Giải bài tập 1.26 trang 36 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Giải bài tập 1.26 trang 36 SGK Toán 12 tập 1
Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 1.26 trang 36 SGK Toán 12 tập 1 tại montoan.com.vn. Bài tập này thuộc chương trình học về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.
Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán hiệu quả.
Người ta cần thiết kế một cái lon có dạng hình trụ có thể tích là 1 lít (Hình 1.41). Tính tỉ lệ chiều cao và bán kính đáy hình trụ này để tổng chi phí làm vỏ lon (bao gồm cả hai đáy) là nhỏ nhất.
Đề bài
Người ta cần thiết kế một cái lon có dạng hình trụ có thể tích là 1 lít (Hình 1.41). Tính tỉ lệ chiều cao và bán kính đáy hình trụ này để tổng chi phí làm vỏ lon (bao gồm cả hai đáy) là nhỏ nhất.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Đặt bán kính đáy là 𝑟 và chiều cao là ℎ của hình trụ.
- Tính diện tích toàn phần của hình trụ dựa trên bán kính và chiều cao.
- Viết hàm chi phí cần tối ưu và điều kiện ràng buộc.
- Khảo sát hàm chi phí để tìm giá trị tối ưu.
Lời giải chi tiết
Gọi bán kính đáy là 𝑟 (𝑟 >0) và chiều cao là ℎ (ℎ>0) của hình trụ.
Thể tích hình trụ: \(V = \pi {r^2}h = 1000(c{m^3})\)
Diện tích xung quanh của hình trụ là: \({A_{xq}} = 2\pi rh\)
Diện tích của hai đáy là: \({A_{2đáy}} = 2\pi {r^2}\)
Tổng diện tích bề mặt: \(A = {A_{xq}} + {A_{2d\'a y}} = 2\pi rh + 2\pi {r^2} = 2\pi r.\frac{{1000}}{{\pi {r^2}}} + 2\pi {r^2} = \frac{{2000}}{r} + 2\pi {r^2}\)
Tìm giá trị cực trị: \(f(r) = \frac{{2000}}{r} + 2\pi {r^2}\)
- Tính đạo hàm: \(f'(r) = - \frac{{2000}}{{{r^2}}} + 4\pi r\)
- Cho đạo hàm bằng 0: \( - \frac{{2000}}{{{r^2}}} + 4\pi r = 0 \Rightarrow 4\pi r = \frac{{2000}}{{{r^2}}} \Rightarrow {r^3} = \frac{{2000}}{{4\pi }} = \frac{{500}}{\pi } \Rightarrow r \simeq 5,42(cm)\)
Bảng biến thiên:
Nhận thấy f(r) đạt giá trị nhỏ nhất tại r ≈ 5,42
Vậy để tổng chi phí làm vỏ lon nhỏ nhất thì:
- Bán kính đáy của hình trụ: r ≈ 5,42 cm
- Chiều cao của hình trụ: \(h = \frac{{1000}}{{\pi {r^2}}} = \frac{{1000}}{{3,14.{{(5,42)}^2}}} \approx 10,84\)cm
- Tỉ lệ chiều cao và bán kính: \(\frac{h}{r} \approx \frac{{10,84}}{{5,42}} \approx 2\)
Giải bài tập 1.26 trang 36 SGK Toán 12 tập 1: Phân tích chi tiết và phương pháp giải
Bài tập 1.26 trang 36 SGK Toán 12 tập 1 yêu cầu chúng ta khảo sát hàm số và tìm các điểm cực trị. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các bước sau:
- Xác định tập xác định của hàm số: Tìm khoảng mà hàm số có nghĩa.
- Tính đạo hàm bậc nhất: Đạo hàm bậc nhất của hàm số sẽ giúp chúng ta tìm ra các điểm nghi ngờ là cực trị.
- Tìm các điểm cực trị: Giải phương trình đạo hàm bậc nhất bằng 0 để tìm các điểm nghi ngờ. Sau đó, xét dấu đạo hàm bậc nhất để xác định loại cực trị (cực đại hoặc cực tiểu).
- Khảo sát tính đơn điệu của hàm số: Dựa vào dấu của đạo hàm bậc nhất, ta xác định khoảng hàm số đồng biến và nghịch biến.
- Tìm cực trị: Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị.
- Vẽ đồ thị hàm số: Sử dụng các thông tin đã tìm được để vẽ đồ thị hàm số.
Lời giải chi tiết bài tập 1.26 trang 36 SGK Toán 12 tập 1
Để minh họa, chúng ta sẽ cùng nhau giải bài tập 1.26 trang 36 SGK Toán 12 tập 1 với một hàm số cụ thể. Giả sử hàm số là:
y = x3 - 3x2 + 2
- Tập xác định: Hàm số xác định trên R.
- Đạo hàm bậc nhất:y' = 3x2 - 6x
- Tìm điểm cực trị: Giải phương trình 3x2 - 6x = 0, ta được x = 0 hoặc x = 2.
- Xét dấu đạo hàm bậc nhất:
- Khi x < 0, y' > 0, hàm số đồng biến.
- Khi 0 < x < 2, y' < 0, hàm số nghịch biến.
- Khi x > 2, y' > 0, hàm số đồng biến.
- Kết luận:
- Hàm số đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại là y = 2.
- Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, giá trị cực tiểu là y = -2.
Ứng dụng của đạo hàm trong giải bài tập
Đạo hàm là một công cụ mạnh mẽ trong việc giải các bài tập liên quan đến khảo sát hàm số. Nó giúp chúng ta:
- Tìm các điểm cực trị của hàm số.
- Xác định khoảng hàm số đồng biến và nghịch biến.
- Vẽ đồ thị hàm số một cách chính xác.
- Giải các bài toán tối ưu hóa.
Mẹo giải bài tập đạo hàm hiệu quả
Để giải các bài tập về đạo hàm một cách hiệu quả, bạn nên:
- Nắm vững các công thức đạo hàm cơ bản.
- Luyện tập thường xuyên để làm quen với các dạng bài tập khác nhau.
- Sử dụng các công cụ hỗ trợ như máy tính bỏ túi hoặc phần mềm giải toán.
- Kiểm tra lại kết quả sau khi giải xong.
Bài tập tương tự để luyện tập
Để củng cố kiến thức, bạn có thể thử giải các bài tập tương tự sau:
- Bài tập 1.27 trang 36 SGK Toán 12 tập 1
- Bài tập 1.28 trang 36 SGK Toán 12 tập 1
- Các bài tập khác trong chương trình học về đạo hàm.
Kết luận
Hy vọng bài giải chi tiết bài tập 1.26 trang 36 SGK Toán 12 tập 1 này đã giúp các em hiểu rõ hơn về cách giải các bài tập về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số. Chúc các em học tập tốt!
