Bài 1. Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

Bài 1. Tính đơn điệu và cực trị của hàm số - SGK Toán 12

Bài 1 trong chương 1 Toán 12 tập 1 tập trung vào việc nghiên cứu tính đơn điệu và cực trị của hàm số, sử dụng đạo hàm để phân tích và xác định các khoảng tăng, giảm, cực đại, cực tiểu của hàm số. Đây là một phần quan trọng trong việc khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số, giúp ta hiểu rõ hơn về hành vi của hàm số trên từng khoảng xác định.

I. Khái niệm về tính đơn điệu của hàm số

Một hàm số được gọi là đồng biến trên một khoảng nếu giá trị của hàm số tăng lên khi biến số tăng lên. Ngược lại, một hàm số được gọi là nghịch biến trên một khoảng nếu giá trị của hàm số giảm xuống khi biến số tăng lên. Để xác định tính đơn điệu của hàm số, ta sử dụng đạo hàm của hàm số:

• Nếu f'(x) > 0 trên một khoảng, hàm số đồng biến trên khoảng đó.
• Nếu f'(x) < 0 trên một khoảng, hàm số nghịch biến trên khoảng đó.

II. Khái niệm về cực trị của hàm số

Cực đại và cực tiểu của hàm số là các điểm mà tại đó hàm số đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất trong một lân cận nào đó. Để tìm cực trị của hàm số, ta thực hiện các bước sau:

1. Tính đạo hàm f'(x).
2. Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm dừng.
3. Xét dấu của f'(x) trong các khoảng xác định bởi các điểm dừng.
4. Nếu f'(x) đổi dấu từ dương sang âm tại một điểm dừng x₀, thì x₀ là điểm cực đại và f(x₀) là giá trị cực đại.
5. Nếu f'(x) đổi dấu từ âm sang dương tại một điểm dừng x₀, thì x₀ là điểm cực tiểu và f(x₀) là giá trị cực tiểu.

III. Ứng dụng của tính đơn điệu và cực trị trong việc vẽ đồ thị hàm số

Tính đơn điệu và cực trị của hàm số đóng vai trò quan trọng trong việc vẽ đồ thị hàm số. Bằng cách xác định các khoảng tăng, giảm, cực đại, cực tiểu, ta có thể phác thảo được hình dạng tổng quát của đồ thị hàm số. Ngoài ra, ta còn cần xác định các điểm cắt trục, tiệm cận và giới hạn của hàm số để vẽ đồ thị một cách chính xác.

IV. Ví dụ minh họa

Xét hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2. Ta thực hiện các bước sau để khảo sát hàm số:

1. Tính đạo hàm: f'(x) = 3x² - 6x.
2. Giải phương trình f'(x) = 0: 3x² - 6x = 0 => x = 0 hoặc x = 2.
3. Xét dấu của f'(x):
• Trên khoảng (-∞, 0), f'(x) > 0 => hàm số đồng biến.
• Trên khoảng (0, 2), f'(x) < 0 => hàm số nghịch biến.
• Trên khoảng (2, +∞), f'(x) > 0 => hàm số đồng biến.
4. Kết luận: Hàm số có cực đại tại x = 0, f(0) = 2 và cực tiểu tại x = 2, f(2) = -2.

V. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức, các em hãy tự giải các bài tập sau:

• Bài 1: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số f(x) = x⁴ - 4x² + 3.
• Bài 2: Tìm cực đại, cực tiểu của hàm số f(x) = x³ - 6x² + 9x + 1.
• Bài 3: Vẽ đồ thị hàm số f(x) = x² - 2x + 1.

Hy vọng bài học này đã giúp các em hiểu rõ hơn về tính đơn điệu và cực trị của hàm số. Chúc các em học tập tốt!