THCS
THCS
Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết bài tập 5.12 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 tại Montoan.com.vn. Bài tập này thuộc chương trình học về Đạo hàm của hàm số, một trong những chủ đề quan trọng của Toán học lớp 12.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp các em hiểu rõ phương pháp giải bài tập, nắm vững kiến thức lý thuyết và áp dụng vào các bài toán thực tế.
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.EFD với các đỉnh \(A(2; - 1;6)\), \(B( - 3; - 1; - 4)\), \(C(5; - 1;0)\), \(D(1;2;1)\). a) Viết phương trình các mặt phẳng \((BCDF),(ABFE),(DEF)\). b) Tính khoảng cách từ \(A\) đến các mặt phẳng \((BCDF)\) và \((DEF)\).
Đề bài
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.EFD với các đỉnh \(A(2; - 1;6)\), \(B( - 3; - 1; - 4)\), \(C(5; - 1;0)\), \(D(1;2;1)\).
a) Viết phương trình các mặt phẳng \((BCDF),(ABFE),(DEF)\).
b) Tính khoảng cách từ \(A\) đến các mặt phẳng \((BCDF)\) và \((DEF)\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Nếu mặt phẳng đi qua 3 điểm A, B, C thì ta có thể làm như sau:
- Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng dựa trên tích có hướng của \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \).
- Thay một trong ba điểm A, B, C để tìm phương trình mặt phẳng.
b) Sử dụng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:
\(d = \frac{{|A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\)
Lời giải chi tiết
a)
Phương trình mặt phẳng \((BCDF)\):
- Xét các điểm \(B( - 3; - 1; - 4),C(5; - 1;0),D(1;2;1)\).
- Tính các vectơ chỉ phương:
\(\overrightarrow {BC} = (8,0,4),\quad \overrightarrow {BD} = (4,3,5)\)
- Tính tích có hướng:
\(\vec n = \overrightarrow {BC} \times \overrightarrow {BD} = ( - 1, - 2,2)\)
- Phương trình mặt phẳng có dạng:
\(x + 2y - 2z - 3 = 0\)
Phương trình mặt phẳng \((ABFE)\):
- Vì ABC.EFD là hình lăng trụ tam giác nên
\(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {FD} \to \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {OD} - \overrightarrow {OF} \to \overrightarrow {OF} = \overrightarrow {OD} - \overrightarrow {BC} = (1 - 8;2 - 0;1 - 4) = ( - 7;2; - 3)\)
- Xét các điểm \(A(2; - 1;6)\), \(B( - 3; - 1; - 4)\), \(F( - 7;2; - 3)\).
- Tính các vectơ chỉ phương:
\(\overrightarrow {AB} = ( - 5;0; - 10),\,\,\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {AF} = ( - 9;3; - 9)\)
- Tính tích có hướng:
\(\vec n = \overrightarrow {AB} \times \overrightarrow {AF} = (30;45; - 15)\)
- Phương trình mặt phẳng có dạng:
\(30x + 45y - 15z + 75 = 0 \Leftrightarrow 2x + 3y - z + 5 = 0\)
Phương trình mặt phẳng \((DEF)\):
- Vì ABC.EFD là hình lăng trụ tam giác nên
\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {EF} \to \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {OF} - \overrightarrow {OE} \to \overrightarrow {OE} = \overrightarrow {OF} - \overrightarrow {AB} = ( - 7 - ( - 5);2 - 0; - 3 - ( - 10)) = ( - 2;2;7)\)
- Xét các điểm \(D(1;2;1)\),
\(E( - 2;2;7)\), \(F( - 7;2; - 3)\).
- Tính các vectơ chỉ phương:
\(\overrightarrow {DE} = ( - 3;0;6),\,\,\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {DF} = ( - 8;0; - 4)\)
- Tính tích có hướng:
\(\vec n = \overrightarrow {DE} \times \overrightarrow {DF} = (0; - 60;0)\)
- Phương trình mặt phẳng có dạng:
\( - 60y + 120 = 0 \Leftrightarrow - y + 2 = 0\)
b)
Khoảng cách từ \(A(2; - 1;6)\) đến mặt phẳng \((BCDF)\) là:
\(d = \frac{{|1 \cdot 2 + 2 \cdot ( - 1) - 2 \cdot 6 - 3|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( - 2)}^2}} }} = \frac{{15}}{3} = 5\)
Vậy khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \((BCDF)\) là \(d = 5\).
Khoảng cách từ \(A(2; - 1;6)\) đến mặt phẳng \((DEF)\) là:
\(d = \frac{{| - 1.( - 1) + 2|}}{{\sqrt {{{( - 1)}^2}} }} = \frac{3}{1} = 3\)
Vậy khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \((DEF)\) là \(d = 3\).
Bài tập 5.12 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết một bài toán thực tế liên quan đến việc tìm điểm cực trị của hàm số. Đây là một dạng bài tập điển hình trong chương trình học về đạo hàm, đòi hỏi học sinh phải nắm vững các khái niệm và quy tắc đạo hàm, cũng như kỹ năng giải phương trình và bất phương trình.
Trước khi đi vào giải bài tập, chúng ta cần phân tích kỹ đề bài để xác định rõ yêu cầu và các thông tin đã cho. Đề bài thường cung cấp một hàm số và yêu cầu tìm các điểm cực trị của hàm số đó. Để làm được điều này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:
Để minh họa, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài tập cụ thể. Giả sử hàm số được cho là f(x) = x3 - 3x2 + 2. Các bước giải như sau:
Ngoài bài tập 5.12, còn rất nhiều bài tập tương tự yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết. Một số dạng bài tập phổ biến bao gồm:
Để giải các bài tập này, học sinh cần nắm vững các quy tắc đạo hàm, kỹ năng giải phương trình và bất phương trình, cũng như khả năng phân tích và đánh giá các yếu tố ảnh hưởng đến sự biến thiên của hàm số.
Để học tốt môn Toán 12, đặc biệt là chương trình về đạo hàm, học sinh nên:
Bài tập 5.12 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm và rèn luyện kỹ năng giải toán. Hy vọng với lời giải chi tiết và các hướng dẫn trên, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về bài tập này và tự tin giải quyết các bài tập tương tự trong tương lai. Chúc các em học tập tốt!
