P) là \(1\left( {x-1} \right) + 2\left( {y-2} \right) + 1\left( {z-3} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 2y - 8 = 0\).

Lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vecto chỉ phương

Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và biết cặp vecto chỉ phương \(\overrightarrow u \), \(\overrightarrow v \) có thể thực hiện theo các bước sau:

- Tìm vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\).

- Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua M và biết vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n \).

Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm N(4;0;1) và có cặp vecto chỉ phương là \(\overrightarrow a = (1;2;1)\), \(\overrightarrow b = (2;1;3)\).

Giải: (P) có cặp vecto chỉ phương là \(\overrightarrow a = (1;2;1)\), \(\overrightarrow b = (2;1;3)\), suy ra (P) có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = (2.3 - 1.1;1.2 - 1.3;1.1 - 2.2) = (5; - 1; - 3)\).

Phương trình của (P) là \(5(x - 4) - 1(y - 0) - 3(z - 1) = 0 \Leftrightarrow 5x - y - 3z - 17 = 0\).

Lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng

Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C có thể thực hiện theo các bước sau:

- Tìm cặp vecto chỉ phương \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \).

- Tìm vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\).

- Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua A (hoặc B, C) và biết vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n \).

Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(1;1;1), B(1;2;2), C(4;1;0).

Giải: (P) đi qua ba điểm A(1;1;1), B(1;2;2), C(4;1;0) nên có cặp vecto chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} = (0;1;1)\), \(\overrightarrow {AC} = (3;0; - 1)\), suy ra (P) có vecto pháp tuyến là

\(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = (1.( - 1) - 1.0;1.3 - 0.( - 1);0.0 - 1.3) = ( - 1;3; - 3)\).

Phương trình của (P) là \( - 1(x - 1) + 3(y - 1) - 3(z - 1) = 0 \Leftrightarrow x - 3y + 3z = 0\).

Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

Phương trình mặt phẳng cắt ba trục tọa độ tại ba điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) với a, b, c \( \ne \) 0 có dạng \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\) gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.

3. Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng: \(\left( {{\alpha _1}} \right):{A_1}x + {B_1}y + {C_1}z + {D_1} = 0\), \(\left( {{\alpha _2}} \right):{A_2}x + {B_2}y + {C_2}z + {D_2} = 0\) với hai vecto pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}} = ({A_1};{B_1};{C_1})\), \(\overrightarrow {{n_2}} = ({A_2};{B_2};{C_2})\) tương ứng. Giả sử điểm \(M \in ({\alpha _1})\).

Điều kiện để hai mặt phẳng song song

Hai mặt phẳng \(\left( {{\alpha _1}} \right)\) và \(\left( {{\alpha _2}} \right)\) song song khi và chỉ khi \(\overrightarrow {{n_1}} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{n_2}} \) và \(M \notin ({\alpha _2})\).

Trong trường hợp \({A_2}.{B_2}.{C_2}.{D_2} \ne 0\) thì:

\(\left( {{\alpha _1}} \right)//\left( {{\alpha _2}} \right) \Leftrightarrow \frac{{{A_1}}}{{{A_2}}} = \frac{{{B_1}}}{{{B_2}}} = \frac{{{C_1}}}{{{C_2}}} \ne \frac{{{D_1}}}{{{D_2}}}\)

Điều kiện để hai mặt phẳng trùng nhau

Hai mặt phẳng \(\left( {{\alpha _1}} \right)\) và \(\left( {{\alpha _2}} \right)\) trùng nhau khi và chỉ khi \(\overrightarrow {{n_1}} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{n_2}} \) và \(M \in ({\alpha _2})\).

Trong trường hợp \({A_2}.{B_2}.{C_2}.{D_2} \ne 0\) thì:

\(\left( {{\alpha _1}} \right) \equiv \left( {{\alpha _2}} \right) \Leftrightarrow \frac{{{A_1}}}{{{A_2}}} = \frac{{{B_1}}}{{{B_2}}} = \frac{{{C_1}}}{{{C_2}}} = \frac{{{D_1}}}{{{D_2}}}\)

Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): \(2x - 3y + z + 5 = 0\).

a) Chứng minh rằng mặt phẳng (Q): \( - 4x + 6y - 2z + 7 = 0\) song song với (P).

b) Viết phương trình mặt phẳng (P’) đi qua điểm M(1;-2;3) và song song với (P).

