Giải bài tập 1.21 trang 34 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Giải bài tập 1.21 trang 34 SGK Toán 12 tập 1
Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 1.21 trang 34 SGK Toán 12 tập 1 tại montoan.com.vn. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12 tập 1, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.
Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau: a) \(y = \frac{{x - 2}}{{2x + 1}}\) b) \(y = \frac{{1 - 2x}}{{2x + 4}}\)
Đề bài
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:
a) \(y = \frac{{x - 2}}{{2x + 1}}\)
b) \(y = \frac{{1 - 2x}}{{2x + 4}}\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Tìm tập xác định của hàm số
- Xét sự biến thiên của hàm số
- Vẽ đồ thị hàm số
Lời giải chi tiết
a)
- Tập xác định: \(D = R\backslash \{ - \frac{1}{2}\} \)
- Sự biến thiên:
Giới hạn, tiệm cận:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x - 2}}{{2x + 1}} = \frac{1}{2}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x - 2}}{{2x + 1}} = \frac{1}{2}\)
Suy ra đường thẳng \({\rm{y}} = \frac{1}{2}\) là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{{ - 1}}{2}}^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{{ - 1}}{2}}^ + }} \frac{{x - 2}}{{2x + 1}} = - \infty \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{{ - 1}}{2}}^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{{ - 1}}{2}}^ - }} \frac{{x - 2}}{{2x + 1}} = \infty \)
Suy ra đường thẳng \({\rm{x}} = \frac{{ - 1}}{2}\) là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho
Ta có: \({y^\prime } = \frac{5}{{{{(2x + 1)}^2}}} > 0\forall x \in R\)
Suy ra hàm số đồng biến trên tập xác định
Bảng biến thiên:
Cực trị: Hàm số không có cực trị
- Vẽ đồ thị
Tiệm cận đứng: \(x = - \frac{1}{2}\) và tiệm cận ngang \(y = \frac{1}{2}\)
Giao với trục Oy tại điểm (0,-2)
Giao với trục Ox tại điểm (2,0)
b)
- Tập xác định: \(D = R\backslash \{ - 2\} \)
- Sự biến thiên:
Giới hạn, tiệm cận:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{1 - 2x}}{{2x + 4}} = - 1\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{1 - 2x}}{{2x + 4}} = - 1\)
Suy ra đường thẳng \({\rm{y}} = - 1\) là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{1 - 2x}}{{2x + 4}} = \infty \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{1 - 2x}}{{2x + 4}} = - \infty \)
Suy ra đường thẳng \({\rm{x}} = - 2\). là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho
Ta có: \({y^\prime } = \frac{{ - 10}}{{{{(2x + 4)}^2}}} < 0\forall x \in R\)
Suy ra hàm số nghịch biến trên tập xác định
Bảng biến thiên:
Cực trị: Hàm số không có cực trị
- Vẽ đồ thị
Tiệm cận đứng: \(x = - 2\) và tiệm cận ngang \(y = - 1\)
Giao với trục Oy tại điểm (0,\(\frac{1}{4}\))
Giao với trục Ox tại điểm (\(\frac{1}{2}\),0)
Giải bài tập 1.21 trang 34 SGK Toán 12 tập 1: Phân tích chi tiết và hướng dẫn giải
Bài tập 1.21 trang 34 SGK Toán 12 tập 1 yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm của hàm số để giải quyết một bài toán thực tế liên quan đến tốc độ thay đổi của một đại lượng. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các khái niệm và công thức đạo hàm cơ bản, cũng như kỹ năng phân tích và giải quyết bài toán.
Nội dung bài tập 1.21 trang 34 SGK Toán 12 tập 1
Bài tập thường mô tả một tình huống thực tế, ví dụ như sự thay đổi của nhiệt độ, vận tốc, hoặc sản lượng. Học sinh cần xác định hàm số mô tả đại lượng đó và tính đạo hàm của hàm số để tìm ra tốc độ thay đổi của đại lượng tại một thời điểm cụ thể.
Các bước giải bài tập 1.21 trang 34 SGK Toán 12 tập 1
- Bước 1: Đọc kỹ đề bài và xác định hàm số: Xác định rõ đại lượng cần tìm đạo hàm và hàm số mô tả đại lượng đó.
- Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số: Sử dụng các quy tắc đạo hàm đã học để tính đạo hàm của hàm số.
- Bước 3: Thay giá trị vào đạo hàm: Thay giá trị của biến số vào đạo hàm để tìm ra tốc độ thay đổi của đại lượng tại thời điểm cụ thể.
- Bước 4: Kiểm tra kết quả: Đảm bảo rằng kết quả tìm được phù hợp với ngữ cảnh của bài toán và có đơn vị đo phù hợp.
Ví dụ minh họa giải bài tập 1.21 trang 34 SGK Toán 12 tập 1
Giả sử bài tập yêu cầu tính vận tốc của một vật tại thời điểm t, biết rằng quãng đường vật đi được là s(t) = t2 + 2t + 1. Ta thực hiện các bước sau:
- Bước 1: Hàm số mô tả quãng đường là s(t) = t2 + 2t + 1.
- Bước 2: Đạo hàm của s(t) là v(t) = s'(t) = 2t + 2.
- Bước 3: Thay t = 3 vào v(t), ta được v(3) = 2(3) + 2 = 8.
- Bước 4: Vậy vận tốc của vật tại thời điểm t = 3 là 8 đơn vị quãng đường/thời gian.
Các dạng bài tập thường gặp trong bài tập 1.21 trang 34 SGK Toán 12 tập 1
- Bài tập về tốc độ thay đổi của nhiệt độ.
- Bài tập về tốc độ thay đổi của sản lượng.
- Bài tập về tốc độ thay đổi của vận tốc.
- Bài tập về tốc độ thay đổi của chi phí.
Mẹo giải bài tập 1.21 trang 34 SGK Toán 12 tập 1 hiệu quả
- Nắm vững các quy tắc đạo hàm cơ bản.
- Luyện tập giải nhiều bài tập tương tự để làm quen với các dạng bài.
- Đọc kỹ đề bài và xác định rõ đại lượng cần tìm đạo hàm.
- Kiểm tra kết quả để đảm bảo tính chính xác.
Tài liệu tham khảo hữu ích
Ngoài SGK Toán 12 tập 1, các em có thể tham khảo thêm các tài liệu sau để nâng cao kiến thức và kỹ năng giải bài tập:
- Sách bài tập Toán 12 tập 1.
- Các trang web học Toán online uy tín như montoan.com.vn.
- Các video bài giảng Toán 12 tập 1 trên YouTube.
Kết luận
Bài tập 1.21 trang 34 SGK Toán 12 tập 1 là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế. Hy vọng với hướng dẫn chi tiết và các ví dụ minh họa trên, các em sẽ tự tin giải bài tập này một cách hiệu quả.
