Bài 3. Góc

Bài 3. Góc - SGK Toán 12: Lý thuyết và Phương pháp Giải

Bài 3 trong SGK Toán 12 tập 2 tập trung vào việc nghiên cứu về góc trong không gian, một khái niệm quan trọng trong hình học tọa độ. Để hiểu rõ bài học này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức cơ bản về vectơ, tích vô hướng và các công thức tính góc giữa hai vectơ.

1. Khái niệm góc giữa hai đường thẳng trong không gian

Góc giữa hai đường thẳng trong không gian là góc nhọn tạo bởi hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đó. Để tính góc giữa hai đường thẳng, ta sử dụng công thức:

cos(α) = |(a.b)| / (||a|| * ||b||)

Trong đó:

• α là góc giữa hai đường thẳng
• a và b là vectơ chỉ phương của hai đường thẳng
• a.b là tích vô hướng của hai vectơ a và b
• ||a|| và ||b|| là độ dài của vectơ a và b

2. Khái niệm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc nhọn tạo bởi đường thẳng đó và hình chiếu của nó lên mặt phẳng. Để tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, ta sử dụng công thức:

sin(α) = |(a.n)| / (||a|| * ||n||)

Trong đó:

• α là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
• a là vectơ chỉ phương của đường thẳng
• n là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
• a.n là tích vô hướng của hai vectơ a và n
• ||a|| và ||n|| là độ dài của vectơ a và n

3. Khái niệm góc giữa hai mặt phẳng

Góc giữa hai mặt phẳng là góc nhọn tạo bởi hai vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng đó. Để tính góc giữa hai mặt phẳng, ta sử dụng công thức:

cos(α) = |(n1.n2)| / (||n1|| * ||n2||)

Trong đó:

• α là góc giữa hai mặt phẳng
• n1 và n2 là vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng
• n1.n2 là tích vô hướng của hai vectơ n1 và n2
• ||n1|| và ||n2|| là độ dài của vectơ n1 và n2

4. Bài tập minh họa

Bài tập 1: Cho hai đường thẳng d1: x = 1 + t, y = 2 - t, z = 3 + 2t và d2: x = 2 - s, y = 1 + s, z = 4 - s. Tính góc giữa hai đường thẳng d1 và d2.

Giải:

Vectơ chỉ phương của d1 là a = (1, -1, 2). Vectơ chỉ phương của d2 là b = (-1, 1, -1).

cos(α) = |(1*(-1) + (-1)*1 + 2*(-1))| / (√(1^2 + (-1)^2 + 2^2) * √((-1)^2 + 1^2 + (-1)^2)) = |-4| / (√6 * √3) = 4 / √(18) = 4 / (3√2) = (2√2) / 3

Vậy α = arccos((2√2) / 3) ≈ 19.47°

Bài tập 2: Cho đường thẳng d: x = t, y = 1 + t, z = 2t và mặt phẳng (P): x + y + z - 6 = 0. Tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).

Giải:

Vectơ chỉ phương của d là a = (1, 1, 2). Vectơ pháp tuyến của (P) là n = (1, 1, 1).

sin(α) = |(1*1 + 1*1 + 2*1)| / (√(1^2 + 1^2 + 2^2) * √(1^2 + 1^2 + 1^2)) = |4| / (√6 * √3) = 4 / √(18) = 4 / (3√2) = (2√2) / 3

Vậy α = arcsin((2√2) / 3) ≈ 70.53°

5. Lưu ý quan trọng

Khi tính góc giữa hai đường thẳng hoặc giữa đường thẳng và mặt phẳng, cần chú ý đến dấu của tích vô hướng để xác định góc nhọn hay góc tù. Luôn sử dụng công thức tính góc nhọn để đảm bảo kết quả chính xác.

Hy vọng với những kiến thức và bài tập minh họa trên, bạn đã hiểu rõ hơn về Bài 3. Góc - SGK Toán 12. Chúc bạn học tập tốt!