Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị hàm số Toán 12 Cánh Diều

Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số của hàm số Toán 12 Cánh Diều

Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số Toán 12 Cánh Diều

Chương trình Toán 12 Cánh Diều tập trung vào việc nghiên cứu sâu về hàm số, đặc biệt là tính đơn điệu và cực trị. Đây là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán tối ưu hóa và hiểu rõ hơn về hành vi của hàm số.

Tại montoan.com.vn, chúng tôi cung cấp tài liệu học tập đầy đủ, bài giảng chi tiết và bài tập thực hành đa dạng để giúp bạn nắm vững kiến thức này.

Tính đơn điệu và cực trị của hàm số của hàm số Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b), (có thể a là \( - \infty \);b là \( + \infty \)) Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng K nếu f’(x) > 0 Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng K nếu f’(x) < 0

1. Tính đơn điệu của hàm số và dấu của đạo hàm

Định lý

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b), (có thể a là \( - \infty \);b là \( + \infty \))

Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng K nếu f’(x) > 0
Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng K nếu f’(x) < 0

Ví dụ: Hàm số \(y = {x^2} - 4x + 2\) có y’ = 2x – 4

y’ > 0 với \(x \in (2; + \infty )\) nên HS đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\)
y’ < 0 với \(x \in ( - \infty ;2)\) nên HS đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\)

Định lý mở rộng

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b).

Nếu f’(x) \( \ge \) 0 với mọi x thuộc (a;b) và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữa hạn điểm thuộc khoảng (a;b) thì hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (a;b)
Nếu f’(x) \( \le \) 0 với mọi x thuộc (a;b) và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữa hạn điểm thuộc khoảng (a;b) thì hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b)

2. Cực trị của hàm số

Khái niệm cực trị của hàm số

Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a;b) (a có thể là \( - \infty \), b có thể là \( + \infty \) ) và điểm \({x_0} \in \left( {a;b} \right)\).

Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(\({x_0}\)) \(\forall x \in \left( {{x_0} - h;{x_0} + h} \right) \subset \left( {a;b} \right)\) và \(x \ne {x_0}\) thì hàm số f(x) đạt cực đại tại \({x_0}\)
Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(\({x_0}\)) \(\forall x \in \left( {{x_0} - h;{x_0} + h} \right) \subset \left( {a;b} \right)\) và \(x \ne {x_0}\) thì hàm số f(x) đạt cực tiểu tại \({x_0}\)

Ví dụ: Cho đồ thị của hàm số y = f(x) như sau:

Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số của hàm số Toán 12 Cánh Diều 1

Hàm số đạt cực tiểu tại x = -1 và \({y_{CT}}\)= y(-1) = 2

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và = y(0) = 3

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và \({y_{CT}}\)= y(1) = 2

Định lí (điều kiện đủ để hàm số có cực trị)

Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a;b) chứa điểm \({x_0}\) và có đạo hàm trên các khoảng \(\left( {a;{x_0}} \right)\) và \(\left( {{x_0};b} \right)\). Khi đó:

Nếu f’(x) < 0 \(\forall x \in \left( {a;{x_0}} \right)\) và f’(x) > 0 \(\forall x \in \left( {{x_0};b} \right)\) thì \({x_0}\) là một điểm cực tiểu của hàm số f(x)
Nếu f’(x) > 0 \(\forall x \in \left( {a;{x_0}} \right)\) và f’(x) < 0 \(\forall x \in \left( {{x_0};b} \right)\) thì \({x_0}\) là một điểm cực đại của hàm số f(x)

Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số \(y = {x^3} - 6{x^2} + 9x + 30.\)

Tập xác định của hàm số là R.

Ta có: \(y' = 3{x^2} - 12x + 9\); y’ = 0 \( \Leftrightarrow \)x = 1 hoặc x = 3.

BBT:

Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số của hàm số Toán 12 Cánh Diều 2

Hàm số đạt cực đại tại x = 1 và = y(1) = 34.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 và \({y_{CT}}\)= y(3) = 30.

