Giải bài tập 1.41 trang 47 SGK Toán 12 tập 1

Đề bài

Hàm số \(y = \frac{{{x^3}}}{3} - 3{x^2} + 5x - 2\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. \((5; + \infty )\).

B. \(( - \infty ;1)\).

C. \(( - 2;3)\).

D. \((1;5)\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết Giải bài tập 1.41 trang 47 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá 1

- Tìm đạo hàm của hàm số.

- Giải phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm cực trị

- Xét chiều biến thiên của đồ thị hàm số bằng các chọn một giá trị x bất kỳ nằm trong khoảng đó.

Lời giải chi tiết

Đạo hàm của hàm số: \(y' = {x^2} - 6x + 5\)

Đặt \(y' = 0\), ta có: \({x^2} - 6x + 5 = 0 \Leftrightarrow \{ _{x = 5}^{x = 1}\)

Chọn \(x = 3 \in (1;5)\), ta được: \(y'(3) = {3^2} - 6.3 + 5 = - 4 < 0\)

Vì giá trị âm nên khoảng (1;5) nghịch biến → Chọn D.

Giải bài tập 1.41 trang 47 SGK Toán 12 tập 1: Tổng quan

Bài tập 1.41 trang 47 SGK Toán 12 tập 1 yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm của hàm số để giải quyết một bài toán thực tế liên quan đến việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. Bài toán này thường xuất hiện trong các đề thi Toán THPT Quốc gia, do đó việc nắm vững phương pháp giải là vô cùng quan trọng.

Phân tích đề bài

Trước khi đi vào giải bài tập, chúng ta cần phân tích kỹ đề bài để xác định rõ yêu cầu và các dữ kiện đã cho. Thông thường, đề bài sẽ cung cấp một hàm số và yêu cầu tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của hàm số đó trên một khoảng xác định. Đôi khi, đề bài còn yêu cầu tìm các điểm cực trị của hàm số.

Phương pháp giải

Để giải bài tập 1.41 trang 47 SGK Toán 12 tập 1, chúng ta có thể áp dụng các bước sau:

Tính đạo hàm cấp một của hàm số: Đạo hàm cấp một (f'(x)) cho biết độ dốc của tiếp tuyến tại một điểm bất kỳ trên đồ thị hàm số.
Tìm các điểm cực trị: Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bằng không. Các điểm này có thể là điểm cực đại, điểm cực tiểu hoặc điểm uốn.
Xác định loại điểm cực trị: Sử dụng đạo hàm cấp hai (f''(x)) để xác định loại điểm cực trị. Nếu f''(x) > 0 tại một điểm cực trị, thì đó là điểm cực tiểu. Nếu f''(x) < 0 tại một điểm cực trị, thì đó là điểm cực đại.
Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và các điểm đầu mút của khoảng xác định: So sánh các giá trị này để tìm ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng xác định.

Ví dụ minh họa

Giả sử hàm số cần xét là f(x) = x³ - 3x² + 2 trên khoảng [-1, 3].

Bước 1: Tính đạo hàm cấp một: f'(x) = 3x² - 6x
Bước 2: Tìm các điểm cực trị: Giải phương trình 3x² - 6x = 0, ta được x = 0 và x = 2.
Bước 3: Xác định loại điểm cực trị: f''(x) = 6x - 6. f''(0) = -6 < 0, vậy x = 0 là điểm cực đại. f''(2) = 6 > 0, vậy x = 2 là điểm cực tiểu.
Bước 4: Tính giá trị của hàm số: f(-1) = -6, f(0) = 2, f(2) = -2, f(3) = 2. Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng [-1, 3] là 2 (tại x = 0 và x = 3), và giá trị nhỏ nhất là -6 (tại x = -1).

Lưu ý quan trọng

Khi giải bài tập về đạo hàm, cần chú ý các điểm sau:

Kiểm tra điều kiện xác định của hàm số: Đảm bảo rằng các phép toán đạo hàm được thực hiện trên miền xác định của hàm số.
Sử dụng đúng các công thức đạo hàm: Nắm vững các công thức đạo hàm cơ bản và áp dụng chúng một cách chính xác.
Phân tích kỹ kết quả: Kiểm tra lại kết quả để đảm bảo rằng nó phù hợp với yêu cầu của đề bài và có ý nghĩa thực tế.

Bài tập tương tự

Để củng cố kiến thức, các em có thể tự giải các bài tập tương tự trong SGK Toán 12 tập 1 và các đề thi thử Toán THPT Quốc gia.

Kết luận

Bài tập 1.41 trang 47 SGK Toán 12 tập 1 là một bài tập quan trọng giúp các em rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế. Hy vọng rằng với hướng dẫn chi tiết trên đây, các em sẽ tự tin giải quyết bài tập này và đạt kết quả tốt trong các kỳ thi sắp tới.