Giải bài tập 5.35 trang 84 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Giải bài tập 5.35 trang 84 SGK Toán 12 tập 2
Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 5.35 trang 84 SGK Toán 12 tập 2 tại montoan.com.vn. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12, tập trung vào kiến thức về số phức và các phép toán liên quan.
Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững phương pháp giải và áp dụng vào các bài tập tương tự.
Cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(−2; 1; −1). Tìm góc giữa: a) Hai mặt phẳng (ABC) và (BCD); b) Hai đường thẳng AB và CD; c) Đường thẳng AB và mặt phẳng (BCD).
Đề bài
Cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(−2; 1; −1). Tìm góc giữa:
a) Hai mặt phẳng (ABC) và (BCD);
b) Hai đường thẳng AB và CD;
c) Đường thẳng AB và mặt phẳng (BCD).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Công thức góc giữa hai mặt phẳng:
\(\cos \theta = \frac{{|\overrightarrow {{{\bf{n}}_{ABC}}} \cdot \overrightarrow {{{\bf{n}}_{BCD}}} |}}{{|\overrightarrow {{{\bf{n}}_{ABC}}} ||\overrightarrow {{{\bf{n}}_{BCD}}} |}}\)
- Công thức góc giữa hai đường thẳng:
\(\cos \theta = \frac{{|\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CD} |}}{{|\overrightarrow {AB} ||\overrightarrow {CD} |}}\)
- Công thức góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
\(\cos \theta = \frac{{|\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {{{\bf{n}}_{BCD}}} |}}{{|\overrightarrow {AB} ||\overrightarrow {{{\bf{n}}_{BCD}}} |}}\)
Lời giải chi tiết
a)
- Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) được tính bằng tích chéo của hai vectơ trong mặt phẳng:
\(\overrightarrow {AB} = B - A = (0 - 1,1 - 0,0 - 0) = ( - 1,1,0)\)
\(\overrightarrow {AC} = C - A = (0 - 1,0 - 0,1 - 0) = ( - 1,0,1)\)
Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là:
\(\overrightarrow {{{\bf{n}}_{ABC}}} = \overrightarrow {AB} \times \overrightarrow {AC} = (1.1 - 0.0,\,\,\,0.( - 1) - ( - 1).1,\,\,\,( - 1).0 - 1.( - 1)) = (1,1,1)\)
- Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (BCD) được tính bằng tích chéo của hai vectơ trong mặt phẳng:
\(\overrightarrow {BC} = C - B = (0 - 0,0 - 1,1 - 0) = (0, - 1,1)\)
\(\overrightarrow {BD} = D - B = ( - 2 - 0,1 - 1, - 1 - 0) = ( - 2,0, - 1)\)
Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (BCD) là:
\(\overrightarrow {{{\bf{n}}_{BCD}}} = \overrightarrow {BC} \times \overrightarrow {BD} = (( - 1).( - 1) - 1.0,1.( - 2) - 0.( - 1),0.0 - ( - 1).( - 2)) = (1, - 2, - 2)\)
- Tính tích vô hướng giữa hai vectơ pháp tuyến:
\(\overrightarrow {{{\bf{n}}_{ABC}}} \cdot \overrightarrow {{{\bf{n}}_{BCD}}} = (1,1,1) \cdot (1, - 2, - 2) = 1 \times 1 + 1 \times ( - 2) + 1 \times ( - 2) = - 3\)
- Tính độ dài của các vectơ pháp tuyến:
\(|{{\bf{n}}_{ABC}}| = \sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} = \sqrt 3 ,\quad |{{\bf{n}}_{BCD}}| = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} = \sqrt 9 = 3\)
- Tính góc giữa hai mặt phẳng:
\(\cos \theta = \frac{{| - 3|}}{{\sqrt 3 \times 3}} = \frac{3}{{3\sqrt 3 }}\quad \Rightarrow \quad \theta = {\cos ^{ - 1}}\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)\)
b)
- Vecto chỉ phương của đường thẳng AB là:
\(\overrightarrow {AB} = ( - 1,1,0)\)
- Vecto chỉ phương của đường thẳng CD là:
\(\overrightarrow {CD} = D - C = ( - 2 - 0,1 - 0, - 1 - 1) = ( - 2,1, - 2)\)
- Tính tích vô hướng giữa hai vectơ chỉ phương:
