THCS
THCS
Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 4.25 trang 32 SGK Toán 12 tập 2 trên website montoan.com.vn. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12, tập trung vào kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.
Montoan.com.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập một cách hiệu quả.
Người ta tạo ra mô hình một quả trứng ngỗng bằng cách quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{{30}}\sqrt {7569 - 400{x^2}} \) và trục hoành với \( - 4,35 \le x \le 4,35\) quanh trục hoành. Tính thể tích quả trứng, biết thể tích mô hình này xem như bằng thể tích quả trứng ngỗng và \(x,y\) tính theo centimét.
Đề bài
Người ta tạo ra mô hình một quả trứng ngỗng bằng cách quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{{30}}\sqrt {7569 - 400{x^2}} \) và trục hoành với \( - 4,35 \le x \le 4,35\) quanh trục hoành. Tính thể tích quả trứng, biết thể tích mô hình này xem như bằng thể tích quả trứng ngỗng và \(x,y\) tính theo centimét.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay quanh trục hoành:
\(V = \pi \int_a^b {{y^2}} {\mkern 1mu} dx.\)
Lời giải chi tiết
- Thể tích khối tròn xoay là:
\(V = \pi \int_{ - 4,35}^{4,35} {{{\left( {\frac{1}{{30}}\sqrt {7569 - 400{x^2}} } \right)}^2}} {\mkern 1mu} dx = \frac{\pi }{{900}}\int_{ - 4,35}^{4,35} {(7569 - 400{x^2})} {\mkern 1mu} dx.\)
- Do hàm số là hàm chẵn, ta chỉ cần tính trên đoạn \([0;4,35]\) và nhân đôi kết quả:
\(V = \frac{{2\pi }}{{900}}\int_0^{4,35} {(7569 - 400{x^2})} {\mkern 1mu} dx.\)
- Tính tích phân:
\(\int {(7569 - 400{x^2})} {\mkern 1mu} dx = 7569x - \frac{{400{x^3}}}{3}.\)
- Thay cận 0 và 4,35:
\(V = \frac{{2\pi }}{{900}}\left( {7569 \times 4,35 - \frac{{400 \times 4,{{35}^3}}}{3}} \right).\)
- Thể tích cuối cùng là:
\(V \approx 153,24{\mkern 1mu} {\rm{c}}{{\rm{m}}^3}.\)
Vậy, thể tích của quả trứng là khoảng \(V \approx 153,24{\mkern 1mu} {\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\).
Bài tập 4.25 trang 32 SGK Toán 12 tập 2 yêu cầu chúng ta khảo sát hàm số và tìm các điểm cực trị. Để giải bài tập này, chúng ta cần nắm vững các bước sau:
Để minh họa, chúng ta sẽ xét một ví dụ cụ thể. Giả sử hàm số cần khảo sát là: f(x) = x3 - 3x2 + 2.
Hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2 là một đa thức, do đó tập xác định của hàm số là D = ℝ.
f'(x) = 3x2 - 6x.
Giải phương trình f'(x) = 0, ta được: 3x2 - 6x = 0 ⇔ 3x(x - 2) = 0. Vậy, x = 0 hoặc x = 2 là các điểm dừng.
| x | -∞ | 0 | 2 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| f'(x) | + | - | + | |
| f(x) | ↗ | ↘ | ↗ |
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy:
Việc giải bài tập này không chỉ giúp các em hiểu rõ hơn về cách khảo sát hàm số mà còn là nền tảng để giải quyết các bài toán thực tế liên quan đến tối ưu hóa, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. Kiến thức này đặc biệt quan trọng trong các lĩnh vực như kinh tế, kỹ thuật và khoa học.
Bài tập 4.25 trang 32 SGK Toán 12 tập 2 là một bài tập quan trọng giúp các em củng cố kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số. Hy vọng với lời giải chi tiết và các mẹo giải bài tập trên, các em sẽ tự tin hơn trong việc giải quyết các bài toán tương tự.
