Giải bài tập 1.25 trang 35 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Giải bài tập 1.25 trang 35 SGK Toán 12 tập 1

Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 1.25 trang 35 SGK Toán 12 tập 1 tại montoan.com.vn. Bài tập này thuộc chương trình học về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong Toán học lớp 12.

Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập một cách hiệu quả.

Người ta cần rào một mảnh đất hình chữ nhật ABCD có diện tích là 600 m². Trên mảnh đất này, người ta chia làm ba miếng đất hình chữ nhật có diện tích bằng nhau (Hình 1.40). Giá tiền để xây dựng hàng rào bên trong và bao bên ngoài là 60.000 đồng mỗi mét, biết rằng chiều dài hình chữ nhật ABCD không vượt quá 60 m. Tìm chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật ABCD sao cho chi phí xây dựng hàng rào là thấp nhất (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Đề bài

Giải bài tập 1.25 trang 35 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá 1

Phương pháp giải - Xem chi tiết Giải bài tập 1.25 trang 35 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá 2

- Đặt chiều dài là 𝑥 và chiều rộng là 𝑦 của hình chữ nhật ABCD.

- Tính chi phí xây dựng hàng rào dựa trên chiều dài và chiều rộng.

- Viết hàm chi phí cần tối ưu và điều kiện ràng buộc.

- Sử dụng đạo hàm để tìm giá trị tối ưu.

Lời giải chi tiết

Gọi chiều dài là \(x\) \((0 < x \le 60)\) và chiều rộng là \(y\) \((0 < y \le x)\) của hình chữ nhật ABCD.

Diện tích của hình chữ nhật ABCD là: \(xy = 600\)

- Chi phí hàng rào ngoài là 2x+2y.

- Chi phí hàng rào bên trong là 2y.

-Tổng chi phí là: \(C = 60.000 \times (2x + 4y)\)

Viết hàm mục tiêu:

\(C = 60.000 \times \left( {2x + 4 \cdot \frac{{600}}{x}} \right) = 120.000 \times \left( {x + \frac{{1200}}{x}} \right)\)

Tìm giá trị cực trị: \(f(x) = x + \frac{{1200}}{x}\)

- Tính đạo hàm: \(f'(x) = 1 - \frac{{1200}}{{{x^2}}}\)

- Cho đạo hàm bằng 0: \(1 - \frac{{1200}}{{{x^2}}} = 0 \Rightarrow {x^2} = 1200 \Rightarrow x = \sqrt {1200} \approx 34,64(\;{\rm{m}})\)

Bảng biến thiên:

Giải bài tập 1.25 trang 35 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá 3

Nhận thấy tại vị trí x=34,64 thì giá trị của f(x) là nhỏ nhất

Tính \(y\): \(y = \frac{{600}}{x} \approx \frac{{600}}{{34,64}} \approx 17,32(\;{\rm{m}})\)

Tính chi phí:

\(L = 2x + 4y = 2.34,64 + 4.17,32 \approx 138,56m\)

\(C = 60000 \times 135,56 \approx 8313600\)

Kết luận: Để chi phí xây dựng hàng rào là thấp nhất thì

- Chiều dài của hình chữ nhật ABCD: \(x \approx 34,64\)m

- Chiều rộng của hình chữ nhật ABCD: \(y \approx 17,32\)m

- Tổng chi phí xây dựng hàng rào: 8313600 đồng.

Bạn đang khám phá nội dung Giải bài tập 1.25 trang 35 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá trong chuyên mục đề toán lớp 12 trên nền tảng môn toán. Được biên soạn chuyên sâu và bám sát chặt chẽ chương trình sách giáo khoa hiện hành, bộ bài tập toán trung học phổ thông này cam kết tối ưu hóa toàn diện quá trình ôn luyện, củng cố kiến thức Toán lớp 12 cho học sinh THPT, thông qua phương pháp tiếp cận trực quan và mang lại hiệu quả học tập vượt trội, tạo nền tảng vững chắc cho Kỳ thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia và hành trang vào đại học.

