THCS
THCS
Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 5.25 trang 70 SGK Toán 12 tập 2 tại montoan.com.vn. Bài tập này thuộc chương trình học về tích phân và thường gây khó khăn cho nhiều học sinh.
Chúng tôi sẽ cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, cùng với các phương pháp giải khác nhau để giúp các em hiểu rõ bản chất của bài toán và áp dụng vào các bài tập tương tự.
Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau: a) (d:left{ {begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}{y = - 1 + t,,,,,,,,,,t in mathbb{R}}{z = 3 + 4t}end{array}} right.quad {rm{v`a }}quad d':left{ {begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 - t'}{y = - 1 + 3t',,,,,t', in mathbb{R}}{z = 4 + 2t'}end{array}} right.) b) (d:frac{x}{1} = frac{y}{2} = frac{{z - 2}}{2}quad {rm{v`a }}quad d':left{ {begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + t'}{y = - 1 + t',,,,,t', in mathb
Đề bài
Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:
a) \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y = - 1 + t\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,t \in \mathbb{R}}\\{z = 3 + 4t}\end{array}} \right.\quad {\rm{và}}\quad d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 - t'}\\{y = - 1 + 3t'\,\,\,\,\,t'\, \in \mathbb{R}}\\{z = 4 + 2t'}\end{array}} \right.\)
b) \(d:\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 2}}{2}\quad {\rm{và }}\quad d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + t'}\\{y = - 1 + t'\,\,\,\,\,t'\, \in \mathbb{R}}\\{z = 1}\end{array}} \right.\).
c) \(d:\frac{{x - 1}}{{ - 2}} = \frac{y}{3} = \frac{{z + 2}}{6}\quad {\rm{và }}\quad d':\frac{x}{{12}} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{z}{3}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Đối với phương trình tham số \(d:x = {x_0} + at,y = {y_0} + bt,z = {z_0} + ct\), vector chỉ phương của đường thẳng là \(\vec u = (a,b,c)\).
- Đối với phương trình chính tắc \(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\), vector chỉ phương của đường thẳng cũng là \(\vec u = (a,b,c)\).
- Góc giữa hai đường thẳng có vector chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = ({a_1},{b_1},{c_1})\) và \(\overrightarrow {{u_2}} = ({a_2},{b_2},{c_2})\) được tính bởi:
\(\cos \theta = \frac{{\overrightarrow {{u_1}} \cdot \overrightarrow {{u_2}} }}{{|\overrightarrow {{u_1}} ||\overrightarrow {{u_2}} |}}\)
Lời giải chi tiết
a)
Vector chỉ phương của \(d\): \(\vec u = (2;1;4)\).
Vector chỉ phương của\(d'\): \(\vec u' = ( - 1;3;2)\). Tích vô hướng:
\(\vec u \cdot \vec u' = 2 \times ( - 1) + 1 \times 3 + 4 \times 2 = - 2 + 3 + 8 = 9\)
Độ dài:
\(|\vec u| = \sqrt {{2^2} + {1^2} + {4^2}} = \sqrt {21} ,\quad |\vec u'| = \sqrt {{1^2} + {3^2} + {2^2}} = \sqrt {14} \)
\(\cos \theta = \frac{9}{{\sqrt {21} \times \sqrt {14} }} = \frac{9}{{\sqrt {294} }} = \frac{{3\sqrt 6 }}{{14}}\)
Suy ra \(\theta = {\cos ^{ - 1}}\left( {\frac{{3\sqrt 6 }}{{14}}} \right) \approx 58^\circ \).
b)
Vector chỉ phương của \(d\): \(\vec u = (1;2;2)\).
Vector chỉ phương của\(d'\): \(\vec u' = (1;1;0)\).
