Giải bài tập 5.11 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Giải bài tập 5.11 trang 52 SGK Toán 12 tập 2
Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 5.11 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 tại montoan.com.vn. Bài tập này thuộc chương trình học về đạo hàm của hàm số, một trong những kiến thức trọng tâm của môn Toán 12.
Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững phương pháp giải và áp dụng vào các bài tập tương tự.
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có các đỉnh \(A(1;0;1),B(2;1;2),D(1; - 1;1),C'(4;5; - 5)\). a) Viết phương trình các mặt phẳng \((ABCD),(A'B'C'D')\) và \((ADDA')\). b) Tính chiều cao của hình hộp.
Đề bài
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có các đỉnh \(A(1;0;1),B(2;1;2),D(1; - 1;1),C'(4;5; - 5)\).
a) Viết phương trình các mặt phẳng \((ABCD),(A'B'C'D')\) và \((ADDA')\).
b) Tính chiều cao của hình hộp.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Nếu mặt phẳng đi qua 3 điểm A, B, C thì ta có thể làm như sau:
- Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng dựa trên tích có hướng của \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \).
- Thay một trong ba điểm A, B, C để tìm phương trình mặt phẳng.
b) Chiều cao của hình hộp có thể tính bằng khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng đáy (ABCD), sử dụng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:
\(d = \frac{{|A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\)
Lời giải chi tiết
a) Viết phương trình các mặt phẳng:
- Mặt phẳng \((ABCD)\): Xét các điểm \(A(1;0;1),B(2;1;2),D(1; - 1;1)\), ta có:
\(\overrightarrow {AB} = (2 - 1,1 - 0,2 - 1) = (1,1,1)\)
\(\overrightarrow {AD} = (1 - 1, - 1 - 0,1 - 1) = (0, - 1,0)\)
Tìm tích có hướng của \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AD} \):
\(\vec n = \overrightarrow {AB} \times \overrightarrow {AD} = (1 \cdot 0 - 1 \cdot ( - 1);1 \cdot 0 - 1 \cdot 0;1 \cdot ( - 1) - 1 \cdot 0) = (1;0; - 1)\)
Phương trình mặt phẳng có dạng:
\(1(x - 1) + 0(y - 0) - 1(z - 1) = 0 \Rightarrow x - z = 0\)
Vậy phương trình mặt phẳng \((ABCD)\) là \(x - z = 0\).
- Mặt phẳng \((A'B'C'D')\):
Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp nên hai mặt phẳng \((ABCD)\) và \((A'B'C'D')\) song song với nhau, suy ra vectơ phép tuyến của mặt phẳng \((A'B'C'D')\) cũng là \(\overrightarrow n = (1;0; - 1)\).
Phương trình mặt phẳng có dạng:
\(1(x - 4) + 0(y - 5) - 1(z + 5) = 0 \Rightarrow x - z - 9 = 0\)
Vậy phương trình mặt phẳng \((A'B'C'D')\) là \(x - z - 9 = 0\).
- Mặt phẳng \((ADDA')\):
Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp nên:
\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {D'C'} \to \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {OC'} - \overrightarrow {OD'} \to \overrightarrow {OD'} = \overrightarrow {OC'} - \overrightarrow {AB} = (4 - 1;5 - 1; - 5 - 1) = (3;4; - 6)\)
Ta có điểm \(D = (3;4; - 6)\)
\(\overrightarrow {AD'} = (3 - 1;4 - 0; - 6 - 1) = (2;4; - 7)\)
\(\overrightarrow {AD} = (0; - 1;0)\)
Tìm tích có hướng của \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AD} \):
\(\vec n = \overrightarrow {AB} \times \overrightarrow {AD} = (4 \cdot 0 - ( - 7) \cdot ( - 1);( - 7) \cdot 0 - 2 \cdot 0;2 \cdot ( - 1) - 4 \cdot 0) = ( - 7;0; - 2)\)
Phương trình mặt phẳng có dạng:
\( - 7(x - 1) + 0(y - 0) - 2(z - 1) = 0 \Rightarrow - 7x - 2z + 9 = 0\)
Vậy phương trình mặt phẳng \((ADDA')\) là \(x - z = 0\).
b) Tính chiều cao của hình hộp. Chiều cao của hình hộp có thể tính bằng khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng đáy \((A'B'C'D')\), sử dụng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:
\(d = \frac{{|1.1 - 1.1 - 9|}}{{\sqrt {{1^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{{\left| { - 9} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \frac{9}{{\sqrt 2 }}\)
Vậy khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng đáy \((A'B'C'D')\) là \(\frac{9}{{\sqrt 2 }}\).