Đóng góp tài liệu?

Chia sẻ kiến thức cùng cộng đồng MonToan.com.vn

Facebook Gửi Email

Thông tin mở rộng

Giải bài tập 1.25 trang 35 SGK Toán 12 tập 1: Phương pháp và Lời giải Chi Tiết

Bài tập 1.25 trang 35 SGK Toán 12 tập 1 là một bài tập quan trọng trong chương trình học về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế, cụ thể là tìm điểm cực trị của hàm số.

Nội dung bài tập 1.25 trang 35 SGK Toán 12 tập 1

Bài tập 1.25 yêu cầu tìm cực trị của hàm số sau:

f(x) = x³ - 3x² + 2

Phương pháp giải bài tập 1.25 trang 35 SGK Toán 12 tập 1

Để giải bài tập này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

Tính đạo hàm bậc nhất f'(x): Đạo hàm của hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2 là f'(x) = 3x² - 6x.
Tìm các điểm dừng của hàm số: Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm dừng. Trong trường hợp này, 3x² - 6x = 0, suy ra x = 0 hoặc x = 2.
Xác định loại điểm dừng: Sử dụng đạo hàm bậc hai f''(x) để xác định loại điểm dừng. Đạo hàm bậc hai của f(x) là f''(x) = 6x - 6.
Tính f''(0) và f''(2): f''(0) = -6 < 0, do đó x = 0 là điểm cực đại. f''(2) = 6 > 0, do đó x = 2 là điểm cực tiểu.
Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị: f(0) = 2 và f(2) = -2.
Kết luận: Hàm số f(x) đạt cực đại tại x = 0 với giá trị là 2 và đạt cực tiểu tại x = 2 với giá trị là -2.

Lời giải chi tiết bài tập 1.25 trang 35 SGK Toán 12 tập 1

Giải:

Ta có hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2.

1. Tính đạo hàm bậc nhất:

f'(x) = 3x² - 6x

2. Tìm điểm dừng:

f'(x) = 0 ⇔ 3x² - 6x = 0 ⇔ 3x(x - 2) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2

3. Tính đạo hàm bậc hai:

f''(x) = 6x - 6

4. Xác định loại điểm dừng:

f''(0) = -6 < 0 ⇒ x = 0 là điểm cực đại, f(0) = 2

f''(2) = 6 > 0 ⇒ x = 2 là điểm cực tiểu, f(2) = -2

5. Kết luận:

Hàm số đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại là 2.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, giá trị cực tiểu là -2.

Các bài tập tương tự và mở rộng

Để củng cố kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm, các em có thể tham khảo các bài tập tương tự sau:

Bài tập 1.26 trang 35 SGK Toán 12 tập 1
Bài tập 1.27 trang 36 SGK Toán 12 tập 1
Các bài tập về tìm cực trị của hàm số trên các trang web học toán online khác.

Lưu ý khi giải bài tập về đạo hàm

Khi giải các bài tập về đạo hàm, các em cần lưu ý những điều sau:

Nắm vững các công thức tính đạo hàm cơ bản.
Hiểu rõ ý nghĩa của đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc tìm cực trị của hàm số.
Thực hành giải nhiều bài tập để rèn luyện kỹ năng và làm quen với các dạng bài khác nhau.

Kết luận

Bài tập 1.25 trang 35 SGK Toán 12 tập 1 là một bài tập quan trọng giúp các em hiểu rõ hơn về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm. Hy vọng với lời giải chi tiết và phương pháp giải bài tập mà montoan.com.vn cung cấp, các em sẽ nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài tập tương tự.

Bài viết cùng chủ đề

Kho tài liệu Toán 12

Tổng hợp đề thi, chuyên đề và đáp án chi tiết

Tài liệu mới cập nhật