Chương 4. Nguyên hàm. Tích phân

Chương 4: Nguyên hàm và Tích phân - Nền tảng Toán học 12

Chào mừng bạn đến với chương 4 của bộ sách Giải Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá! Chương này tập trung vào hai khái niệm quan trọng bậc nhất trong giải tích: Nguyên hàm và Tích phân. Đây là những kiến thức nền tảng, không chỉ cần thiết cho kỳ thi THPT Quốc gia mà còn là bước đệm vững chắc cho các môn học liên quan đến khoa học kỹ thuật.

Tại montoan.com.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho tất cả các bài tập trong chương này, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết mọi bài toán.

Chương 4: Nguyên hàm và Tích phân - Tổng quan

Chương 4 của SGK Toán 12 tập 2, Cùng khám phá, đi sâu vào nghiên cứu về nguyên hàm và tích phân, hai khái niệm đối nghịch nhưng lại liên quan mật thiết với nhau. Nguyên hàm là phép toán ngược của phép vi phân, trong khi tích phân là phép toán tính diện tích dưới đường cong. Việc hiểu rõ hai khái niệm này là vô cùng quan trọng để giải quyết các bài toán thực tế trong nhiều lĩnh vực khác nhau.

I. Nguyên hàm

Nguyên hàm của một hàm số f(x) là một hàm số F(x) sao cho đạo hàm của F(x) bằng f(x), tức là F'(x) = f(x). Việc tìm nguyên hàm được gọi là phép tính tích phân bất định. Một hàm số f(x) có vô số nguyên hàm, khác nhau bởi một hằng số cộng.

Định nghĩa: Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a, b) nếu F'(x) = f(x) với mọi x thuộc (a, b).
Tính chất:
- Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x), với C là một hằng số bất kỳ.
- Nguyên hàm của một tổng (hiệu) bằng tổng (hiệu) các nguyên hàm.
Các nguyên hàm cơ bản:
Hàm số f(x) Nguyên hàm F(x)
xⁿ (n ≠ -1) (xⁿ⁺¹)/(n+1) + C
1/x ln|x| + C
e^x e^x + C
sin x -cos x + C
cos x sin x + C

Hàm số f(x)	Nguyên hàm F(x)
xⁿ (n ≠ -1)	(xⁿ⁺¹)/(n+1) + C
1/x	ln\|x\| + C
e^x	e^x + C
sin x	-cos x + C
cos x	sin x + C

II. Tích phân bất định

Tích phân bất định của hàm số f(x) ký hiệu là ∫f(x)dx, là tập hợp tất cả các nguyên hàm của f(x).

Ví dụ: ∫x²dx = (x³)/3 + C

III. Tích phân xác định

Tích phân xác định của hàm số f(x) trên đoạn [a, b] ký hiệu là ∫_a^bf(x)dx, là một số thực bằng hiệu giữa giá trị của một nguyên hàm F(x) tại b và tại a, tức là F(b) - F(a). Tích phân xác định biểu diễn diện tích có dấu giữa đồ thị hàm số f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b.

Định lý cơ bản của tích phân: Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì ∫_a^bf(x)dx = F(b) - F(a).

IV. Ứng dụng của tích phân

Tích phân có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:

Tính diện tích: Tính diện tích của các hình phẳng giới hạn bởi các đường cong.
Tính thể tích: Tính thể tích của các vật thể tròn xoay.
Tính độ dài đường cong: Tính độ dài của một đường cong.
Tính công: Tính công thực hiện bởi một lực.

V. Bài tập minh họa

Bài 1: Tính ∫(2x + 1)dx

Lời giải: ∫(2x + 1)dx = ∫2xdx + ∫1dx = 2∫xdx + ∫dx = 2(x²/2) + x + C = x² + x + C

Bài 2: Tính ∫₀¹x²dx

Lời giải: ∫₀¹x²dx = [(x³)/3]₀¹ = (1³)/3 - (0³)/3 = 1/3

Kết luận

Chương 4 về Nguyên hàm và Tích phân là một phần quan trọng của chương trình Toán 12. Việc nắm vững kiến thức và kỹ năng trong chương này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán một cách hiệu quả và tự tin. montoan.com.vn hy vọng rằng với những lời giải chi tiết và bài giảng dễ hiểu, bạn sẽ đạt được kết quả tốt nhất trong học tập.