\(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CD} = ( - 1,1,0) \cdot ( - 2,1, - 2) = ( - 1 \times - 2) + (1 \times 1) + (0 \times - 2) = 2 + 1 = 3\)
- Tính độ dài của các vectơ chỉ phương:
\(|\overrightarrow {AB} | = \sqrt {{{( - 1)}^2} + {1^2} + {0^2}} = \sqrt 2 ,\quad |\overrightarrow {CD} | = \sqrt {{{( - 2)}^2} + {1^2} + {{( - 2)}^2}} = \sqrt 9 = 3\)
- Tính góc giữa hai đường thẳng:
\(\cos \theta = \frac{3}{{\sqrt 2 \times 3}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\quad \Rightarrow \quad \theta = {\cos ^{ - 1}}\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) = {45^\circ }\)
c)
- Tính tích vô hướng giữa vectơ chỉ phương của đường thẳng AB và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (BCD):
\(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {{{\bf{n}}_{BCD}}} = ( - 1,1,0) \cdot (1, - 2, - 2) = - 1 \times 1 + 1 \times ( - 2) + 0 \times ( - 2) = - 3\)
- Tính độ dài của các vectơ:
\(|\overrightarrow {AB} | = \sqrt 2 ,\quad |{{\bf{n}}_{BCD}}| = 3\)
- Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
\(\cos \theta = \frac{3}{{\sqrt 2 \times 3}} = \frac{3}{{3\sqrt 2 }}\quad \Rightarrow \quad \theta = {\cos ^{ - 1}}\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) = 45^\circ \)
Giải bài tập 5.35 trang 84 SGK Toán 12 tập 2: Phân tích chi tiết và hướng dẫn giải
Bài tập 5.35 trang 84 SGK Toán 12 tập 2 yêu cầu chúng ta tìm số phức z thỏa mãn một điều kiện nhất định. Để giải bài tập này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức cơ bản về số phức, bao gồm:
- Định nghĩa số phức: Một số phức có dạng z = a + bi, trong đó a là phần thực và b là phần ảo.
- Các phép toán trên số phức: Cộng, trừ, nhân, chia số phức.
- Module của số phức: |z| = √(a² + b²).
- Số phức liên hợp: z̄ = a - bi.
Đề bài: Tìm số phức z thỏa mãn |z - (2 + i)| = √5 và phần thực của z bằng 1.
Hướng dẫn giải chi tiết
Bước 1: Đặt số phức z
Vì phần thực của z bằng 1, ta có thể viết z = 1 + bi, với b là phần ảo của z.
Bước 2: Thay z vào phương trình đã cho
Thay z = 1 + bi vào phương trình |z - (2 + i)| = √5, ta được:
| (1 + bi) - (2 + i) | = √5
| -1 + (b - 1)i | = √5
Bước 3: Tính module của số phức
Áp dụng công thức tính module của số phức, ta có:
√((-1)² + (b - 1)²) = √5
√(1 + (b - 1)²) = √5
Bước 4: Giải phương trình tìm b
Bình phương hai vế của phương trình, ta được:
1 + (b - 1)² = 5
(b - 1)² = 4
Lấy căn bậc hai hai vế, ta được:
b - 1 = ±2
Trường hợp 1: b - 1 = 2 => b = 3
Trường hợp 2: b - 1 = -2 => b = -1
Bước 5: Kết luận
Vậy, có hai số phức z thỏa mãn điều kiện đề bài là:
- z = 1 + 3i
- z = 1 - i
Ví dụ minh họa và bài tập tương tự
Để hiểu rõ hơn về cách giải bài tập này, chúng ta hãy xem xét một ví dụ minh họa:
Tìm số phức z thỏa mãn |z + 1| = 2 và phần ảo của z bằng 1.
Giải:
Đặt z = a + i, với a là phần thực của z.
Thay z vào phương trình đã cho, ta được:
| (a + i) + 1 | = 2
| (a + 1) + i | = 2
√( (a + 1)² + 1²) = 2
(a + 1)² + 1 = 4
(a + 1)² = 3
a + 1 = ±√3
a = -1 ± √3
Vậy, có hai số phức z thỏa mãn điều kiện đề bài là:
- z = -1 + √3 + i
- z = -1 - √3 + i
Lưu ý quan trọng khi giải bài tập về số phức
- Luôn kiểm tra lại các phép toán, đặc biệt là phép nhân và chia số phức.
- Sử dụng công thức tính module của số phức một cách chính xác.
- Chú ý đến điều kiện của bài toán để tìm ra các nghiệm phù hợp.
Hy vọng bài giải chi tiết này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về cách giải bài tập 5.35 trang 84 SGK Toán 12 tập 2. Chúc các em học tập tốt!
