Lý thuyết Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất hàm số Toán 12

Lý thuyết Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Toán 12 Cùng khám phá

Lý thuyết Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Toán 12

Chào mừng bạn đến với bài học về lý thuyết Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trong chương trình Toán 12. Đây là một chủ đề quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi THPT Quốc gia và các bài kiểm tra.

Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản nhất về cách xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng hoặc tập xác định, cùng với các phương pháp giải bài tập thường gặp.

1. Định nghĩa

1. Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D.

+) Số M là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu f(x) \( \le \) M với mọi \(x \in D\) và tồn tại \({x_0} \in D\) sao cho \(f({x_0})\) = M. Kí hiệu M = \(\mathop {\max }\limits_{x \in D} f(x)\) hoặc M = \(\mathop {\max }\limits_D f(x)\).

+) Số m là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu f(x) \( \ge \) m với mọi \(x \in D\) và tồn tại \({x_0} \in D\) sao cho \(f({x_0})\) = m. Kí hiệu m = \(\mathop {\min }\limits_{x \in D} f(x)\) hoặc m = \(\mathop {\min }\limits_D f(x)\).

Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN của hàm số \(y = f(x) = \sqrt {1 - {x^2}} \).

Tập xác định của hàm số là \(\left[ { - 1;1} \right]\).

Ta có:

\(f(x) = \sqrt {1 - {x^2}} \) \( \ge \) 0; dấu bằng xảy ra khi \(1 - {x^2} = 0\), tức x = -1 hoặc x = 1.

Do đó \(\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ { - 1;1} \right]} f(x) = f( - 1) = f(1) = 0\).

\(f(x) = \sqrt {1 - {x^2}} \) \( \le 1\); dấu bằng xảy ra khi \(1 - {x^2} = 1\), tức x = 0.

Do đó \(\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ { - 1;1} \right]} f(x) = f(0) = 1\).

2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

Các bước tìm GTLN và GTNN của hàm số f(x) trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\):

Tìm các điểm \({x_1},{x_2},...,{x_n} \in (a;b)\), tại đó f’(x) = 0 hoặc không tồn tại.
Tính \(f({x_1}),f({x_2}),...,f({x_n}),f(a)\) và \(f(b)\).
Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có:
M = \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f(x)\); m = \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f(x)\).

Ví dụ: Tìm GTLN và GTNN của hàm số \(y = {x^4} - 4{x^2} + 3\) trên đoạn \(\left[ {0;4} \right]\).

Ta có: \(y' = 4{x^3} - 8x = 4x({x^2} - 2);y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = \sqrt 2 \) (vì \(x \in \left[ {0;4} \right]\)).

y(0) = 3; y(4) = 195; y(\(\sqrt 2 \)) = -1.

Do đó: \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;4} \right]} y = y(4) = 195\); \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;4} \right]} y = y(\sqrt 2 ) = - 1\).

Lý thuyết Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Toán 12 Cùng khám phá 1

Bạn đang khám phá nội dung Lý thuyết Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Toán 12 Cùng khám phá trong chuyên mục đề thi toán 12 trên nền tảng đề thi toán. Được biên soạn chuyên sâu và bám sát chặt chẽ chương trình sách giáo khoa hiện hành, bộ bài tập lý thuyết toán thpt này cam kết tối ưu hóa toàn diện quá trình ôn luyện, củng cố kiến thức Toán lớp 12 cho học sinh THPT, thông qua phương pháp tiếp cận trực quan và mang lại hiệu quả học tập vượt trội, tạo nền tảng vững chắc cho Kỳ thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia và hành trang vào đại học.

Ghi chú: Quý thầy, cô giáo và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên MonToan.com.vn bằng cách gửi về:

Facebook: MÔN TOÁN

Email: montoanmath@gmail.com

Lý thuyết Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Toán 12

Trong chương trình Toán 12, việc nắm vững lý thuyết về giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số là vô cùng quan trọng. Nó không chỉ giúp học sinh hiểu sâu hơn về tính chất của hàm số mà còn là nền tảng để giải quyết các bài toán thực tế và các bài toán trong kỳ thi THPT Quốc gia.

1. Khái niệm cơ bản

Giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên tập X là giá trị M sao cho f(x) ≤ M với mọi x thuộc X và tồn tại x₀ thuộc X sao cho f(x₀) = M. Tương tự, giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên tập X là giá trị m sao cho f(x) ≥ m với mọi x thuộc X và tồn tại x₀ thuộc X sao cho f(x₀) = m.

2. Điều kiện để hàm số đạt GTLN, GTNN trên một khoảng

Để tìm GTLN và GTNN của hàm số f(x) trên khoảng (a, b), ta thực hiện các bước sau:

Tính đạo hàm f'(x).
Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm cực trị.
Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và tại các đầu mút của khoảng (a, b).
So sánh các giá trị này để tìm GTLN và GTNN.

3. Các phương pháp tìm GTLN, GTNN thường gặp

Phương pháp sử dụng đạo hàm: Đây là phương pháp phổ biến nhất, dựa trên việc tìm điểm cực trị và so sánh giá trị hàm số tại các điểm đó.
Phương pháp đánh giá: Sử dụng các bất đẳng thức và tính chất của hàm số để đánh giá GTLN và GTNN. Ví dụ: bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, bất đẳng thức AM-GM.
Phương pháp biến đổi tương đương: Biến đổi biểu thức hàm số về dạng đơn giản hơn để dễ dàng tìm GTLN và GTNN.
Phương pháp hình học: Sử dụng đồ thị hàm số để xác định GTLN và GTNN.

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm GTLN và GTNN của hàm số f(x) = x² - 4x + 3 trên khoảng [0, 5].

Giải:

f'(x) = 2x - 4
f'(x) = 0 ⇔ x = 2
f(0) = 3, f(2) = -1, f(5) = 8
Vậy, GTLN của f(x) trên [0, 5] là 8 tại x = 5 và GTNN của f(x) trên [0, 5] là -1 tại x = 2.

Ví dụ 2: Tìm GTLN của hàm số f(x) = -x² + 6x - 5 trên khoảng (-∞, +∞).

Giải:

Hàm số f(x) là hàm bậc hai với hệ số a = -1 < 0, nên hàm số đạt GTLN tại đỉnh của parabol. Hoành độ đỉnh là x = -b/2a = -6/(2*(-1)) = 3. Giá trị GTLN là f(3) = -3² + 6*3 - 5 = 4.

5. Lưu ý quan trọng

Khi tìm GTLN và GTNN trên một khoảng đóng [a, b], cần tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị nằm trong khoảng và tại các đầu mút a và b.
Khi tìm GTLN và GTNN trên một khoảng mở (a, b), chỉ cần xét các điểm cực trị nằm trong khoảng.
Cần kiểm tra xem hàm số có liên tục trên khoảng xét hay không. Nếu hàm số không liên tục, cần xét các khoảng liên tục riêng biệt.

6. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức, bạn có thể thực hành giải các bài tập sau:

Tìm GTLN và GTNN của hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2 trên khoảng [-1, 3].
Tìm GTLN và GTNN của hàm số f(x) = sinx + cosx trên khoảng [0, π].

Hy vọng bài học này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích về lý thuyết Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Toán 12. Chúc bạn học tập tốt!