Giải bài tập 4.43 trang 39 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Giải bài tập 4.43 trang 39 SGK Toán 12 tập 2
Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 4.43 trang 39 SGK Toán 12 tập 2 tại montoan.com.vn. Bài tập này thuộc chương trình học về Đạo hàm của hàm số.
Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán. Ngoài ra, các em có thể tham khảo thêm các bài giải khác trong SGK Toán 12 tập 2.
Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương ngang trên mặt phẳng không ma sát có vận tốc tại thời điểm \(t\) giây là \(v = 4\cos (t)\) (cm/s). Tìm li độ của con lắc tại thời điểm \(t = \frac{{2\pi }}{3}\) giây, biết khi \(t = \frac{\pi }{2}\) giây thì con lắc có li độ \(x = 4\) cm.
Đề bài
Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương ngang trên mặt phẳng không ma sát có vận tốc tại thời điểm \(t\) giây là \(v = 4\cos (t)\) (cm/s). Tìm li độ của con lắc tại thời điểm \(t = \frac{{2\pi }}{3}\) giây, biết khi \(t = \frac{\pi }{2}\) giây thì con lắc có li độ \(x = 4\) cm.
A. \(\sqrt 3 \)cm.
B. 2 cm.
C. \(2\sqrt 3 \) cm.
D. 4 cm.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Chúng ta có thể sử dụng phương trình tích phân để tính li độ tại thời điểm \(t = \frac{{2\pi }}{3}\).
\(x\left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right) - x\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \int_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{{2\pi }}{3}} v (t){\mkern 1mu} dt\)
Trong đó, \(v(t) = 4\cos (t)\) là phương trình vận tốc của con lắc.
Lời giải chi tiết
Tính tích phân của \(4\cos (t)\):
\(\int 4 \cos (t){\mkern 1mu} dt = 4\sin (t)\)
Áp dụng cận tích phân từ \(\frac{\pi }{2}\) đến \(\frac{{2\pi }}{3}\):
\(x\left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right) - x\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 4\left( {\sin \left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right) - \sin \left( {\frac{\pi }{2}} \right)} \right) = 4\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} - 1} \right) = 2\sqrt 3 - 4\)
Tính \(x\left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right)\). Ta biết rằng \(x\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 4\), do đó:
\(x\left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right) = x\left( {\frac{\pi }{2}} \right) + \left( {2\sqrt 3 - 4} \right)\)
\(x\left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right) = 4 + 2\sqrt 3 - 4 = 2\sqrt 3 \)
Li độ của con lắc tại thời điểm \(t = \frac{{2\pi }}{3}\) giây là \(2\sqrt 3 \) cm.
Giải bài tập 4.43 trang 39 SGK Toán 12 tập 2: Phân tích chi tiết và hướng dẫn giải
Bài tập 4.43 trang 39 SGK Toán 12 tập 2 yêu cầu chúng ta tìm đạo hàm của hàm số y = (x^2 + 1)^3. Để giải bài tập này, chúng ta sẽ sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp. Quy tắc này phát biểu rằng nếu y = f(u) và u = g(x), thì dy/dx = (dy/du) * (du/dx).
1. Xác định hàm trong và hàm ngoài
Trong bài toán này, ta có thể xác định hàm trong u = x^2 + 1 và hàm ngoài y = u^3.
2. Tính đạo hàm của hàm ngoài
Đạo hàm của y = u^3 theo u là dy/du = 3u^2.
3. Tính đạo hàm của hàm trong
Đạo hàm của u = x^2 + 1 theo x là du/dx = 2x.
4. Áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp
Sử dụng quy tắc dy/dx = (dy/du) * (du/dx), ta có:
dy/dx = 3u^2 * 2x = 3(x^2 + 1)^2 * 2x = 6x(x^2 + 1)^2.
5. Kết luận
Vậy, đạo hàm của hàm số y = (x^2 + 1)^3 là y' = 6x(x^2 + 1)^2.
Các dạng bài tập đạo hàm thường gặp trong Toán 12
- Đạo hàm của hàm số đơn thức: Sử dụng công thức đạo hàm của lũy thừa.
- Đạo hàm của hàm số đa thức: Áp dụng quy tắc đạo hàm của tổng và hiệu.
- Đạo hàm của hàm hợp: Sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp như đã trình bày ở trên.
- Đạo hàm của hàm lượng giác: Nắm vững các công thức đạo hàm của sin, cos, tan, cot.
- Đạo hàm của hàm mũ và hàm logarit: Sử dụng các công thức đạo hàm tương ứng.
Mẹo học tốt môn Toán 12
- Nắm vững kiến thức cơ bản: Đây là nền tảng quan trọng để giải các bài tập phức tạp.
- Luyện tập thường xuyên: Giải nhiều bài tập khác nhau để rèn luyện kỹ năng và làm quen với các dạng bài.
- Hiểu rõ bản chất của vấn đề: Không chỉ học thuộc công thức mà cần hiểu rõ ý nghĩa và cách áp dụng.
- Sử dụng các tài liệu tham khảo: Sách giáo khoa, sách bài tập, các trang web học toán online như montoan.com.vn.
- Hỏi thầy cô và bạn bè: Khi gặp khó khăn, đừng ngần ngại hỏi thầy cô và bạn bè để được giúp đỡ.
Ứng dụng của đạo hàm trong thực tế
Đạo hàm có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như:
- Tính vận tốc và gia tốc: Trong vật lý, đạo hàm của quãng đường theo thời gian là vận tốc, và đạo hàm của vận tốc theo thời gian là gia tốc.
- Tìm cực trị của hàm số: Trong kinh tế, đạo hàm được sử dụng để tìm điểm tối đa và tối thiểu của hàm lợi nhuận hoặc chi phí.
- Tối ưu hóa các bài toán thực tế: Đạo hàm giúp tìm ra giá trị tốt nhất cho các biến số trong một bài toán.
Bài tập tương tự để luyện tập thêm
Để củng cố kiến thức về đạo hàm, các em có thể giải thêm các bài tập sau:
- Bài 4.44 trang 39 SGK Toán 12 tập 2
- Bài 4.45 trang 39 SGK Toán 12 tập 2
- Các bài tập về đạo hàm trong các đề thi thử THPT Quốc gia.
montoan.com.vn hy vọng rằng bài giải chi tiết này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về cách giải bài tập 4.43 trang 39 SGK Toán 12 tập 2. Chúc các em học tập tốt!
