THCS
THCS
Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 5.43 trang 86 SGK Toán 12 tập 2 tại montoan.com.vn. Bài tập này thuộc chương trình học về số phức và các phép toán liên quan.
Chúng tôi sẽ cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán.
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1, với A(0; 0; 0), D(1; 0; 0), B(0; 1; 0), A’(0; 0; 1). a) Chứng minh \(A'C \bot (AB'D')\). b) Chứng minh \((AB'D')//(C'BD)\)và tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng \((AB'D')\) và \((C'BD)\). c) Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng \((DA'C')\) và \((ABB'A')\).
Đề bài
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1, với A(0; 0; 0), D(1; 0; 0), B(0; 1; 0), A’(0; 0; 1).
a) Chứng minh \(A'C \bot (AB'D')\).
b) Chứng minh \((AB'D')//(C'BD)\)và tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng \((AB'D')\) và \((C'BD)\).
c) Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng \((DA'C')\) và \((ABB'A')\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
- Tìm véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng bằng tích có hướng của hai véc-tơ trong mặt phẳng.
- Kiểm tra tích vô hướng giữa véc-tơ chỉ phương của đường thẳng và véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng. Nếu tích vô hướng bằng 0, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
b) Chứng minh hai mặt phẳng song song và tính khoảng cách:
- Tìm véc-tơ pháp tuyến của từng mặt phẳng. Nếu hai véc-tơ pháp tuyến cùng phương, hai mặt phẳng song song.
- Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.
c) Tính góc giữa hai mặt phẳng:
- Tìm véc-tơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng.
- Dùng công thức để tính góc giữa hai mặt phẳng.
Lời giải chi tiết
Các đỉnh còn lại có toạ độ là: \(C(1;1;0)\), \(B'(0;1;1)\), \(C'(1;1;1)\), \(D'(1;0;1)\)
a) Chứng minh \(A'C \bot (AB'D')\)
Véc-tơ pháp tuyến của \((AB'D')\):
\(\overrightarrow {AB'} = (0;1;1),\quad \overrightarrow {AD'} = (1;0;1)\)
\({\vec n_{(AB'D')}} = \overrightarrow {AB'} \times \overrightarrow {AD'} = (1;1; - 1)\)
Mà ta có: \(\overrightarrow {A'C} = (1;1; - 1)\)trùng với vec-tơ pháp tuyến của \((AB'D')\)
Vậy \(A'C \bot (AB'D')\).
b) Chứng minh \((AB'D')\parallel (C'BD)\) và tính khoảng cách
Véc-tơ pháp tuyến của \((C'BD)\):
\(\overrightarrow {C'B} = ( - 1;0; - 1),\quad \overrightarrow {C'D} = (0; - 1; - 1)\)
\({\vec n_{(C'BD)}} = \overrightarrow {C'B} \times \overrightarrow {C'D} = ( - 1; - 1;1)\)
Hai véc-tơ pháp tuyến \({\vec n_{(AB'D')}}\) và \({\vec n_{(C'BD)}}\) cùng phương nên \((AB'D')\parallel (C'BD)\).
* Khoảng cách giữa hai mặt phẳng:
Chọn điểm \(A(0,0,0)\) thuộc \((AB'D')\).
Phương trình \((C'BD)\): \(1.(x - 0) - 1.(y - 1) - (z - 0) = 0 \Leftrightarrow x - y - z + 1 = 0\).
\(d = \frac{{|0 \cdot 1 - 0 \cdot 1 - 0 \cdot ( - 1) + 1|}}{{\sqrt {{{( - 1)}^2} + {{( - 1)}^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\)
c) Tính \(\cos \theta \) giữa hai mặt phẳng \((DA'C')\) và \((ABB'A')\)
- Véc-tơ pháp tuyến của \((DA'C')\):
\(\overrightarrow {DA'} = ( - 1;0;1),\quad \overrightarrow {DC'} = (0;1;1)\)
\({\vec n_{(DA'C')}} = \overrightarrow {DA'} \times \overrightarrow {DC'} = ( - 1;1; - 1)\)
Véc-tơ pháp tuyến của \((ABB'A')\):
\(\overrightarrow {AB} = (0,1,0),\quad \overrightarrow {AA'} = (0,0,1)\)
\({\vec n_{(ABB'A')}} = \overrightarrow {AB} \times \overrightarrow {AA'} = (1,0,0)\)
Tính \(\cos \theta \):
\({\vec n_{(DA'C')}} \cdot {\vec n_{(ABB'A')}} = ( - 1;1; - 1) \cdot (1;0;0) = - 1\)
\(\cos \theta = \frac{{| - 1|}}{{\sqrt 3 \cdot 1}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\)
Bài tập 5.43 trang 86 SGK Toán 12 tập 2 yêu cầu chúng ta tìm số phức z thỏa mãn một điều kiện nhất định. Để giải bài tập này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức về số phức, bao gồm dạng đại số của số phức, phép cộng, trừ, nhân, chia số phức, và đặc biệt là module của số phức.
Tìm số phức z thỏa mãn |z - (2 + i)| = √5 và phần thực của z bằng 1.
Khi giải các bài tập về số phức, chúng ta thường sử dụng các phương pháp sau:
Bước 1: Đặt z = x + yi (với x, y là các số thực)
Bước 2: Thay z vào điều kiện đề bài
|z - (2 + i)| = √5 trở thành |(x + yi) - (2 + i)| = √5
| (x - 2) + (y - 1)i | = √5
√( (x - 2)² + (y - 1)² ) = √5
(x - 2)² + (y - 1)² = 5 (1)
Phần thực của z bằng 1, tức là x = 1
Bước 3: Thay x = 1 vào phương trình (1)(1 - 2)² + (y - 1)² = 5
(-1)² + (y - 1)² = 5
1 + (y - 1)² = 5
(y - 1)² = 4
y - 1 = ±2
Bước 4: Giải phương trình tìm yTrường hợp 1: y - 1 = 2 => y = 3
Trường hợp 2: y - 1 = -2 => y = -1
Bước 5: Kết luậnVậy có hai số phức z thỏa mãn điều kiện đề bài là:
Để củng cố kiến thức về số phức và rèn luyện kỹ năng giải bài tập, các em có thể tham khảo các bài tập tương tự sau:
Bài tập 5.43 trang 86 SGK Toán 12 tập 2 là một bài tập điển hình về ứng dụng của số phức trong việc giải quyết các bài toán hình học. Việc nắm vững các kiến thức cơ bản về số phức và áp dụng linh hoạt các phương pháp giải sẽ giúp các em giải quyết bài tập này một cách hiệu quả.
Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn cụ thể này, các em sẽ hiểu rõ hơn về cách giải bài tập 5.43 trang 86 SGK Toán 12 tập 2. Chúc các em học tập tốt!
