Giải bài tập 1.28 trang 36 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Giải bài tập 1.28 trang 36 SGK Toán 12 tập 1
Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 1.28 trang 36 SGK Toán 12 tập 1 tại montoan.com.vn. Bài tập này thuộc chương trình học về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.
Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán hiệu quả.
Một công ty muốn làm một đường ống dẫn từ vị trí A trên bờ biển đến vị trí B trên hòn đảo. Khoảng cách từ điểm B đến bờ biển là BH=6 km (Hình 1.42). Giá tiền để xây dựng đường ống trên bờ là 50.000 USD mỗi kilomet và giá tiền xây dựng đường ống trên biển là 130.000 USD mỗi kilomet, biết rằng AH=9 km. Xác định vị trí điểm C trên đoạn AH để khi lắp ống dẫn theo đường gấp khúc ACB thì chi phí công ty bỏ ra là thấp nhất.
Đề bài
Một công ty muốn làm một đường ống dẫn từ vị trí A trên bờ biển đến vị trí B trên hòn đảo. Khoảng cách từ điểm B đến bờ biển là BH=6 km (Hình 1.42). Giá tiền để xây dựng đường ống trên bờ là 50.000 USD mỗi kilomet và giá tiền xây dựng đường ống trên biển là 130.000 USD mỗi kilomet, biết rằng AH=9 km. Xác định vị trí điểm C trên đoạn AH để khi lắp ống dẫn theo đường gấp khúc ACB thì chi phí công ty bỏ ra là thấp nhất.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Đặt HC = 𝑥 và tính đoạn CB.
- Tính tổng chi phí xây dựng đường ống trên bờ và trên biển và thiết lập hàm chi phí theo 𝑥.
- Tìm giá trị tối thiểu bằng cách khảo sát hàm chi phí theo 𝑥.
Lời giải chi tiết
- Đặt HC = 𝑥. Khi đó, AC = 9 – 𝑥. (0≤𝑥≤9)
\(CB = \sqrt {{x^2} + {6^2}} = \sqrt {{x^2} + 36} \)
- Chi phí xây dựng đường ống trên bờ: \(50.000 \times (9 - x)\)
- Chi phí xây dựng đường ống trên biển: \(130.000 \times \sqrt {{x^2} + 36} \)
- Tổng chi phí: \(50.000 \times (9 - x) + 130.000 \times \sqrt {{x^2} + 36} \)
3. Tìm giá trị tối thiểu:
- Đặt hàm chi phí: \(f(x) = 50.000 \times (9 - x) + 130.000 \times \sqrt {{x^2} + 36} \)
- Lấy đạo hàm của hàm chi phí:
\({f^\prime }(x) = - 50.000 + 130.000 \times \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 36} }}\)
- Giải phương trình \({f^\prime }(x) = 0\):
\(\begin{array}{l} - 50.000 + 130.000 \times \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 36} }} = 0\\ \Leftrightarrow 130.000 \times \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 36} }} = 50.000\\ \Leftrightarrow \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 36} }} = \frac{5}{{13}}\\ \Leftrightarrow 13x = 5\sqrt {{x^2} + 36} \\ \Leftrightarrow 169{x^2} = 25({x^2} + 36)\\ \Leftrightarrow 169{x^2} = 25{x^2} + 900\\ \Leftrightarrow 144{x^2} = 900\\ \Leftrightarrow x = \pm 2.5\end{array}\)
Loại x=−2.5 vì x ≥0
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} [50.000 \times (9 - x) + 130.000 \times \sqrt {{x^2} + 36} ] = 1230000\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } [50.000 \times (9 - x) + 130.000 \times \sqrt {{x^2} + 36} ] = \infty \)
- Bảng biến thiên:
Vậy khi điểm C cách điểm H 1 khoảng là 2,5km thì chi phí công ty bỏ ra để lắp ống dẫn theo đường gấp khúc ACB là nhỏ nhất.
Giải bài tập 1.28 trang 36 SGK Toán 12 tập 1: Đề bài
Bài tập 1.28 SGK Toán 12 tập 1 yêu cầu khảo sát hàm số y = x3 - 3x2 + 2. Việc khảo sát hàm số bao gồm các bước: xác định tập xác định, xét tính liên tục, tính đạo hàm, tìm cực trị, xét tính đơn điệu, vẽ đồ thị và kết luận về các điểm đặc biệt của đồ thị.
Lời giải chi tiết bài tập 1.28 trang 36 SGK Toán 12 tập 1
- Xác định tập xác định: Hàm số y = x3 - 3x2 + 2 là hàm đa thức nên tập xác định của hàm số là D = ℝ.
- Xét tính liên tục: Hàm số y = x3 - 3x2 + 2 liên tục trên tập xác định D = ℝ.
- Tính đạo hàm: y' = 3x2 - 6x.
- Tìm cực trị:
- Giải phương trình y' = 0: 3x2 - 6x = 0 ⇔ 3x(x - 2) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.
- Tính y'' = 6x - 6.
- Tại x = 0, y'' = -6 < 0, hàm số đạt cực đại tại x = 0, ycđ = 2.
- Tại x = 2, y'' = 6 > 0, hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, yct = -2.
- Xét tính đơn điệu:
- Với x < 0, y' > 0, hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; 0).
- Với 0 < x < 2, y' < 0, hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2).
- Với x > 2, y' > 0, hàm số đồng biến trên khoảng (2; +∞).
- Vẽ đồ thị: Dựa vào các kết quả trên, ta có thể vẽ được đồ thị hàm số y = x3 - 3x2 + 2. Đồ thị hàm số đi qua các điểm quan trọng như (0; 2), (2; -2) và có các điểm cực trị đã tính toán.
- Kết luận: Hàm số y = x3 - 3x2 + 2 có cực đại tại x = 0, giá trị cực đại là 2 và có cực tiểu tại x = 2, giá trị cực tiểu là -2. Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; 0) và (2; +∞), nghịch biến trên khoảng (0; 2).
Các kiến thức liên quan đến bài tập 1.28
Để giải quyết bài tập này, học sinh cần nắm vững các kiến thức sau:
- Định nghĩa đạo hàm và ý nghĩa hình học của đạo hàm.
- Các quy tắc tính đạo hàm của hàm số đa thức.
- Điều kiện cần và đủ để hàm số đạt cực trị.
- Cách xét tính đơn điệu của hàm số dựa vào dấu của đạo hàm.
- Phương pháp vẽ đồ thị hàm số.
Mẹo giải bài tập khảo sát hàm số
Khi giải các bài tập khảo sát hàm số, học sinh nên:
- Thực hiện các bước một cách tuần tự và cẩn thận.
- Kiểm tra lại kết quả tính toán để tránh sai sót.
- Sử dụng các công cụ hỗ trợ như máy tính cầm tay hoặc phần mềm vẽ đồ thị để kiểm tra kết quả.
- Luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức và kỹ năng.
Bài tập tương tự
Để củng cố kiến thức, các em có thể tham khảo thêm các bài tập tương tự sau:
- Bài 1.29 trang 36 SGK Toán 12 tập 1
- Bài 1.30 trang 37 SGK Toán 12 tập 1
- Các bài tập trắc nghiệm về khảo sát hàm số
Kết luận
Bài tập 1.28 trang 36 SGK Toán 12 tập 1 là một bài tập quan trọng giúp học sinh hiểu rõ hơn về phương pháp khảo sát hàm số. Hy vọng với lời giải chi tiết và các kiến thức liên quan được cung cấp, các em sẽ tự tin hơn trong việc giải các bài tập tương tự.
