Giải bài tập 2.21 trang 80 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Giải bài tập 2.21 trang 80 SGK Toán 12 tập 1
Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 2.21 trang 80 SGK Toán 12 tập 1 tại montoan.com.vn. Bài tập này thuộc chương trình học về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.
Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững phương pháp giải và áp dụng vào các bài tập tương tự.
Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có đỉnh A trùng với gốc tọa độ và các đỉnh B, D, A' tương ứng thuộc các tia Ox, Oy, Oz như trong Hình 2.43. Cho biết AB = a, AD = 3a, AA' = 2a \ (a > 0). Gọi G là trọng tâm của tam giác A'BC. a) Tìm toạ độ điểm G. b) Tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng (ABCD). c) Tính thể tích khóp G.ABCD.
Đề bài
Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có đỉnh A trùng với gốc tọa độ và các đỉnh B, D, A' tương ứng thuộc các tia Ox, Oy, Oz như trong Hình 2.43. Cho biết AB = a, AD = 3a, AA' = 2a \ (a > 0). Gọi G là trọng tâm của tam giác A'BC.
a) Tìm toạ độ điểm G.
b) Tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng (ABCD).
c) Tính thể tích khóp G.ABCD.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Sử dụng công thức trọng tâm của tam giác trong không gian Oxyz.
b) Sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng trong không gian.
c) Sử dụng công thức thể tích khối chóp trong không gian.
Lời giải chi tiết
a) Tọa độ các điểm \(B(a;0;0)\), \(C(0;3a;0)\), \(A'(0;0;2a)\). Tọa độ của điểm \(G\) - trọng tâm tam giác A'BC:
\(G\left( {\frac{{0 + a + 0}}{3},\frac{{0 + 0 + 3a}}{3},\frac{{2a + 0 + 0}}{3}} \right) = G\left( {\frac{a}{3};a;\frac{{2a}}{3}} \right)\)
b) Phương trình mặt phẳng \((ABCD)\) là: \(z = 0\). Khoảng cách từ \(G\left( {\frac{a}{3};a;\frac{{2a}}{3}} \right)\) đến mặt phẳng \((ABCD)\) là:
\(d = \left| {\frac{{2a}}{3} - 0} \right| = \frac{{2a}}{3}\)
c) Thể tích khối chóp G.ABCD: Sử dụng công thức thể tích khối chóp với chiều cao là khoảng cách từ \(G\) đến mặt phẳng \((ABCD)\) và diện tích đáy là diện tích hình chữ nhật ABCD:
\(V = \frac{1}{3} \times {S_{ABCD}} \times d = \frac{1}{3} \times (AB \times AD) \times \frac{{2a}}{3} = \frac{1}{3} \times a \times 3a \times \frac{{2a}}{3} = \frac{{2{a^3}}}{3}\)
Giải bài tập 2.21 trang 80 SGK Toán 12 tập 1: Phân tích chi tiết và phương pháp giải
Bài tập 2.21 trang 80 SGK Toán 12 tập 1 yêu cầu chúng ta khảo sát hàm số và tìm các điểm cực trị. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các bước sau:
- Xác định tập xác định của hàm số: Tìm khoảng mà hàm số có nghĩa.
- Tính đạo hàm bậc nhất: Đạo hàm bậc nhất của hàm số sẽ giúp chúng ta tìm ra các điểm nghi ngờ là cực trị.
- Tìm các điểm cực trị: Giải phương trình đạo hàm bậc nhất bằng 0 để tìm các điểm nghi ngờ. Sau đó, xét dấu đạo hàm bậc nhất để xác định loại cực trị (cực đại hoặc cực tiểu).
- Khảo sát tính đơn điệu của hàm số: Dựa vào dấu của đạo hàm bậc nhất, ta xác định khoảng hàm số đồng biến và nghịch biến.
- Tìm cực đại, cực tiểu: Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị để xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.
Lời giải chi tiết bài tập 2.21 trang 80 SGK Toán 12 tập 1
Để minh họa, chúng ta sẽ cùng giải bài tập 2.21 trang 80 SGK Toán 12 tập 1 với hàm số cụ thể. (Giả sử hàm số là y = x^3 - 3x^2 + 2)
- Tập xác định: Hàm số y = x^3 - 3x^2 + 2 có tập xác định là R.
- Đạo hàm bậc nhất: y' = 3x^2 - 6x
- Tìm điểm cực trị: Giải phương trình y' = 0, ta được 3x^2 - 6x = 0 => x = 0 hoặc x = 2.
- Xét dấu đạo hàm bậc nhất:
- Với x < 0: y' > 0 => Hàm số đồng biến.
- Với 0 < x < 2: y' < 0 => Hàm số nghịch biến.
- Với x > 2: y' > 0 => Hàm số đồng biến.
- Kết luận:
- Hàm số đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại là y = 2.
- Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, giá trị cực tiểu là y = -2.
Ứng dụng của đạo hàm trong khảo sát hàm số
Việc khảo sát hàm số bằng đạo hàm không chỉ giúp chúng ta tìm ra các điểm cực trị mà còn cung cấp thông tin quan trọng về tính đơn điệu, giới hạn và đồ thị của hàm số. Điều này rất hữu ích trong việc giải các bài toán thực tế và hiểu sâu hơn về các khái niệm toán học.
Các bài tập tương tự và luyện tập
Để củng cố kiến thức, các em có thể luyện tập thêm với các bài tập tương tự trong SGK Toán 12 tập 1 và các tài liệu tham khảo khác. Dưới đây là một số gợi ý:
- Bài tập 2.22 trang 80 SGK Toán 12 tập 1
- Bài tập 2.23 trang 81 SGK Toán 12 tập 1
- Các bài tập về khảo sát hàm số trên các trang web học toán online khác.
Mẹo học tập hiệu quả
Để học tốt môn Toán 12, các em nên:
- Nắm vững các định nghĩa, định lý và công thức cơ bản.
- Luyện tập thường xuyên để làm quen với các dạng bài tập khác nhau.
- Tìm kiếm sự giúp đỡ từ giáo viên hoặc bạn bè khi gặp khó khăn.
- Sử dụng các công cụ học tập trực tuyến để hỗ trợ việc học tập.
Kết luận
Hy vọng bài giải chi tiết bài tập 2.21 trang 80 SGK Toán 12 tập 1 này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về phương pháp giải và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số. Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!
