Giải bài tập 5.13 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Giải bài tập 5.13 trang 52 SGK Toán 12 tập 2

Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 5.13 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 tại montoan.com.vn. Bài tập này thuộc chương trình học về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và phương trình tích phân.

Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán.

Hãy cùng montoan.com.vn khám phá lời giải chi tiết ngay sau đây!

Thùng của một máy nông nghiệp được thiết kế mô phỏng trong hệ trục Oxyz là một hình lăng trụ tứ giác ABCD.EFGH với các đỉnh: \(A(0;1;2),\quad B(0;1;3,5),\quad C(0;4;3,5),\quad D(0;2,5;2),\,\,\,\,\,\,E(2;1;2)\) (Hình 5.15)

Đề bài

Thùng của một máy nông nghiệp được thiết kế mô phỏng trong hệ trục Oxyz là một hình lăng trụ tứ giác ABCD.EFGH với các đỉnh:

\(A(0;1;2),\quad B(0;1;3,5),\quad C(0;4;3,5),\quad D(0;2,5;2),\,\,\,\,\,\,E(2;1;2)\) (Hình 5.15)

Giải bài tập 5.13 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá 1

a) Viết phương trình mặt phẳng \((EFGH)\) và tính chiều cao của hình lăng trụ ABCD.EFGH.

b) Viết phương trình mặt phẳng \((CDHG)\) và tính khoảng cách từ điểm \(F\) đến mặt phẳng \((CDHG)\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết Giải bài tập 5.13 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá 2

Nếu mặt phẳng đi qua 3 điểm A, B, C thì ta có thể làm như sau:

- Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng dựa trên tích có hướng của \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \).

- Thay một trong ba điểm A, B, C để tìm phương trình mặt phẳng.

Chiều cao của lăng trụ là khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng này có thể tính bằng cách lấy tọa độ của một điểm thuộc một mặt phẳng và tính khoảng cách từ điểm này đến mặt phẳng còn lại.

Sử dụng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:

\(d = \frac{{|A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\)

Lời giải chi tiết

Vì ABCD.EFGH là hình lăng trụ tứ giác nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((EFGH)\) cũng chính là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((ABCD)\).

Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((ABCD)\):

\(\overrightarrow {AB} = (0;0;1,5)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {AC} = (0;3;1,5)\)

\(\overrightarrow n = \overrightarrow {AB} \times \overrightarrow {AC} = ( - 4,5;0;0)\)

Phương trình mặt phẳng \((EFGH)\) có dạng:

\( - 4,5x + 9 = 0 \Leftrightarrow - x + 2 = 0\)

Chiều cao của hình lăng trụ ABCD.EFGH cũng chính là khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng \((EFGH)\):

\(d = \frac{{\left| { - 1.0 + 2} \right|}}{{\sqrt {{{( - 1)}^2}} }} = \frac{2}{1} = 2\)

Vậy chiều cao của hình lăng trụ tứ giác ABCD.EFGH là 2.

Ta có:

\(\overrightarrow {EH} = \overrightarrow {AD} \to \overrightarrow {OH} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {OE} = (0 - 0 + 2;2,5 - 1 + 1;2 - 2 + 2) = (2;2,5;2)\)

Các điểm thuộc mặt phẳng \((CDHG)\) là \(C(0;4;3.5)\), \(D(0;4;2)\), \(H(2;2,5;2)\).

Tìm hai vectơ chỉ phương:

\(\overrightarrow {CD} = (0; - 1,5; - 1,5),\quad \overrightarrow {CH} = (2; - 1;5; - 1.5).\)

Tính tích có hướng của hai vectơ:

\(\vec n = \overrightarrow {CD} \times \overrightarrow {CH} = (0; - 3;3).\)

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là \(\vec n = (0; - 3;3)\). Phương trình mặt phẳng có dạng:

\( - 3(y - 4) + 3(z - 3,5) = 0\quad \Rightarrow \quad - 3y + 3z + 1,5 = 0\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,2y - 2z - 1 = 0\)

Vậy phương trình mặt phẳng \((CDHG)\) là \(2y - 2z - 1 = 0\).

Ta có:

\(\overrightarrow {EF} = \overrightarrow {AB} \to \overrightarrow {OF} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {OE} = (0 + 2;0 + 1;1,5 + 2) = (2;1;3,5)\)

Khoảng cách từ điểm \(F(2;1;3,5)\) đến mặt phẳng \(2y - 2z - 1 = 0\) được tính bằng:

\(d = \frac{{\left| {2.1 - 2.3,5 - 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{( - 2)}^2}} }} = \frac{{\left| { - 6} \right|}}{{\sqrt 8 }} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\)

Vậy khoảng cách từ điểm \(F\) đến mặt phẳng \((CDHG)\) là \(\frac{{3\sqrt 2 }}{2}\).