Giải bài tập 5.11 trang 52 SGK Toán 12 tập 2: Phương pháp tiếp cận chi tiết
Bài tập 5.11 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 yêu cầu chúng ta tìm đạo hàm của hàm số. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các quy tắc đạo hàm cơ bản, bao gồm:
- Quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của các hàm số.
- Quy tắc đạo hàm của hàm hợp.
- Đạo hàm của các hàm số lượng giác, hàm mũ, hàm logarit.
Trước khi bắt đầu giải bài tập, hãy xác định rõ hàm số cần tìm đạo hàm và các quy tắc đạo hàm phù hợp. Sau đó, áp dụng các quy tắc này một cách cẩn thận để tìm ra đạo hàm của hàm số.
Lời giải chi tiết bài tập 5.11 trang 52 SGK Toán 12 tập 2
Để minh họa, chúng ta sẽ cùng nhau giải bài tập 5.11 trang 52 SGK Toán 12 tập 2. Giả sử bài tập có dạng:
Tìm đạo hàm của hàm số y = f(x) = x3 + 2x2 - 5x + 1
Giải:
Áp dụng quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu và lũy thừa, ta có:
y' = f'(x) = (x3)' + (2x2)' - (5x)' + (1)'
y' = 3x2 + 4x - 5 + 0
y' = 3x2 + 4x - 5
Vậy, đạo hàm của hàm số y = x3 + 2x2 - 5x + 1 là y' = 3x2 + 4x - 5.
Các dạng bài tập tương tự và phương pháp giải
Ngoài bài tập 5.11, SGK Toán 12 tập 2 còn rất nhiều bài tập tương tự về đạo hàm. Để giải các bài tập này, các em có thể áp dụng các phương pháp sau:
- Phân tích hàm số: Xác định rõ hàm số cần tìm đạo hàm và các thành phần của nó.
- Chọn quy tắc đạo hàm phù hợp: Dựa vào cấu trúc của hàm số, chọn các quy tắc đạo hàm phù hợp để áp dụng.
- Thực hiện tính toán cẩn thận: Tránh sai sót trong quá trình tính toán đạo hàm.
- Kiểm tra lại kết quả: Sau khi tìm được đạo hàm, hãy kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác.
Ứng dụng của đạo hàm trong thực tế
Đạo hàm không chỉ là một công cụ quan trọng trong toán học mà còn có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:
- Vật lý: Tính vận tốc, gia tốc của vật chuyển động.
- Kinh tế: Tính chi phí biên, doanh thu biên.
- Kỹ thuật: Tối ưu hóa thiết kế, điều khiển hệ thống.
Luyện tập thêm để nắm vững kiến thức
Để nắm vững kiến thức về đạo hàm, các em nên luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau. Các em có thể tìm thấy các bài tập này trong SGK Toán 12 tập 2, các sách bài tập Toán 12, hoặc trên các trang web học toán online như montoan.com.vn.
Bảng tổng hợp các quy tắc đạo hàm cơ bản
| Hàm số y = f(x) | Đạo hàm y' = f'(x) |
|---|---|
| C (hằng số) | 0 |
| xn | nxn-1 |
| sin x | cos x |
| cos x | -sin x |
| ex | ex |
| ln x | 1/x |
Hy vọng với bài giải chi tiết và các phương pháp giải bài tập trên, các em sẽ hiểu rõ hơn về đạo hàm và có thể tự tin giải các bài tập tương tự. Chúc các em học tập tốt!
