THCS
THCS
Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 4.43 trang 39 SGK Toán 12 tập 2 tại montoan.com.vn. Bài tập này thuộc chương trình học về Đạo hàm của hàm số.
Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán. Ngoài ra, các em có thể tham khảo thêm các bài giải khác trong SGK Toán 12 tập 2.
Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương ngang trên mặt phẳng không ma sát có vận tốc tại thời điểm \(t\) giây là \(v = 4\cos (t)\) (cm/s). Tìm li độ của con lắc tại thời điểm \(t = \frac{{2\pi }}{3}\) giây, biết khi \(t = \frac{\pi }{2}\) giây thì con lắc có li độ \(x = 4\) cm.
Đề bài
Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương ngang trên mặt phẳng không ma sát có vận tốc tại thời điểm \(t\) giây là \(v = 4\cos (t)\) (cm/s). Tìm li độ của con lắc tại thời điểm \(t = \frac{{2\pi }}{3}\) giây, biết khi \(t = \frac{\pi }{2}\) giây thì con lắc có li độ \(x = 4\) cm.
A. \(\sqrt 3 \)cm.
B. 2 cm.
C. \(2\sqrt 3 \) cm.
D. 4 cm.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Chúng ta có thể sử dụng phương trình tích phân để tính li độ tại thời điểm \(t = \frac{{2\pi }}{3}\).
\(x\left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right) - x\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \int_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{{2\pi }}{3}} v (t){\mkern 1mu} dt\)
Trong đó, \(v(t) = 4\cos (t)\) là phương trình vận tốc của con lắc.
Lời giải chi tiết
Tính tích phân của \(4\cos (t)\):
\(\int 4 \cos (t){\mkern 1mu} dt = 4\sin (t)\)
Áp dụng cận tích phân từ \(\frac{\pi }{2}\) đến \(\frac{{2\pi }}{3}\):
\(x\left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right) - x\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 4\left( {\sin \left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right) - \sin \left( {\frac{\pi }{2}} \right)} \right) = 4\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} - 1} \right) = 2\sqrt 3 - 4\)
Tính \(x\left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right)\). Ta biết rằng \(x\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 4\), do đó:
\(x\left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right) = x\left( {\frac{\pi }{2}} \right) + \left( {2\sqrt 3 - 4} \right)\)
\(x\left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right) = 4 + 2\sqrt 3 - 4 = 2\sqrt 3 \)
Li độ của con lắc tại thời điểm \(t = \frac{{2\pi }}{3}\) giây là \(2\sqrt 3 \) cm.
Bài tập 4.43 trang 39 SGK Toán 12 tập 2 yêu cầu chúng ta tìm đạo hàm của hàm số y = (x^2 + 1)^3. Để giải bài tập này, chúng ta sẽ sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp. Quy tắc này phát biểu rằng nếu y = f(u) và u = g(x), thì dy/dx = (dy/du) * (du/dx).
Trong bài toán này, ta có thể xác định hàm trong u = x^2 + 1 và hàm ngoài y = u^3.
Đạo hàm của y = u^3 theo u là dy/du = 3u^2.
Đạo hàm của u = x^2 + 1 theo x là du/dx = 2x.
Sử dụng quy tắc dy/dx = (dy/du) * (du/dx), ta có:
dy/dx = 3u^2 * 2x = 3(x^2 + 1)^2 * 2x = 6x(x^2 + 1)^2.
Vậy, đạo hàm của hàm số y = (x^2 + 1)^3 là y' = 6x(x^2 + 1)^2.
Đạo hàm có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như:
Để củng cố kiến thức về đạo hàm, các em có thể giải thêm các bài tập sau:
montoan.com.vn hy vọng rằng bài giải chi tiết này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về cách giải bài tập 4.43 trang 39 SGK Toán 12 tập 2. Chúc các em học tập tốt!