Giải:

a) Xét (P): \(2x - 3y + z + 5 = 0\) và (Q): \( - 4x + 6y - 2z + 7 = 0\).

Ta có \(\frac{2}{{ - 4}} = \frac{{ - 3}}{6} = \frac{1}{{ - 2}} \ne \frac{5}{7}\) nên (P)//(Q).

b) Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = (2; - 3;1)\).

Vì (P’)//(P) nên (P’) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = (2; - 3;1)\).

Vậy mặt phẳng (P’) đi qua đi qua M(1;-2;3) và có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = (2; - 3;1)\) có phương trình là: \(2(x - 1) - 3(y + 2) + 1(z - 3) = 0\) hay \(2x - 3y + z - 11 = 0\).

Điều kiện để hai mặt phẳng cắt nhau

Hai mặt phẳng \(\left( {{\alpha _1}} \right)\) và \(\left( {{\alpha _2}} \right)\) cắt nhau khi và chỉ khi \(\overrightarrow {{n_1}} \) không cùng phương với \(\overrightarrow {{n_2}} \).

Trong trường hợp \({A_2}.{B_2}.{C_2} \ne 0\) thì:

\(\left( {{\alpha _1}} \right) \cap \left( {{\alpha _2}} \right) \Leftrightarrow \frac{{{A_1}}}{{{A_2}}} \ne \frac{{{B_1}}}{{{B_2}}}\) hoặc \(\frac{{{A_1}}}{{{A_2}}} \ne \frac{{{C_1}}}{{{C_2}}}\) hoặc \(\frac{{{B_1}}}{{{B_2}}} \ne \frac{{{C_1}}}{{{C_2}}}\)

Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc

Xét hai mặt phẳng \(\left( {{\alpha _1}} \right)\) và \(\left( {{\alpha _2}} \right)\).

\(\left( {{\alpha _1}} \right) \bot \left( {{\alpha _2}} \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_1}} \bot \overrightarrow {{n_2}} \Leftrightarrow {A_1}{A_2} + {B_1}{B_2} + {C_1}{C_2} = 0\)

Ví dụ: Cho ba mặt phẳng (P), (Q), (R) có phương trình là

(P): \(x - 4y + 3z + 2 = 0\), (Q): \(4x + y + 88 = 0\), (R): \(x + y + z + 9 = 0\). Chứng minh rằng (P) ⊥ (Q), (P) ⊥ (R).

Giải: Các mặt phẳng (P), (Q), (R) có vecto pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = (1; - 4;3)\), \(\overrightarrow {{n_2}} = (4;1;0)\), \(\overrightarrow {{n_3}} = (1;1;1)\).

Ta có \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 1.4 + ( - 4).1 + 3.0 = 0\). Vậy (P) ⊥ (Q).

Ta có \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_3}} = 1.1 + ( - 4).1 + 3.1 = 0\). Vậy (P) ⊥ (R).

4. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm \(M({x_0};{y_0};{z_0})\) đến mặt phẳng \((\alpha )\): Ax + By + Cz + D = 0 là:

\(d(M,(P)) = \frac{{\left| {A{x_0}{\rm{ }} + {\rm{ }}B{y_0}{\rm{ }} + {\rm{ }}C{z_0}{\rm{ }} + {\rm{ }}D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\)

Ví dụ 1: Tìm khoảng cách từ điểm M(1;2;3) đến mặt phẳng (P): \(x + y + z + 12 = 0\).

Giải: \(d\left( {M,(P)} \right) = \frac{{\left| {1.1 + 1.2 + 1.3 + 12} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{{18}}{{\sqrt 3 }} = 6\sqrt 3 \).

Ví dụ 2: Chứng minh \((\alpha )\): 2x + 3y – 6z – 7 = 0 song song với \((\beta )\): 2x + 3y – 6z + 14 = 0 và tìm khoảng cách giữa chúng.

Giải:

Ta có \(\frac{2}{2} = \frac{3}{3} = \frac{{ - 6}}{{ - 6}} \ne \frac{{ - 7}}{{14}}\) nên \((\alpha )\)//\((\beta )\). Lấy điểm N(-7;0;0) thuộc \((\beta )\).

Vậy \(d\left( {(\alpha ),(\beta )} \right) = d\left( {N,(\alpha )} \right) = \frac{{\left| {2.( - 7) + 3.0 - 6.3 - 7} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2} + {{( - 6)}^2}} }} = \frac{{21}}{7} = 3\).

