THCS
THCS
Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 5.41 trang 85 SGK Toán 12 tập 2 tại montoan.com.vn. Bài tập này thuộc chương trình học về số phức và các phép toán liên quan.
Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán.
Hãy cùng khám phá lời giải ngay sau đây!
Một sân hình chữ nhật ABCD có chiều dài AD = 20 m, chiều rộng AB = 15 m. Người ta đặt một camera ở độ cao 5 m trên một cây cột vuông góc với mặt sân tại A, biết camera có bán kính quan sát là 25 m. Xét hệ trục toạ độ Oxyz với gốc toạ độ O trùng với điểm A chân cột, các tia Ox, Oy lần lượt chứa các cạnh AB, AD của sân và tia Oz chứa cây cột.
Đề bài
Một sân hình chữ nhật ABCD có chiều dài AD = 20 m, chiều rộng AB = 15 m. Người ta đặt một camera ở độ cao 5 m trên một cây cột vuông góc với mặt sân tại A, biết camera có bán kính quan sát là 25 m. Xét hệ trục toạ độ Oxyz với gốc toạ độ O trùng với điểm A chân cột, các tia Ox, Oy lần lượt chứa các cạnh AB, AD của sân và tia Oz chứa cây cột.
a) Viết phương trình mặt cầu mô tả ranh giới bên ngoài và bên trong của vùng quan sát được.
b) Hỏi camera có thể quan sát toàn bộ sân hay không? Vì sao?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Xác định toạ độ các đỉnh của sân hình chữ nhật và của camera
- Lập phương trình mặt cầu:
Sử dụng công thức phương trình mặt cầu với tâm \(I({x_0},{y_0},{z_0})\) và bán kính R:
\({(x - {x_0})^2} + {(y - {y_0})^2} + {(z - {z_0})^2} = {R^2}\)
- Xác định tọa độ các đỉnh của sân và kiểm tra xem chúng có nằm trong phạm vi vùng quan sát của camera hay không.
- Một điểm \(M(x,y,z)\) nằm trong vùng quan sát nếu khoảng cách từ M đến I nhỏ hơn hoặc bằng R.
Lời giải chi tiết
a) Viết phương trình mặt cầu mô tả vùng quan sát
- Các điểm của sân: \(A(0;0;0)\), \(B(15;0;0)\), \(D(0;20;0)\), \(C(15;20;0)\)
- Camera đặt tại điểm \(I(0,0,5)\), độ cao \(z = 5\) m trên mặt sân tại điểm A.
- Bán kính quan sát của camera là \(R = 25\) m.
Lập phương trình mặt cầu:
- Sử dụng công thức phương trình mặt cầu với tâm \(I(0,0,5)\) và bán kính \(R = 25\):
\({(x - 0)^2} + {(y - 0)^2} + {(z - 5)^2} = {25^2}\)
\({x^2} + {y^2} + {(z - 5)^2} = 625\)
- Đây là phương trình mặt cầu mô tả ranh giới vùng quan sát của camera.
b) Kiểm tra khả năng quan sát toàn bộ sân
* Tính khoảng cách từ các đỉnh của sân đến camera:
- Khoảng cách từ I đến A:
\(IA = \sqrt {{{(0 - 0)}^2} + {{(0 - 0)}^2} + {{(5 - 0)}^2}} = 5{\mkern 1mu} {\rm{m}}\)
- Khoảng cách từ I đến B:
\(IB = \sqrt {{{(15 - 0)}^2} + {{(0 - 0)}^2} + {{(0 - 5)}^2}} = \sqrt {225 + 25} = \sqrt {250} \approx 15.81{\mkern 1mu} {\rm{m}}\)
- Khoảng cách từ I đến D:
\(ID = \sqrt {{{(0 - 0)}^2} + {{(20 - 0)}^2} + {{(0 - 5)}^2}} = \sqrt {400 + 25} = \sqrt {425} \approx 20.62{\mkern 1mu} {\rm{m}}\)
- Khoảng cách từ I đến C:
\(IC = \sqrt {{{(15 - 0)}^2} + {{(20 - 0)}^2} + {{(0 - 5)}^2}} = \sqrt {225 + 400 + 25} = \sqrt {650} \approx 25.5{\mkern 1mu} {\rm{m}}\)
- Camera có thể quan sát được toàn bộ sân nếu tất cả các đỉnh đều nằm trong bán kính quan sát. Ta thấy rằng khoảng cách \(IC \approx 25.5{\mkern 1mu} {\rm{m}} > 25{\mkern 1mu} {\rm{m}}\). Do đó, điểm C nằm ngoài phạm vi quan sát của camera.
Bài tập 5.41 trang 85 SGK Toán 12 tập 2 yêu cầu tìm số phức z thỏa mãn một phương trình hoặc hệ phương trình liên quan đến số phức. Để giải bài tập này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức cơ bản về số phức, bao gồm:
Tùy thuộc vào dạng bài cụ thể, phương pháp giải có thể khác nhau. Dưới đây là một số phương pháp thường được sử dụng:
Bài toán: Tìm số phức z thỏa mãn |z - (2 + i)| = 3.
Giải:
Đặt z = x + yi, với x, y là các số thực.
Khi đó, |z - (2 + i)| = |(x - 2) + (y - 1)i| = √((x - 2)2 + (y - 1)2).
Theo đề bài, √((x - 2)2 + (y - 1)2) = 3.
Suy ra, (x - 2)2 + (y - 1)2 = 9.
Đây là phương trình đường tròn trong mặt phẳng phức với tâm I(2, 1) và bán kính R = 3.
Vậy, tập hợp các số phức z thỏa mãn phương trình là đường tròn (x - 2)2 + (y - 1)2 = 9.
Số phức là một khái niệm quan trọng trong toán học và có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau như vật lý, kỹ thuật điện, xử lý tín hiệu,... Việc hiểu rõ về số phức sẽ giúp các em giải quyết các bài toán phức tạp hơn và mở rộng kiến thức trong các lĩnh vực liên quan.
Hy vọng với bài giải chi tiết này, các em học sinh đã nắm vững phương pháp giải bài tập 5.41 trang 85 SGK Toán 12 tập 2. Chúc các em học tập tốt!
