Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số của hàm số Toán 12 Cánh Diều
Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số Toán 12 Cánh Diều
Chương trình Toán 12 Cánh Diều tập trung vào việc nghiên cứu sâu về hàm số, đặc biệt là tính đơn điệu và cực trị. Đây là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán tối ưu hóa và hiểu rõ hơn về hành vi của hàm số.
Tại montoan.com.vn, chúng tôi cung cấp tài liệu học tập đầy đủ, bài giảng chi tiết và bài tập thực hành đa dạng để giúp bạn nắm vững kiến thức này.
Tính đơn điệu và cực trị của hàm số của hàm số Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b), (có thể a là \( - \infty \);b là \( + \infty \)) Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng K nếu f’(x) > 0 Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng K nếu f’(x) < 0
1. Tính đơn điệu của hàm số và dấu của đạo hàm
Định lý
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b), (có thể a là \( - \infty \);b là \( + \infty \))
|
Ví dụ: Hàm số \(y = {x^2} - 4x + 2\) có y’ = 2x – 4
- y’ > 0 với \(x \in (2; + \infty )\) nên HS đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\)
- y’ < 0 với \(x \in ( - \infty ;2)\) nên HS đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\)
Định lý mở rộng
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b).
|
2. Cực trị của hàm số
Khái niệm cực trị của hàm số
Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a;b) (a có thể là \( - \infty \), b có thể là \( + \infty \) ) và điểm \({x_0} \in \left( {a;b} \right)\).
|
Ví dụ: Cho đồ thị của hàm số y = f(x) như sau:
Hàm số đạt cực tiểu tại x = -1 và \({y_{CT}}\)= y(-1) = 2
Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và = y(0) = 3
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và \({y_{CT}}\)= y(1) = 2
Định lí (điều kiện đủ để hàm số có cực trị)
Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a;b) chứa điểm \({x_0}\) và có đạo hàm trên các khoảng \(\left( {a;{x_0}} \right)\) và \(\left( {{x_0};b} \right)\). Khi đó:
|
Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số \(y = {x^3} - 6{x^2} + 9x + 30.\)
Tập xác định của hàm số là R.
Ta có: \(y' = 3{x^2} - 12x + 9\); y’ = 0 \( \Leftrightarrow \)x = 1 hoặc x = 3.
BBT:
Hàm số đạt cực đại tại x = 1 và = y(1) = 34.
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 và \({y_{CT}}\)= y(3) = 30.
Tổng quát, ta có quy tắc tìm cực trị của hàm số y = f(x)
|
Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số Toán 12 Cánh Diều
Trong chương trình Toán 12, phần lý thuyết về tính đơn điệu và cực trị của hàm số đóng vai trò then chốt. Nó không chỉ là kiến thức nền tảng cho các bài toán giải tích mà còn ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác của khoa học và kỹ thuật.
I. Khái niệm về tính đơn điệu của hàm số
Một hàm số f(x) được gọi là đồng biến trên một khoảng (a, b) nếu với mọi x1, x2 thuộc (a, b) và x1 < x2, ta có f(x1) ≤ f(x2). Hàm số được gọi là nghịch biến trên một khoảng (a, b) nếu với mọi x1, x2 thuộc (a, b) và x1 < x2, ta có f(x1) ≥ f(x2).
Để xét tính đơn điệu của hàm số, ta thường sử dụng đạo hàm. Cụ thể:
- Nếu f'(x) > 0 trên (a, b) thì hàm số đồng biến trên (a, b).
- Nếu f'(x) < 0 trên (a, b) thì hàm số nghịch biến trên (a, b).
- Nếu f'(x) = 0 trên (a, b) thì hàm số không đơn điệu trên (a, b).
II. Khái niệm về cực trị của hàm số
Điểm x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng mở (a, b) chứa x0 sao cho f(x) ≤ f(x0) với mọi x thuộc (a, b). Giá trị f(x0) được gọi là giá trị cực đại của hàm số.
Điểm x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng mở (a, b) chứa x0 sao cho f(x) ≥ f(x0) với mọi x thuộc (a, b). Giá trị f(x0) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số.
III. Điều kiện cần và đủ để hàm số có cực trị
Điều kiện cần: Nếu hàm số f(x) có cực trị tại x0 thì f'(x0) = 0 và x0 là điểm thuộc tập xác định của hàm số.
Điều kiện đủ:
- Nếu f'(x0) = 0 và f''(x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số.
- Nếu f'(x0) = 0 và f''(x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại của hàm số.
- Nếu f'(x0) = 0 và f''(x0) = 0 thì cần xét dấu đạo hàm cấp ba để kết luận.
IV. Ứng dụng của lý thuyết tính đơn điệu và cực trị
Lý thuyết này được ứng dụng rộng rãi trong việc:
- Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng.
- Giải các bài toán tối ưu hóa trong kinh tế, kỹ thuật.
- Phân tích sự biến thiên của hàm số.
V. Bài tập ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Xét hàm số f(x) = x^3 - 3x^2 + 2. Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến và cực trị của hàm số.
Giải:
- Tính đạo hàm: f'(x) = 3x^2 - 6x
- Giải phương trình f'(x) = 0: 3x^2 - 6x = 0 => x = 0 hoặc x = 2
- Lập bảng biến thiên:
x -∞ 0 2 +∞ f'(x) + - + f(x) Đồng biến Nghịch biến Đồng biến - Kết luận: Hàm số đồng biến trên (-∞, 0) và (2, +∞), nghịch biến trên (0, 2). Hàm số có cực đại tại x = 0, giá trị cực đại là f(0) = 2. Hàm số có cực tiểu tại x = 2, giá trị cực tiểu là f(2) = -2.
Ví dụ 2: ... (Thêm các ví dụ khác)
VI. Luyện tập và củng cố kiến thức
Để nắm vững lý thuyết và rèn luyện kỹ năng giải bài tập, bạn nên thực hành thường xuyên với các bài tập trong sách giáo khoa và các tài liệu tham khảo khác. montoan.com.vn cung cấp hệ thống bài tập đa dạng với nhiều mức độ khó khác nhau, giúp bạn tự tin hơn khi làm bài kiểm tra.