Bạn đang khám phá nội dung Lý thuyết Phương trình mặt phẳng Toán 12 Cùng khám phá trong chuyên mục giải sgk toán 12 trên nền tảng toán math. Được biên soạn chuyên sâu và bám sát chặt chẽ chương trình sách giáo khoa hiện hành, bộ bài tập toán trung học phổ thông này cam kết tối ưu hóa toàn diện quá trình ôn luyện, củng cố kiến thức Toán lớp 12 cho học sinh THPT, thông qua phương pháp tiếp cận trực quan và mang lại hiệu quả học tập vượt trội, tạo nền tảng vững chắc cho Kỳ thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia và hành trang vào đại học.

Ghi chú: Quý thầy, cô giáo và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên MonToan.com.vn bằng cách gửi về:

Facebook: MÔN TOÁN

Email: montoanmath@gmail.com

Lý thuyết Phương trình mặt phẳng Toán 12: Tổng quan

Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng là một phương trình bậc nhất theo ba biến x, y, z. Nắm vững lý thuyết này là chìa khóa để giải quyết các bài toán về hình học không gian, đặc biệt là trong kỳ thi THPT Quốc gia.

1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Một mặt phẳng được xác định duy nhất bởi một điểm thuộc mặt phẳng và một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Vectơ pháp tuyến là vectơ vuông góc với mọi vectơ nằm trong mặt phẳng.

Nếu n = (a; b; c) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng, thì phương trình của mặt phẳng có dạng:

a(x - x₀) + b(y - y₀) + c(z - z₀) = 0

Trong đó (x₀; y₀; z₀) là tọa độ của một điểm thuộc mặt phẳng.

2. Các dạng phương trình mặt phẳng

Phương trình tổng quát của mặt phẳng: Ax + By + Cz + D = 0 (với A, B, C không đồng thời bằng 0). Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là n = (A; B; C).
Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm: Cho ba điểm A(x_A; y_A; z_A), B(x_B; y_B; z_B), C(x_C; y_C; z_C) không thẳng hàng. Ta có thể tìm vectơ pháp tuyến bằng cách lấy tích có hướng của hai vectơ AB và AC.
Phương trình mặt phẳng song song với một mặt phẳng cho trước: Nếu mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q): Ax + By + Cz + D = 0, thì phương trình của (P) có dạng: Ax + By + Cz + D' = 0 (với D' ≠ D).
Phương trình mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước: Nếu mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng (Q): Ax + By + Cz + D = 0, thì vectơ pháp tuyến của (P) có thể là n = (A; B; C).

3. Các bài toán thường gặp

Xác định phương trình mặt phẳng khi biết các yếu tố: Vectơ pháp tuyến và một điểm, ba điểm không thẳng hàng, một điểm và một đường thẳng, hai đường thẳng song song hoặc cắt nhau.
Tìm giao điểm của mặt phẳng với đường thẳng: Thay phương trình tham số của đường thẳng vào phương trình mặt phẳng.
Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng: Giải hệ phương trình hai mặt phẳng.
Tính góc giữa hai mặt phẳng: Sử dụng công thức cosin của góc giữa hai vectơ pháp tuyến.
Tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng: Sử dụng công thức tính khoảng cách.

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(1; 2; 3) và có vectơ pháp tuyến n = (2; -1; 1).

Giải: Phương trình mặt phẳng có dạng: 2(x - 1) - (y - 2) + (z - 3) = 0 ⇔ 2x - y + z - 3 = 0

Ví dụ 2: Tìm giao điểm của đường thẳng d: x = 1 + t, y = 2 - t, z = 3 + 2t và mặt phẳng (P): x + y + z - 6 = 0.

Giải: Thay phương trình tham số của d vào phương trình (P): (1 + t) + (2 - t) + (3 + 2t) - 6 = 0 ⇔ 2t = 0 ⇔ t = 0. Vậy giao điểm là (1; 2; 3).

5. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững lý thuyết và rèn luyện kỹ năng giải bài tập, bạn nên thực hành với nhiều dạng bài tập khác nhau. montoan.com.vn cung cấp hệ thống bài tập đa dạng, từ cơ bản đến nâng cao, giúp bạn tự tin đối mặt với mọi thử thách.

Chúc bạn học tập hiệu quả và đạt kết quả cao trong môn Toán!