Tổng quát, ta có quy tắc tìm cực trị của hàm số y = f(x)

Tìm tập xác định của hàm số.
Tính đạo hàm f’(x). Tìm các điểm \({x_i}\)(i=1,2,…) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.
Lập BBT của hàm số.
Nêu kết luận về các điểm trực trị và giá trị cực trị

Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số của hàm số Toán 12 Cánh Diều 3

Bạn đang khám phá nội dung Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số của hàm số Toán 12 Cánh Diều trong chuyên mục đề toán lớp 12 trên nền tảng môn toán. Được biên soạn chuyên sâu và bám sát chặt chẽ chương trình sách giáo khoa hiện hành, bộ bài tập toán thpt này cam kết tối ưu hóa toàn diện quá trình ôn luyện, củng cố kiến thức Toán lớp 12 cho học sinh THPT, thông qua phương pháp tiếp cận trực quan và mang lại hiệu quả học tập vượt trội, tạo nền tảng vững chắc cho Kỳ thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia và hành trang vào đại học.

Ghi chú: Quý thầy, cô giáo và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên MonToan.com.vn bằng cách gửi về:

Facebook: MÔN TOÁN

Email: montoanmath@gmail.com

Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số Toán 12 Cánh Diều

Trong chương trình Toán 12, phần lý thuyết về tính đơn điệu và cực trị của hàm số đóng vai trò then chốt. Nó không chỉ là kiến thức nền tảng cho các bài toán giải tích mà còn ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác của khoa học và kỹ thuật.

I. Khái niệm về tính đơn điệu của hàm số

Một hàm số f(x) được gọi là đồng biến trên một khoảng (a, b) nếu với mọi x1, x2 thuộc (a, b) và x1 < x2, ta có f(x1) ≤ f(x2). Hàm số được gọi là nghịch biến trên một khoảng (a, b) nếu với mọi x1, x2 thuộc (a, b) và x1 < x2, ta có f(x1) ≥ f(x2).

Để xét tính đơn điệu của hàm số, ta thường sử dụng đạo hàm. Cụ thể:

Nếu f'(x) > 0 trên (a, b) thì hàm số đồng biến trên (a, b).
Nếu f'(x) < 0 trên (a, b) thì hàm số nghịch biến trên (a, b).
Nếu f'(x) = 0 trên (a, b) thì hàm số không đơn điệu trên (a, b).

II. Khái niệm về cực trị của hàm số

Điểm x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng mở (a, b) chứa x0 sao cho f(x) ≤ f(x0) với mọi x thuộc (a, b). Giá trị f(x0) được gọi là giá trị cực đại của hàm số.

Điểm x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng mở (a, b) chứa x0 sao cho f(x) ≥ f(x0) với mọi x thuộc (a, b). Giá trị f(x0) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số.

III. Điều kiện cần và đủ để hàm số có cực trị

Điều kiện cần: Nếu hàm số f(x) có cực trị tại x0 thì f'(x0) = 0 và x0 là điểm thuộc tập xác định của hàm số.

Điều kiện đủ:

Nếu f'(x0) = 0 và f''(x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số.
Nếu f'(x0) = 0 và f''(x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại của hàm số.
Nếu f'(x0) = 0 và f''(x0) = 0 thì cần xét dấu đạo hàm cấp ba để kết luận.

IV. Ứng dụng của lý thuyết tính đơn điệu và cực trị

Lý thuyết này được ứng dụng rộng rãi trong việc:

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng.
Giải các bài toán tối ưu hóa trong kinh tế, kỹ thuật.
Phân tích sự biến thiên của hàm số.

V. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Xét hàm số f(x) = x^3 - 3x^2 + 2. Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến và cực trị của hàm số.

Giải:

Tính đạo hàm: f'(x) = 3x^2 - 6x
Giải phương trình f'(x) = 0: 3x^2 - 6x = 0 => x = 0 hoặc x = 2
Lập bảng biến thiên:
x -∞ 0 2 +∞
f'(x) + - +
f(x) Đồng biến Nghịch biến Đồng biến
Kết luận: Hàm số đồng biến trên (-∞, 0) và (2, +∞), nghịch biến trên (0, 2). Hàm số có cực đại tại x = 0, giá trị cực đại là f(0) = 2. Hàm số có cực tiểu tại x = 2, giá trị cực tiểu là f(2) = -2.

x	-∞	0	2	+∞
f'(x)	+	-	+
f(x)	Đồng biến	Nghịch biến	Đồng biến

Ví dụ 2: ... (Thêm các ví dụ khác)

VI. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững lý thuyết và rèn luyện kỹ năng giải bài tập, bạn nên thực hành thường xuyên với các bài tập trong sách giáo khoa và các tài liệu tham khảo khác. montoan.com.vn cung cấp hệ thống bài tập đa dạng với nhiều mức độ khó khác nhau, giúp bạn tự tin hơn khi làm bài kiểm tra.