Tích vô hướng của hai vector chỉ phương:
\(\vec u \cdot \vec u' = 1 \times 1 + 2 \times 1 + 2 \times 0 = 1 + 2 + 0 = 3\)
Độ dài của \(\vec u\) và \(\vec u'\):
\(|\vec u| = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} = \sqrt 9 = 3\)
\(|\vec u'| = \sqrt {{1^2} + {1^2} + {0^2}} = \sqrt 2 \)
Góc giữa hai đường thẳng:
\(\cos \theta = \frac{{\vec u \cdot \vec u'}}{{|\vec u||\vec u'|}} = \frac{3}{{3 \times \sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
Suy ra:
\(\theta = {\cos ^{ - 1}}\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = 45^\circ \)
c)
Vector chỉ phương của \(d\): \(\vec u = ( - 2;3;6)\).
Vector chỉ phương của \(d'\): \(\vec u' = (12,2,3)\).
Tích vô hướng của hai vector chỉ phương:
\(\vec u \cdot \vec u' = ( - 2) \times 12 + 3 \times 2 + 6 \times 3 = - 24 + 6 + 18 = 0\)
Vì \(\vec u \cdot \vec u' = 0\), nên \(\theta = {90^\circ }\), hay hai đường thẳng vuông góc với nhau.
Bài tập 5.25 trang 70 SGK Toán 12 tập 2 là một bài toán quan trọng trong chương trình tích phân, đòi hỏi học sinh phải nắm vững các kiến thức về nguyên hàm, tích phân xác định và các phương pháp tính tích phân. Dưới đây là phân tích chi tiết và lời giải của bài toán này:
Tính các tích phân sau:
Để tính tích phân này, ta sử dụng công thức hạ bậc: sin2x = (1 - cos2x)/2
∫0π/2 sin2x dx = ∫0π/2 (1 - cos2x)/2 dx = 1/2 ∫0π/2 (1 - cos2x) dx
= 1/2 [x - (sin2x)/2]0π/2 = 1/2 [(π/2 - (sinπ)/2) - (0 - (sin0)/2)] = 1/2 * π/2 = π/4
Tương tự, ta sử dụng công thức hạ bậc: cos2x = (1 + cos2x)/2
∫0π/4 cos2x dx = ∫0π/4 (1 + cos2x)/2 dx = 1/2 ∫0π/4 (1 + cos2x) dx
= 1/2 [x + (sin2x)/2]0π/4 = 1/2 [(π/4 + (sin(π/2))/2) - (0 + (sin0)/2)] = 1/2 * (π/4 + 1/2) = π/8 + 1/4
Để tính tích phân này, ta sử dụng công thức: sin3x = sinx * sin2x = sinx * (1 - cos2x)
∫0π/3 sin3x dx = ∫0π/3 sinx * (1 - cos2x) dx
Đặt u = cosx, du = -sinx dx. Khi x = 0, u = 1. Khi x = π/3, u = 1/2
= -∫11/2 (1 - u2) du = ∫1/21 (1 - u2) du = [u - u3/3]1/21
= (1 - 1/3) - (1/2 - (1/2)3/3) = 2/3 - (1/2 - 1/24) = 2/3 - (12/24 - 1/24) = 2/3 - 11/24 = 16/24 - 11/24 = 5/24
Ngoài các phương pháp đã trình bày, bài tập 5.25 còn có thể được giải bằng các phương pháp khác như sử dụng tích phân từng phần hoặc sử dụng các công thức tích phân đặc biệt. Tuy nhiên, việc nắm vững các công thức hạ bậc và phương pháp đổi biến là rất quan trọng để giải quyết các bài toán tích phân một cách hiệu quả.
Để củng cố kiến thức về tích phân, các em có thể tham khảo các bài tập tương tự sau:
Hy vọng với lời giải chi tiết và các phương pháp giải được trình bày, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về bài tập 5.25 trang 70 SGK Toán 12 tập 2 và có thể áp dụng vào các bài tập tương tự một cách hiệu quả. Chúc các em học tốt!
