THCS
THCS
Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 1.25 trang 35 SGK Toán 12 tập 1 tại montoan.com.vn. Bài tập này thuộc chương trình học về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong Toán học lớp 12.
Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập một cách hiệu quả.
Người ta cần rào một mảnh đất hình chữ nhật ABCD có diện tích là 600 m². Trên mảnh đất này, người ta chia làm ba miếng đất hình chữ nhật có diện tích bằng nhau (Hình 1.40). Giá tiền để xây dựng hàng rào bên trong và bao bên ngoài là 60.000 đồng mỗi mét, biết rằng chiều dài hình chữ nhật ABCD không vượt quá 60 m. Tìm chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật ABCD sao cho chi phí xây dựng hàng rào là thấp nhất (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Đề bài
Người ta cần rào một mảnh đất hình chữ nhật ABCD có diện tích là 600 m². Trên mảnh đất này, người ta chia làm ba miếng đất hình chữ nhật có diện tích bằng nhau (Hình 1.40). Giá tiền để xây dựng hàng rào bên trong và bao bên ngoài là 60.000 đồng mỗi mét, biết rằng chiều dài hình chữ nhật ABCD không vượt quá 60 m. Tìm chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật ABCD sao cho chi phí xây dựng hàng rào là thấp nhất (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Đặt chiều dài là 𝑥 và chiều rộng là 𝑦 của hình chữ nhật ABCD.
- Tính chi phí xây dựng hàng rào dựa trên chiều dài và chiều rộng.
- Viết hàm chi phí cần tối ưu và điều kiện ràng buộc.
- Sử dụng đạo hàm để tìm giá trị tối ưu.
Lời giải chi tiết
Gọi chiều dài là \(x\) \((0 < x \le 60)\) và chiều rộng là \(y\) \((0 < y \le x)\) của hình chữ nhật ABCD.
Diện tích của hình chữ nhật ABCD là: \(xy = 600\)
- Chi phí hàng rào ngoài là 2x+2y.
- Chi phí hàng rào bên trong là 2y.
-Tổng chi phí là: \(C = 60.000 \times (2x + 4y)\)
Viết hàm mục tiêu:
\(C = 60.000 \times \left( {2x + 4 \cdot \frac{{600}}{x}} \right) = 120.000 \times \left( {x + \frac{{1200}}{x}} \right)\)
Tìm giá trị cực trị: \(f(x) = x + \frac{{1200}}{x}\)
- Tính đạo hàm: \(f'(x) = 1 - \frac{{1200}}{{{x^2}}}\)
- Cho đạo hàm bằng 0: \(1 - \frac{{1200}}{{{x^2}}} = 0 \Rightarrow {x^2} = 1200 \Rightarrow x = \sqrt {1200} \approx 34,64(\;{\rm{m}})\)
Bảng biến thiên:
Nhận thấy tại vị trí x=34,64 thì giá trị của f(x) là nhỏ nhất
Tính \(y\): \(y = \frac{{600}}{x} \approx \frac{{600}}{{34,64}} \approx 17,32(\;{\rm{m}})\)
Tính chi phí:
\(L = 2x + 4y = 2.34,64 + 4.17,32 \approx 138,56m\)
\(C = 60000 \times 135,56 \approx 8313600\)
Kết luận: Để chi phí xây dựng hàng rào là thấp nhất thì
- Chiều dài của hình chữ nhật ABCD: \(x \approx 34,64\)m
- Chiều rộng của hình chữ nhật ABCD: \(y \approx 17,32\)m
- Tổng chi phí xây dựng hàng rào: 8313600 đồng.
Bài tập 1.25 trang 35 SGK Toán 12 tập 1 là một bài tập quan trọng trong chương trình học về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế, cụ thể là tìm điểm cực trị của hàm số.
Bài tập 1.25 yêu cầu tìm cực trị của hàm số sau:
f(x) = x3 - 3x2 + 2
Để giải bài tập này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:
Giải:
Ta có hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2.
1. Tính đạo hàm bậc nhất:
f'(x) = 3x2 - 6x
2. Tìm điểm dừng:
f'(x) = 0 ⇔ 3x2 - 6x = 0 ⇔ 3x(x - 2) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2
3. Tính đạo hàm bậc hai:
f''(x) = 6x - 6
4. Xác định loại điểm dừng:
f''(0) = -6 < 0 ⇒ x = 0 là điểm cực đại, f(0) = 2
f''(2) = 6 > 0 ⇒ x = 2 là điểm cực tiểu, f(2) = -2
5. Kết luận:
Hàm số đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại là 2.
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, giá trị cực tiểu là -2.
Để củng cố kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm, các em có thể tham khảo các bài tập tương tự sau:
Khi giải các bài tập về đạo hàm, các em cần lưu ý những điều sau:
Bài tập 1.25 trang 35 SGK Toán 12 tập 1 là một bài tập quan trọng giúp các em hiểu rõ hơn về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm. Hy vọng với lời giải chi tiết và phương pháp giải bài tập mà montoan.com.vn cung cấp, các em sẽ nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài tập tương tự.
