THCS
THCS
Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 5.13 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 tại montoan.com.vn. Bài tập này thuộc chương trình học về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và phương trình tích phân.
Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán.
Hãy cùng montoan.com.vn khám phá lời giải chi tiết ngay sau đây!
Thùng của một máy nông nghiệp được thiết kế mô phỏng trong hệ trục Oxyz là một hình lăng trụ tứ giác ABCD.EFGH với các đỉnh: \(A(0;1;2),\quad B(0;1;3,5),\quad C(0;4;3,5),\quad D(0;2,5;2),\,\,\,\,\,\,E(2;1;2)\) (Hình 5.15)
Đề bài
Thùng của một máy nông nghiệp được thiết kế mô phỏng trong hệ trục Oxyz là một hình lăng trụ tứ giác ABCD.EFGH với các đỉnh:
\(A(0;1;2),\quad B(0;1;3,5),\quad C(0;4;3,5),\quad D(0;2,5;2),\,\,\,\,\,\,E(2;1;2)\) (Hình 5.15)
a) Viết phương trình mặt phẳng \((EFGH)\) và tính chiều cao của hình lăng trụ ABCD.EFGH.
b) Viết phương trình mặt phẳng \((CDHG)\) và tính khoảng cách từ điểm \(F\) đến mặt phẳng \((CDHG)\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Nếu mặt phẳng đi qua 3 điểm A, B, C thì ta có thể làm như sau:
- Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng dựa trên tích có hướng của \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \).
- Thay một trong ba điểm A, B, C để tìm phương trình mặt phẳng.
Chiều cao của lăng trụ là khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng này có thể tính bằng cách lấy tọa độ của một điểm thuộc một mặt phẳng và tính khoảng cách từ điểm này đến mặt phẳng còn lại.
Sử dụng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:
\(d = \frac{{|A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\)
Lời giải chi tiết
a)
Vì ABCD.EFGH là hình lăng trụ tứ giác nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((EFGH)\) cũng chính là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((ABCD)\).
Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((ABCD)\):
\(\overrightarrow {AB} = (0;0;1,5)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {AC} = (0;3;1,5)\)
\(\overrightarrow n = \overrightarrow {AB} \times \overrightarrow {AC} = ( - 4,5;0;0)\)
Phương trình mặt phẳng \((EFGH)\) có dạng:
\( - 4,5x + 9 = 0 \Leftrightarrow - x + 2 = 0\)
Chiều cao của hình lăng trụ ABCD.EFGH cũng chính là khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng \((EFGH)\):
\(d = \frac{{\left| { - 1.0 + 2} \right|}}{{\sqrt {{{( - 1)}^2}} }} = \frac{2}{1} = 2\)
Vậy chiều cao của hình lăng trụ tứ giác ABCD.EFGH là 2.
b)
Ta có:
\(\overrightarrow {EH} = \overrightarrow {AD} \to \overrightarrow {OH} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {OE} = (0 - 0 + 2;2,5 - 1 + 1;2 - 2 + 2) = (2;2,5;2)\)
Các điểm thuộc mặt phẳng \((CDHG)\) là \(C(0;4;3.5)\), \(D(0;4;2)\), \(H(2;2,5;2)\).
Tìm hai vectơ chỉ phương:
\(\overrightarrow {CD} = (0; - 1,5; - 1,5),\quad \overrightarrow {CH} = (2; - 1;5; - 1.5).\)
Tính tích có hướng của hai vectơ:
\(\vec n = \overrightarrow {CD} \times \overrightarrow {CH} = (0; - 3;3).\)
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là \(\vec n = (0; - 3;3)\). Phương trình mặt phẳng có dạng:
\( - 3(y - 4) + 3(z - 3,5) = 0\quad \Rightarrow \quad - 3y + 3z + 1,5 = 0\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,2y - 2z - 1 = 0\)
Vậy phương trình mặt phẳng \((CDHG)\) là \(2y - 2z - 1 = 0\).
Ta có:
\(\overrightarrow {EF} = \overrightarrow {AB} \to \overrightarrow {OF} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {OE} = (0 + 2;0 + 1;1,5 + 2) = (2;1;3,5)\)
Khoảng cách từ điểm \(F(2;1;3,5)\) đến mặt phẳng \(2y - 2z - 1 = 0\) được tính bằng:
\(d = \frac{{\left| {2.1 - 2.3,5 - 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{( - 2)}^2}} }} = \frac{{\left| { - 6} \right|}}{{\sqrt 8 }} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\)
Vậy khoảng cách từ điểm \(F\) đến mặt phẳng \((CDHG)\) là \(\frac{{3\sqrt 2 }}{2}\).
Bài tập 5.13 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 thường liên quan đến việc giải phương trình, bất phương trình hoặc hệ phương trình. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các kiến thức cơ bản về:
Để cung cấp lời giải chi tiết, chúng ta cần biết chính xác nội dung của bài tập 5.13. Tuy nhiên, dựa trên kinh nghiệm giảng dạy và giải đề, chúng ta có thể đưa ra một số hướng giải quyết phổ biến:
Nếu bài tập yêu cầu giải một phương trình, chúng ta cần thực hiện các bước sau:
Nếu bài tập yêu cầu giải một bất phương trình, chúng ta cần thực hiện các bước sau:
Nếu bài tập yêu cầu giải một hệ phương trình, chúng ta có thể sử dụng các phương pháp sau:
Giả sử bài tập 5.13 yêu cầu giải phương trình: 2x2 - 5x + 2 = 0
Chúng ta có thể giải phương trình này bằng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
x = (-b ± √(b2 - 4ac)) / 2a
Trong đó: a = 2, b = -5, c = 2
Thay các giá trị vào công thức, ta được:
x = (5 ± √((-5)2 - 4 * 2 * 2)) / (2 * 2)
x = (5 ± √(25 - 16)) / 4
x = (5 ± √9) / 4
x = (5 ± 3) / 4
Vậy, phương trình có hai nghiệm:
x1 = (5 + 3) / 4 = 2
x2 = (5 - 3) / 4 = 1/2
Để giải bài tập 5.13 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 một cách hiệu quả, các em cần lưu ý những điều sau:
Hy vọng với bài giải chi tiết này, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về cách giải bài tập 5.13 trang 52 SGK Toán 12 tập 2. Chúc các em học tập tốt!
