THCS
THCS
Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 4.7 trang 10 SGK Toán 12 tập 2 tại montoan.com.vn. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12, tập trung vào kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.
montoan.com.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập một cách hiệu quả. Chúng tôi luôn cập nhật những bài giải mới nhất và chính xác nhất để hỗ trợ các em trong quá trình học tập.
Tìm: a) \(\int {{4^{\frac{x}{2}}}} {\mkern 1mu} dx\) b) \(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}} {\mkern 1mu} dx\) c) \(\int {{e^x}} \left( {2 + \frac{{{e^{ - x}}}}{{3{{\cos }^2}x}}} \right)dx\)
Đề bài
Tìm:
a) \(\int {{4^{\frac{x}{2}}}} {\mkern 1mu} dx\)
b) \(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}} {\mkern 1mu} dx\)
c) \(\int {{e^x}} \left( {2 + \frac{{{e^{ - x}}}}{{3{{\cos }^2}x}}} \right)dx\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng các phương pháp tích phân từng phần, đổi biến và áp dụng các công thức tích phân cơ bản.
Lời giải chi tiết
a) Để tính \(\int {{4^{\frac{x}{2}}}} {\mkern 1mu} dx\), ta sử dụng phép đổi biến \({4^{\frac{x}{2}}} = {\left( {{2^2}} \right)^{\frac{x}{2}}} = {2^x}\), do đó:
\(\int {{4^{\frac{x}{2}}}} {\mkern 1mu} dx = \int {{2^x}du} = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C\)
b) Tích phân \(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}} {\mkern 1mu} dx\) có thể được viết lại dưới dạng:
\(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}} {\mkern 1mu} dx = \int {\frac{1}{{{{\left( {\sin x\cos x} \right)}^2}}}dx = \int {\frac{4}{{{{\sin }^2}2x}}} } dx\)
Đặt \(u = 2x\) suy ra \(du = 2dx\), do đó:
\(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}} {\mkern 1mu} dx = 2\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}u}}} du = - 2\cot u + C = - 2\cot 2x + C\)
c) Tích phân \(\int {{e^x}} \left( {2 + \frac{{{e^{ - x}}}}{{3{{\cos }^2}x}}} \right)dx\) có thể được tách ra thành hai tích phân riêng:
\(\int {{e^x}} \left( {2 + \frac{{{e^{ - x}}}}{{3{{\cos }^2}x}}} \right)dx = 2\int {{e^x}} dx + \frac{1}{3}\int {\frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}}} \)
Tính từng tích phân:
\(2\int {{e^x}} dx = 2{e^x} + {C_1},\quad \frac{1}{3}\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} x{\mkern 1mu} dx = \frac{1}{3}\tan x + {C_2}\)
Vậy kết quả là:
\(\int {{e^x}} \left( {2 + \frac{{{e^{ - x}}}}{{3{{\cos }^2}x}}} \right)dx = 2{e^x} + \frac{1}{3}\tan x + C\)
Bài tập 4.7 trang 10 SGK Toán 12 tập 2 yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để khảo sát hàm số. Cụ thể, bài tập thường liên quan đến việc tìm đạo hàm, xét dấu đạo hàm để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị của hàm số, và vẽ đồ thị hàm số.
Để bắt đầu, chúng ta cùng xem lại đề bài chính xác của bài tập 4.7 trang 10 SGK Toán 12 tập 2. (Nội dung đề bài sẽ được chèn vào đây - ví dụ: Khảo sát hàm số y = x^3 - 3x^2 + 2)
Để giải quyết bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần tuân theo các bước sau:
Bước 1: Xác định tập xác định
Tập xác định của hàm số y = x^3 - 3x^2 + 2 là D = R (tập hợp tất cả các số thực).
Bước 2: Tính đạo hàm cấp nhấty' = 3x^2 - 6x
Bước 3: Tìm điểm tới hạnGiải phương trình 3x^2 - 6x = 0, ta được x = 0 hoặc x = 2.
Bước 4: Xét dấu đạo hàm cấp nhấtLập bảng xét dấu đạo hàm cấp nhất:
| x | -∞ | 0 | 2 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| y' | + | - | + | |
| Hàm số | Đồng biến | Nghịch biến | Đồng biến |
Hàm số đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại là y(0) = 2.
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, giá trị cực tiểu là y(2) = -2.
Bước 6: Tính đạo hàm cấp haiy'' = 6x - 6
Bước 7: Tìm điểm uốnGiải phương trình 6x - 6 = 0, ta được x = 1.
Bước 8: Vẽ đồ thị hàm sốDựa vào các thông tin đã thu thập được, ta có thể vẽ đồ thị hàm số y = x^3 - 3x^2 + 2. (Đồ thị hàm số sẽ được chèn vào đây)
Để củng cố kiến thức, các em có thể thử giải các bài tập tương tự sau:
Bài tập 4.7 trang 10 SGK Toán 12 tập 2 là một bài tập điển hình về khảo sát hàm số bằng đạo hàm. Việc nắm vững phương pháp giải bài tập này sẽ giúp các em tự tin hơn trong việc giải quyết các bài tập tương tự và hiểu sâu hơn về kiến thức Toán 12.