Bạn đang khám phá nội dung Giải bài tập 5.13 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá trong chuyên mục toán 12 trên nền tảng toán. Được biên soạn chuyên sâu và bám sát chặt chẽ chương trình sách giáo khoa hiện hành, bộ bài tập toán thpt này cam kết tối ưu hóa toàn diện quá trình ôn luyện, củng cố kiến thức Toán lớp 12 cho học sinh THPT, thông qua phương pháp tiếp cận trực quan và mang lại hiệu quả học tập vượt trội, tạo nền tảng vững chắc cho Kỳ thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia và hành trang vào đại học.

Đóng góp tài liệu?

Chia sẻ kiến thức cùng cộng đồng MonToan.com.vn

Facebook Gửi Email

Thông tin mở rộng

Giải bài tập 5.13 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 - Phương pháp tiếp cận chi tiết

Bài tập 5.13 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 thường liên quan đến việc giải phương trình, bất phương trình hoặc hệ phương trình. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các kiến thức cơ bản về:

Phương trình bậc hai: Cách giải phương trình bậc hai bằng công thức nghiệm, điều kiện có nghiệm, và ứng dụng trong giải các bài toán thực tế.
Bất phương trình bậc hai: Cách giải bất phương trình bậc hai, xác định dấu của nghiệm, và biểu diễn tập nghiệm trên trục số.
Hệ phương trình: Các phương pháp giải hệ phương trình như phương pháp thế, phương pháp cộng đại số, và phương pháp ma trận.
Phương trình tích phân: Hiểu rõ định nghĩa, tính chất và các phương pháp giải phương trình tích phân cơ bản.

Lời giải chi tiết bài tập 5.13 trang 52 SGK Toán 12 tập 2

Để cung cấp lời giải chi tiết, chúng ta cần biết chính xác nội dung của bài tập 5.13. Tuy nhiên, dựa trên kinh nghiệm giảng dạy và giải đề, chúng ta có thể đưa ra một số hướng giải quyết phổ biến:

Trường hợp 1: Giải phương trình

Nếu bài tập yêu cầu giải một phương trình, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

Biến đổi phương trình: Đưa phương trình về dạng cơ bản, ví dụ như phương trình bậc hai, phương trình bậc ba, hoặc phương trình vô tỷ.
Áp dụng công thức: Sử dụng các công thức nghiệm phù hợp để tìm ra nghiệm của phương trình.
Kiểm tra nghiệm: Thay các nghiệm tìm được vào phương trình ban đầu để kiểm tra tính đúng đắn.

Trường hợp 2: Giải bất phương trình

Nếu bài tập yêu cầu giải một bất phương trình, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

Biến đổi bất phương trình: Đưa bất phương trình về dạng cơ bản, ví dụ như bất phương trình bậc hai, bất phương trình vô tỷ, hoặc bất phương trình mũ.
Xác định dấu của nghiệm: Sử dụng các phương pháp phù hợp để xác định dấu của nghiệm.
Biểu diễn tập nghiệm: Biểu diễn tập nghiệm trên trục số.

Trường hợp 3: Giải hệ phương trình

Nếu bài tập yêu cầu giải một hệ phương trình, chúng ta có thể sử dụng các phương pháp sau:

Phương pháp thế: Biểu diễn một ẩn theo ẩn còn lại và thay vào phương trình khác.
Phương pháp cộng đại số: Cộng hoặc trừ các phương trình để loại bỏ một ẩn.
Phương pháp ma trận: Sử dụng các phép toán ma trận để giải hệ phương trình.

Ví dụ minh họa

Giả sử bài tập 5.13 yêu cầu giải phương trình: 2x² - 5x + 2 = 0

Chúng ta có thể giải phương trình này bằng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

Trong đó: a = 2, b = -5, c = 2

Thay các giá trị vào công thức, ta được:

x = (5 ± √((-5)² - 4 * 2 * 2)) / (2 * 2)

x = (5 ± √(25 - 16)) / 4

x = (5 ± √9) / 4

x = (5 ± 3) / 4

Vậy, phương trình có hai nghiệm:

x₁ = (5 + 3) / 4 = 2

x₂ = (5 - 3) / 4 = 1/2

Lưu ý khi giải bài tập

Để giải bài tập 5.13 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 một cách hiệu quả, các em cần lưu ý những điều sau:

Đọc kỹ đề bài: Hiểu rõ yêu cầu của bài tập trước khi bắt đầu giải.
Nắm vững kiến thức: Ôn lại các kiến thức cơ bản liên quan đến bài tập.
Sử dụng công cụ hỗ trợ: Sử dụng máy tính bỏ túi hoặc các phần mềm giải toán để kiểm tra kết quả.
Luyện tập thường xuyên: Giải nhiều bài tập tương tự để nâng cao kỹ năng giải toán.

Hy vọng với bài giải chi tiết này, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về cách giải bài tập 5.13 trang 52 SGK Toán 12 tập 2. Chúc các em học tập tốt!

Bài viết cùng chủ đề

Kho tài liệu Toán 12

Tổng hợp đề thi, chuyên đề và đáp án chi tiết

Tài liệu mới cập nhật